NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombres géométriques

Type Géométrique

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Nombres Géométriques

 

Pairs / Impairs

Carrés

Cubes

Centrés

Proniques

Pentagonal et suite

Tétraédriques

Hex

Triangulaires

Grappes

Pyramidaux

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres pairs & impairs

>>> Pagination des livres

>>> Division par 2

>>> Propriétés

>>> Pairs et impairs consécutifs

>>> Fraction des impairs = 1/3

>>> Inverse de deux pairs ou impairs consécutifs

>>> Somme et produits

>>> Exemple de calculs de parité

>>> Fractions & nombres pairs et impairs

 

 

 

Si vous achetez moins de dix roses pour votre amie, choisissez un nombre impair. Pourquoi? Eh bien, dans le temps, seuls les fleuristes les vendaient par quantité impaire, alors que sur le marché, elles se vendaient en quantité paire.

 

 

Rimes paires à-peu-près

0 – Zorro, braséro, trois_héros

2 – Hideux, dieu, adieu, pardieu,

4 – Pancarte, psychiatre

6 – Abscisse, saucisse, narcisse, il s'hisse

  8 – Fuite, poursuite, Inuit

10 – Indice, jadis, préjudice, immondice, appendice, drisse, tisse

12 – Partouze, ventouse, bouse, barbouze.

Voir Pensées & humour / Poésie

 

 

 

NOMBRES PAIRS & IMPAIRS 

 

Nombres divisibles par 2 (PAIR) ou non (IMPAIR). Mis en rang par deux les élèves forment un nombre exact de couples (le nombre est pair) ou il reste un élève isolé (nombre impair).

Il est utile de connaître la traduction en anglais, car un nombre pair est souvent représenté par la lettre E et impair pair par O – Cela pour ne pas confondre avec p de premier et i de imaginaire.

Mnémotechnique:  ODD est le symbole de l'impair avec D en double et un O en plus. Un autre truc: ODD s'écrit avec un nombre impair de lettres.

 

 

PERS

Yeux pers: entre bleu et le vert, le bleu étant dominant, le vert pouvant tourner au violet voire au noir. Couleur qui n'est pratiquement utilisée que pour les yeux. Se prononce comme pair.

 

 

NOMBRES PAIRS & IMPAIRS

– Caractérisation

 

 

 

*      Un nombre     pair est de la forme E = 2k
Un nombre impair est de la forme O = 2k + 1

 

*      Les nombres impairs sont aussi situés de part et d'autre des multiples de 4:
                                                          
O = 4k  1

Voir Modulo 2

 

 

Pagination des livres: pages paires à gauche et impaires à droite

 

 

 

DIVISION par 2

*      Les nombres pairs sont ceux dont la division par 2 donne un reste égal à zéro.

*      Les nombres impairs donnent un reste de 1.

Ils sont tous égaux à:
E
 0 modulo 2

Ils sont tous égaux à:
O
 1 modulo 2

*      La différence entre deux nombres pairs est toujours divisible par 2.

*      La différence entre deux nombres impairs est toujours divisible par 2.

 

Illustration

Avec une quantité impaire de colonnes, on forme un damier avec les nombres de même parité en diagonale; et, avec une quantité paire, un alignement vertical des nombres de même parité.

 

Voir Modulo

 

Deux sortes de nombres pairs

Impair

Odd

2k + 1

1, 3, 5, 7, 9 …

Pair

Even

2k

0, 2, 4, 6, 8 …

*       Doublement pair

Doubly even Evenly even

4k

0, 4, 8, 12 …

*       Simplement pair

Singly even

Oddly even

4k + 2

2, 6, 10, 14 …

 

 

 

PROPRIÉTÉS

Liens vers la page de développement

3² – 2²

4² – 3²

5² – 4²

= 5

= 7

= 9

= 3 + 2

= 4 + 3

= 5 + 4

Impairs

& différence de carrés

& somme de consécutifs 

>>>

2

2 + 4

2 + 4 + 6

=   2

=   6

= 12

= 1 x 2

= 2 x 3

= 3 x 4

Somme des pairs

>>>

= 1

= 1 + 3

= 1 + 3 + 5

= 1 + 3 + 5 + 7

Somme des impairs 

>>>

1 + 3 +   5 = 3 2

7 + 9 + 11 = 3 3

Nombres impairs,

      carrés et cubes

>>>

Calculs avec les pairs & impairs

>>>

3 x 5   = 4² – 1

4 x 6   = 5² – 1

Produit des pairs et des impairs

Fraction de ces produits (Wallis)

