NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/12/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Dénombrement
Débutants Général	Principe des TIROIRS			Glossaire Général
INDEX Dénombrement	Débutant	Exemples	Connaissances	Nb en 00 ..01
	Introduction	Divisibilité 10	Divisibilité 2n	Divisibilité n
	Points
		Sommaire de cette page >>> Exemples de la VIE COURANTE >>> Exemples en GÉOMÉTRIE >>> Exemples en ARITHMÉTIQUE >>> Exemples en DIVISIBILITÉ >>> Exemples en THÉORIE DES NOMBRES >>> Exemples en COMBINATOIRE >>> Points dans le carré

EXEMPLES de la vie courante
Hommes et femmes	Parmi trois personnes, il y en a toujours deux qui sont du même sexe.
Chaussettes	Il suffit de trois chaussettes pour former une paire.
Mois de l'année	Parmi treize personnes, il y en a toujours deux qui sont nées le même mois.
Jours de l'année	Parmi 366 personnes, deux sont nées le même jour de l'année (année bissextile). Ne pas confondre avec le célèbre paradoxe des anniversaires
Cheveux	La quantité de cheveux sur un crâne est inférieure a 200 000. Dans une ville de 200 001 habitants, deux personnes au moins ont le même nombre de cheveux.

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EXEMPLES - Géométrie
Triangle et tétraèdre	Une droite ne coupe jamais les trois côtés du triangle. Un plan ne rencontre jamais les quatre faces du tétraèdre.
Triangle cible	Cible en forme de triangle équilatéral de côté 2 Cinq fléchettes sont dans la cible. Alors, il y en a deux au moins dont la distance est inférieure ou égale à 1.
Quadrillage	Sur le plan en coordonnées entières (réseau), on choisit cinq points. Il en existe toujours deux tels que le milieu du segment qu'ils forment est un point du réseau (coordonnées entières).
Carré	Un carré de côté unité et 51 points à l'intérieur Il y a au moins trois points dans un disque de rayon 1/7.

Voir Géométrie – Index

EXEMPLES – Arithmétique
Pair Impair	Parmi trois nombres, il en existe toujours deux pairs ou deux impairs.
Par trois	Sur quatre nombres, deux, au moins, ont le même reste dans la division par trois.
Chiffres	Parmi onze nombres, il en existe toujours deux ayant des chiffres en commun.
Entiers	Douze entiers distincts à deux chiffres. Il en existe deux dont la différence est de la forme aa.
Somme	Dix entiers à deux chiffres. Il existe deux sous-ensembles disjoints tels que leur somme sont égales.
Entiers	Soit les 101 entiers de 1 à 101, écrit dans un ordre quelconque. Il est toujours possible d'en sélectionner 11 de sorte qu'ils forment une suite monotone croissante ou décroissante. Erdös et Szekeres
Somme	Une suite de n entiers distincts ou non. Il existe toujours un sous-ensemble de ces nombres dont la somme est divisible par n.
Différence	Soit 20 nombres entiers inférieurs à 70. Leur différence deux à deux. Parmi elles, il y a quatre nombres égaux. Voir Solution

Voir Opérations

EXEMPLES – Divisibilité
Divisibilité par 5	Parmi 4 nombres entiers. Il en existe deux dont la somme ou la différence est divisible par 5.
Divisibilité par 10	Parmi 7 nombres entiers. Il en existe deux dont la somme ou la différence est divisible par 10.
Divisibilité par 12	Soit quatre entiers a, b, c, d. Le produit (b-a) (c-a) (d-a) (c-b) (d-b) (d-c) est divisible par 12. Démonstration
Divisibilité par 100	Parmi 52 nombres entiers. Il en existe deux dont la somme ou la différence est divisible par 100.
Divisibilité	Soit n + 1 nombres choisis dans l'ensemble { 1, 2, … 2n }. Il y en toujours un qui en divise un autre. Il y en deux, au moins, qui sont premiers entre eux.
Divisibilité	Soit n entiers, aucun divisible par n. Il existe un sous-ensemble de ces nombres tel que leur somme est divisible par n. Suite et démonstration

Voir Divisibilité – Index

EXEMPLES – Théorie des Nombres
Puissance	Soit le nombre a, premier avec 2 et 5. Et une forme de n chiffres F = 00…1. Pour tout n, il existe une puissance de a qui se termine par F. >>>
Puissance de 2	Il existe une puissance de 2 qui commence par 6. Ce résultat est plus général et s'applique à toute sorte d'entiers: Soit une suite d'entiers quelconque, il existe une puissance de 2 qui commence par cette suite.
Multiple	Soit le nombre a, premier avec 2 et 5 Il existe un multiple de a ne comportant que des 1 (repunit).
Nombres décimaux	Les nombres a et b sont premiers entre eux. La représentation décimale a/b d'un nombre a une période de longueur au plus b – 1.
Premiers ente eux	Soit les nombres: a, a+d, … , (n-1)d. Si aucun n'est divisible par n. Alors d et n sont premiers entre eux.
Distance	Soit les réels positifs a, 2a, … , (n-1)a . L'un au moins est distant d'un entier d'au plus 1/n.

Voir Théorie des nombres – Index

EXEMPLES - Combinatoire
Connaissances	Dans une pièce contenant n personnes. Il y en a au moins deux qui ont le même nombre de connaissances.
Groupe de 6	Parmi six personnes. Il y en a toujours trois qui se connaissent ou bien trois qui sont étrangères.
Groupe de 9	Parmi neuf personnes. Il y en a toujours trois qui se connaissent deux à deux ou quatre qui ne se connaissent pas du tout deux à deux.
Salut	Dans une pièce n personnes se serrent la main entre elles. À n'importe quel moment, il y a toujours deux personnes qui ont serré exactement le même nombre de mains.

Voir Combinatoire – Index

Points dans le carré		haut
Problème Un carré de côté 1. Cinq points internes ou sur le périmètre. Montrer qu'il existe au moins une paire de points éloignés au maximum de Solution Dessiner les médianes qui partagent le carré en quatre carrés identiques. Avec quatre régions à remplir avec cinq points, selon le principe des tiroirs, il existe au moins deux points dans le même petit carré. Or, la longueur de la diagonale du petit carré est .

Voir Brève 781

Suite	Connaissances
Voir	Dénombrement et tiroirs Inventaire des outils mathématiques Paires divisibles
Aussi	Compter – Index Compter Jeux – Index Factorielle et ses cousins Jeux de hasard Grenouilles Probabilités
Livre	Solutions d'expert – Arthur Engel – Pole / Cassini - 2007
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