NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

COMPTER des …

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Général

 

Nombres

Fractions

Ensembles

Droites

 

Sommaire de cette page

>>> ENTIERS

>>> ALEPH

>>> FRACTIONS

>>> RÉELS

 

 

 

COMPTER OU DÉNOMBRER

la quantité des nombres entiers, rationnels ou réels

 

*       Rien de plus simple, il y en a toujours de plus grands. On se dirige vers l'infini. Oui mais, de là-bas vont surgir bien des surprises.

*       On utilisera deux procédés typiques:

Le procédé zigzag, et

La diagonale de Cantor.

 

 

 

 

NOMBRES ENTIERS

Entiers

0, 1,  2, 3, 4, …, 456 213, …

*    On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.

Infinité

Entiers pairs

0, 2, 4, 6, …, 64204, …

*    On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.

Infinité

Entiers impairs

1, 2, 3, 5, …, 64203, …

*    On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.

Infinité

Entiers premiers

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

*    On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.

*    Mais, ici, on ne peut pas simplement constater, il faut le démontrer.

Infinité

Factorielles

1!, 2!, 3!, …

*    À tout nombre entier, on peut lui associer sa factorielle: Fn =  n!

Infinité

Nombres triangulaires

1, 3, 6, 10, …

*    À tout nombre entier, on peut associer un nombre triangulaire: Tn = n (n+1) / 2.

Infinité

Etc.

 

 

 

 

ALEPH – Cardinal de l'infini

Entiers

*    Il y en a une très grande collection. Une collection infinie. Sa taille (on dit son cardinal) est nommée: Aleph

Entiers pairs

*    Il y a aussi une collection infinie de nombres pairs. Mais on peut donner un numéro à chacun. On dit que l'on peut appairer. Or, tous ces numéros forment la collection des nombres entiers. Les deux collections de nombres (simple, ou pair) forment le même type de collection. On dit que les deux ensembles sont équipotents.

 

 

Autres

*    Par le même raisonnement, on montre que toutes les collections d'entiers citées ci-dessus forment la même collection (le même ensemble). Ces collections de nombres sont toutes de la même famille des dénombrables.

*    La cardinalité de ses ensembles est baptisée aleph zéro. Si on met un indice 0, c'est que bien sûr, on trouver d'autres collections différentes

0

 

 

Correspondance un à un

Lorsque les éléments de deux ensembles peuvent être mis en correspondance terme à terme, on dit qu'ils sont en bijection.

 étant l'ensemble des nombres entiers naturels, si tous les éléments d'un ensemble infini peuvent être mis en bijection avec , c'est un ensemble dénombrable. On aurait pu dire énumérable, mais pour les énumérer, il faudrait l'éternité!

Voir DicoMots Maths / Bijection

 

 

FRACTIONS ou nombres rationnels

*    Un nombre rationnel est représenté par une fraction.

*    Quel que soit le nombre rationnel (ou la fraction) choisi, il y en a toujours un de plus grand.

Infinité

*    Une fraction est formée de 2 nombres: numérateur et dénominateur. Chacun de ces nombres peut être choisi parmi la collection infinie des nombres entiers. C'est une sorte de double infini.

*    Pourtant … Il est existe un procédé pour les trouver toutes, et leur attribuer un numéro. C'est le procédé zigzag.

Infinité

Infinité

*    Or, tous ces numéros forment la collection des nombres entiers. Les deux collections de nombres (numéros et fractions) sont bien du même type.

*    Bien que la fraction soit constituée de deux nombres, elle reste tout de même dans le domaine du dénombrable.

0

*    Les nombres algébriques, racines de polynômes à coefficients rationnels, constituent aussi un ensemble dénombrable.

 

 

Bilan

Il y a une infinité de nombres entiers et une infinité de nombres rationnels (fractions). Ce sont deux infinités de même type, dite dénombrable.

C'est le plus petit des ensembles infinis. Sa taille est appelée Aleph zéro (0).

C'est le "nombre infini" des entiers.

C'est le cardinal de l'ensemble  (entiers).

C'est le cardinal de l'ensemble  (rationnels).

Voir Histoire de la notation

 

Arithmétique singulière

Si on ajoute 1 à une infinité, cela donne une infinité:     0 + 1 = 0

Si on ajoute une infinité à une infinité

(les pairs plus les impairs, par exemple):                       0 + 0 = 0

Voir L'hôtel de Hilbert / Arithmétique avec Aleph

 

 

NOMBRES RÉELS

 

Affirmation

 

Il y a plus de nombres réels que de nombres rationnels. Il y en a une infinité non dénombrable.

 

Principe de la démonstration

*    On fait l'hypothèse que l'on sait établir la liste de tous les nombres réels (nombres à virgule).

Infinité

*    On montre que ce n'est jamais fini en montrant que l'on peut toujours inventer des nombres qui ne sont pas dans la liste.

Encore plus

*    On conclut que les nombres réels ne sont pas dénombrables. On note la taille de ce nouvel ensemble:

1

 

Démonstration

Hypothèse

*    Supposons que l'on soit capable de lister tous les nombres réels. Prenons par exemple tous ceux entre 0 et 1. Il y en a une infinité

Les valeurs données à droite sont illustratives.

N1 = 0, 123

N2 = 0, 324…

N3 = 0, 567…

Nn = 0, 754…a…

Formation d'un nouveau nombre

*    On va former un nombre N en choisissant les décimales une par une.

*    La première décimale ne sera pas 1, comme dans le premier nombre; on choisit 2.

On peut prendre n'importe lequel, sauf 1.

*    La deuxième décimale ne sera pas 2, comme dans le 2e  nombre; on choisit 3.

*    La deuxième décimale ne sera pas 7, comme dans le 3e nombre; on choisit 8.

*    La nième décimale ne sera pas a, comme dans le nième nombre; on choisit b.

 

 

N = 0, …

 

N = 0, 2…

 

N = 0, 23…

 

N = 0, 238…

N = 0, 238…b…

Nouveau nombre

*    On vient de former un nombre. Or, on se souvient que l'on a listé tous les nombres réels. Ce nouveau nombre doit être dans la liste (c'est Nk , par exemple).

N = Nk

Oui, mais

*    Analysons ce nombre, décimale par décimale. Il n'est pas N1 , car leur première décimale est différente.

*    Il n'est pas N2 , car leur deuxième décimale est différente.

*    Il n'est pas Nn , car leur nième décimale est différente.

k  1

 

k  2

k  n

Conclusion

*    Vous l'avez compris, le nombre N,  n'est pas dans la liste du départ. On ne peut pas énumérer tous les nombres réels. Il s'agit d'une autre collection de nombres que celle des entiers ou des fractions.

1

Voir Diagonale de Cantor

 

Bilan

Il a au moins deux niveaux d'infinis:

 

0

1

Infini dénombrable

Infini non-nombrable

*    Nombres Entiers

*    Nombres Rationnels

*    Nombres Réels

*    Points sur la droite

 

Quelle est la différence entre ces deux types d'infinis ?

Est-ce qu'il y quelque chose au-delà ?

Et, entre les deux ?

 

 

 

Suite

*    Transfinis

*    Factorielles

*    Voir en haut de page

Voir

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*    Dénombrable et continu

*    Diagonale de Cantor

*    Factorielles

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