>>>

>>>

 

 

Devinette double et une en bonus

 

Devinette pour s'échauffer: j'ai une pièce de 1€ dans une main et de 2€ dans l'autre. Comment faire, avec un petit calcul simple, pour deviner où sont chacune des pièces? Réponse >>>

 

Plus coriace: j'ai dans une de mes mains un nombre pair de cailloux et dans l'autre main un nombre impair. Dans quelle main ai-je le nombre pair de cailloux ? Pour deviner, tu me poses une seule question dont la réponse doit être un nombre. Quelle est la question? Réponse >>>

 

Pour matheux: si a + b et ab sont deux nombres pairs,

prouvez que a et b sont pairs. Réponse >>>

Voir Magie

 

 

PAIRS et IMPAIRS consécutifs

 

*      Chaque fois que l'on multiplie deux nombres pairs (ou impairs) consécutifs on approche un carré à une unité près.

4 x 6 = 24 = 25 – 1

= 5² – 1

 

Le produit de deux nombres pairs consécutifs ou de deux nombres impairs consécutifs (tout couple de nombres avec un écart de 2) est égal au carré du nombre moyen moins un.

 

*      Pourquoi? Encore la beauté des identités remarquables =>

 

1 x 3 =   2² – 1

2 x 4 =   3² – 1

3 x 5 =   4² – 1

4 x 6 =   5² – 1

5 x 7 =   6² – 1

(a – 1)(a + 1) = a² – 1

 

 

1 x 5 =   3² – 4

2 x 6 =   4² – 4

3 x 7 =   5² – 4

4 x 8 =   6² – 4

5 x 9 =   7² – 4

(a – 2)(a + 2) = a² – 4

 

*      Généralisons cette propriété en multipliant tous les nombres pairs entre eux (ou tous les nombres impairs) entre eux:

 

 

  Suite en produits de Wallis

Voir Consécutifs / Proniques / Divisibilité des carrés impairs moins 1

 

 

Fraction des impairs

Fraction avec les impairs consécutifs, autant en haut et en bas.

Démonstration

 

Somme des impairs

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

Somme des suivants

(2n + 1) + (2n + 3) + … + (4n – 1)

= n . 2n + 1 + 3 + … + (2n – 1)

= 2n² + n² = 3n²

Fraction

n² / 3n² = 1/3

Voir Nombre 0,333…

 

 

Inverse de deux pairs ou impairs consécutifs

Inverse de deux pairs consécutifs.

Les deux nombres de la fraction résultat sont  les deux composantes d'un triplet de Pythagore.

 

3² + 4² = 5²

Démonstration

 

Somme des fractions

 

Somme des carrés du numérateur et du dénominateur

(2k + 1)² + (2k (k + 1)

 

 

Sommes et produits

SOMME

PAIRS

IMPAIRS

*    de 0 à 10

*    de 0 à 100

*    de 0 à 1000

*    de 0 à 10 000

30

2550

250 500

25 005 000

 

25 = 5²

2500 = 50²

250 000 = 500²

25 000 000 = 5000²

 

Somme alternée (Pairs – impairs)

*    de 0 à 10

*    de 0 à 100

5 = 10/2

50 = 100/2

PRODUIT

PAIRS

IMPAIRS

*    de 0 à 10

*    de 0 à 100

3 840

0,34…1080 =

3424322470 2511976248 2464328952 0818597511 8675053719 1988279156 5446348800 0000000000

945

0,27 1079 =

272539213 9750729502 9807132454 0091863329 0796330545 8034137343 2882344310 6201171875

Voir Somme des pairs / Somme des impairs / Factorielle

 

Que faut-il faire dans la vie ?

Persévère!

Voir Jeux de mots / Rébus

 

 

Numero deus impare gaudet. Un chiffre impair plaît aux Dieux.

Virgile, Les Bucoliques

Voir Pensées & humour

 

 

 

Exemples de calculs de parité

 

*    Un grand nombre de démonstrations, notamment celles liées au théorème de Fermat-Wiles pour n = 3 et n = 4 font appels à ce type de calcul sur les parités

 

Exemple 1

 

*    Que dire de la parité de a et b liés par cette égalité?

