NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Général

Sommes de consécutifs

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Consécutifs

 

Sommes

 

De 1 à 100

Particulières

 

 

Sommaire de cette page

>>> De 1 à n = k (n+1)

>>> De n à n+d = k fois suivant

>>> De n à n+d = k fois somme des suivants

>>> De n à n+d = k fois précédant

>>> De n à n+d = puissance du suivant

>>> Bilan

 

 

 

 

Somme de nombres consécutifs

 

On connaît la somme 1 + 2 + 3 + 4 = 5 x 2 = 10, égale au double du nombre qui suit. Quelles sont les configurations de ce type? Pas si répandues que cela!

Par exemple: 3 + 4 + 5 = 6 x 2 = 12

 

En bref, nous cherchons donc des sommes de nombres consécutifs avec deux nombres successifs de part et d'autre du signe égal.

 

 

 

Somme  de 1 à n = k fois le suivant

 

*    Nous savons calculer la somme des n premiers nombres consécutifs et nous voulons la comparer à k fois le nombre suivant:

 

*    Nous constatons que ce cas est relativement banal, l'égalité est satisfaite pour k = n/2 avec n pair pour obtenir k entier.

 


  Etc.

 

 

Somme de n à n + d = k fois le suivant

 

*    Cas identique au précédent, en commençant la somme n et non par 1.

*    La formulation est simple: on calcule la somme jusqu'à n+d et on lui retire la somme jusqu'à n.

 

 

*    La condition recherchée s'écrit:

 

 

*    Rien d'évident! Une recherche systématique le prouve.
Voici les configurations jusqu'à d = 10.

 

 

 

 

Somme de n à n + d

= k (les r suivants)

 

*    Nous recherchons les sommes de nombres consécutifs égales à un multiple de la somme des nombres suivants.

*    Pour des deux suivants, la condition recherchée s'écrit:

 

 

*     Rares également!

 



*    Pour des trois  et quatre suivants:

 

 

*    Seuls cas existants pour n <1000, k <100 et d jusqu'à 10.
  

 

 

Somme de n à n + d

= k fois le précédant

 

*    Nous cherchons simplement les sommes de nombres consécutifs commençant pas n et multiple de n-1.

Exemple:  5 + 4 = 3 x 3 = 9
 

*    Formulation:

 

*    Pas grand-chose à attendre de cette formule. Par contre, une exploration montre qu'il existe un grand nombre de possibilités:

 

 

Coquetterie pour les deux dernières sommes: elles finissent par l'inversé du nombre de départ.

Pour quelques unes, la somme des nombres symétriques permet de calculer la somme totale et donne immédiatement le facteur multiplicatif. Comme pour 3 + 4 + 5 + 6 = (3 + 6) + (4 + 5) = 2 x 9 .

 

Somme de n à n + d = k (n+d+1)q

 

*    Nous recherchons des sommes de nombres  consécutifs qui seraient un multiple du carré du nombre suivant, ou d'une puissance quelconque.

 

*    Aucun motif de cette sorte pour les carrés, cubes et puissance 4.
Ni même pour le dernier nombre n+d.
 

 

Bilan

Nous avons trouvé quelques belles et rares configurations durant notre balade dans le paysage si varié des nombres.  Retenons:

1 + 2 + 3 + 4 = 5 x 2

3 + 4 + 5 = 6 x 2

6 + 7 + 8 + 9 = 10 x 3

3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (10 + 11)  x  3

5 + 4 = 3 x 3

9 + 8 + 7 = 6 x 4

9 + 8 + 7 + 6 = 5 x 6

 

 

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