NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

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Général

 

 

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Dénombrement

Débutant

Exemples

Connaissances

Nb en 00 ..01

Introduction

Divisibilité 10

Divisibilité 2n

Divisibilité n

 

Sommaire de cette page

 

 

 

 

COMBIEN DE CONNAISSANCES ?

 

Dans une assemblée, il existe toujours deux personnes

qui connaissent le même nombre de personnes.

 

 

 

PROBLÈME

 

Données

Dans une pièce, il y n personnes.

 

Affirmation

Il existe toujours deux personnes qui connaissent le même nombre de personnes (qui ont le même nombre de connaissances).

 

Exemple

n = 4

A ne connaît personne

B connaît 1 personne

C connaît 2 personnes

D connaît 1 personne

 B et D connaissent 1 personne

 

 

Observation

Il est nécessaire de visualiser la situation, tant cette affirmation n'est pas évidente à admettre.

 

A priori, une personne présente ne peut connaître que 3 personnes (il se connaît lui-même, mais cela n'est pas, à proprement parler, une connaissance).

 

Vous observez ici que, si l'une des personnes ne connaît personne, alors l'une des autres personnes ne peut plus connaître que deux personnes et non pas trois.

 

 

Illustration (selon le libellé de l'exemple ci-dessus)

 

C a deux connaissances, ce qui implique naturellement qu'il existe deux personnes qui connaissent C.

 

 

 

 

 

Démonstration

 

 

Nous allons ranger les gens qui connaissent le même nombre de personnes dans le même "tiroir".

Je connais trois personnes,

je vais dans le tiroir N°3.

Je ne connais absolument personne,

je vais dans le tiroir N°0.

 

 

Une personne va dans le tiroir i si elle connaît i personnes.

0

1

n-1

 

n tiroirs numérotés de 0 à n-1

pour ranger n catégories de personnes.

Si vous vous reportez à l'illustration, vous pourrez facilement constatez que deux cas sont incompatibles.

Si personne ne se connaît, alors ces gens ne peuvent pas, à la fois, tous se connaître

À l'inverse, s'ils se connaissent tous, alors il n'y a personne pour ne connaître personne.

0

1

n-1

 

S'il y a quelqu'un en 0, il n'y a personne en n-1

S'il y a quelqu'un en n-1, il n'y a personne en 0

Les deux tiroirs sont exclusifs

n - 1 tiroirs possibles seulement.

 

 

Cette constatation nous amène à déduire qu'il n'y a, de fait, que n-1 tiroirs disponibles pour ranger nos n catégories de personnes.

Par le principe des tiroirs, ayant n catégories de personnes à ranger dans n-1 tiroirs, alors

deux personnes, au moins, sont forcément dans le même tiroir,

ou autrement dit deux personnes, au moins, ont le même nombre de connaissances.

 

 

  

Suite

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