 

*    Finalement a et b sont de même parité.

 

a = 3b

 

Si b est pair, alors a = 3 (2k) = 6k qui est pair

 

Si b est impair, alors a = 3 (2k + 1) = 6k + 3 qui est  impair.

 

 

Exemple 2

 

*    Sachant que q et s sont de parités opposées que dire de a et b?

*    Ils sont aussi de parités opposées.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q = a3 – 9ab

s = 3a2b – 3b3

 

Premier cas: a et b sont pairs

avec la méthode des pairs (2k) / impairs (2k+1):

 

q = (2k)3 – 9 (2k)(2k') = 8K – 9 . 4K'  P – P  P

s = 3(2k)2 (2k') – 3(2k')3 = 3.8K – 3.8K' P – P  P

 

Second cas: a et b sont impairs

avec la méthode des restes de la division par 2 (modulo)

q = (2k+1)3 – 9 (2k+1)(2k'+1)

         1      – 9     x 1       x 1 mod 2

    1 – 1  = 0 mod 2: q est pair

s = 3(2k+1)2 (2k'+1) – 3(2k'+1)3

    3 x    1     x     1  – 3     x 1    mod 2

    1 – 1  = 0 mod 2: s est pair

 

Conclusion

Si a et b sont de même parité, s et q sont tous les deux pairs. Ce qui est incompatible avec notre hypothèse. Alors, a et b sont de parités opposées.

 

 

 

Fractions qui produisent les nombres pairs et impairs

Nombres pairs, suivis des nombres impairs

Nombres impairs, suivis des nombres pairs

Voir Autres fractions particulières

 

 

 

Trouvez le nombre manquant

Réponse: 628 – Suite des nombres pairs dont les chiffres sont groupés par trois.

 

 

 

Suite

*    Impairs, carrés et cubes

*    Nombres pairs et impairs – Caractérisation

*    Somme des nombres impairs

*    Carrés de nombres pairs et impairs

*    Numérotation des autoroutes aux États-Unis

*    Triplets de Pythagore (exemple d'application)

Nombres géométriques

*    Voir haut de page

*    Nombres géométriques

*    Synthèse des propriétés fondamentales des nombres géométriques

Voir

*    Critères de divisibilité

*    Nombres consécutifs

*    Nombres triangulaires

*    Partition & Addition

Diconombre

*    Nombre 15

*    Nombre 24

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PairImpa.htm

 

Devinette – Réponse

 

Les EUROS pour débutants

Tu donnes à ton copain ou copine une pièce de 1€ et une de 2€. Il doit les cacher chacune dans une main et tu paries que tu vas deviner où sont les pièces grâce à un petit calcul.

Tu lui demandes de faire 4 fois la main droite plus 3 fois la gauche.

Si le résultat qu'il te communique est impair, la pièce de 1€ est dans la main gauche.

En fait, le résultat sera de la même parité que celle de la pièce placée dans la main gauche.

Pour ne pas recommencer le même tour à chaque fois tu peux remplacer 4 par un autre nombre pair et 3 par un autre impair.

 

Les CAILLOUX

Multiplier la quantité de cailloux dans sa main droite par 2 et ajouter ceux de la main gauche. Si la somme est paire, le nombre pair est dans sa main gauche.

 

Variante pour masquer un peu plus les choses

Multiplier la quantité de cailloux dans sa main droite par un nombre pair, celle de sa main gauche par un nombre impair, et faire la somme. Si elle est paire, le nombre pair est dans sa main gauche.

 

Explication

La multiplication par un nombre pair à gauche laisse le produit pair, alors que la multiplication par un impair à droite donne un produit de la même parité que celle du nombre multiplié. Voir Multiplication

 

 

 

 

Question

Si a + b et ab sont deux nombres Pairs, prouvez que a et b sont Pairs.

Solution

Il suffit de cherchez les Impairs avec a + 1 et b+ 1

(a + 1)(b + 1) = ab + (a + b) + 1 = Pair + Pair + 1 = Impair

Or un Impair ne peut pas avoir de facteur Pair

C'est que a + 1 comme b + 1 sont chacun Impairs

Donc a et b sont Pairs.

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