NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Les cinq pots

>>> Cinq nombres

>>> Généralisation

>>> Formalisation

>>> Le plan déjoué …

>>> Table des sommes égales pour k de 2 à 20

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Énigmes des cinq pots

& Sommes de consécutifs

 

Comment partager les billes dans cinq pots selon certaines conditions? Quel est le minimum de billes?

Une énigme qui conduit à une propriété sur les sommes de nombres consécutifs.

 

Exemple

En commençant par 5 billes ou plus, la balance penchera vers la gauche et cela même en échangeant des nombres d'un plateau à l'autre. Comparez les écarts entre quantité de billes vertes et de billes violettes. Voir la propriété >>>

 

 

Les cinq pots – Énigme

 

Énigme

Cinq pots dans lesquels on place des billes:

*      Au moins une bille par pot;

*      Quantité différente dans chaque pot;

*      Trois pots contiennent toujours plus de billes que les deux autres.

 

Solution

On pose a, b, c, d et e les quantités de billes.

Ces valeurs sont différentes: a < b < c < d < e

 

Chaque pot successif contient au moins une bille de plus que le précédent:

d > c > b                  e > d > c

d  b + 2                 e  c + 2           

 

Les trois premiers pots contiennent plus que les deux derniers:

a + b + c > d + e

a + b + c > b + 2 + c + 2

a > 4

 

Testons les plus petites valeurs avec a = 5

5, 6, 7, 8 et 9

Total 35

Total des trois premiers 18

Total des deux derniers 17

Total des autres configurations toujours satisfait car le cas examiné était le cas avec les valeurs les plus faibles pour la somme de trois. Toute autre somme donnera un total plus grand et une somme des deux autres plus petite

Ex: 5 + 6 + 8  = 19 > 7 + 9 = 16

 

 

 

Cinq nombres

 

Cette énigme révèle une propriété des nombres.

 

Avec cinq nombres consécutifs à partir de 5, toute somme de trois d'entre eux est supérieure à la somme des deux autres.

 

Pourquoi à partir de 5?

Si le premier est a, le suivant est a +1, etc.

La somme des trois plus petits est:
a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3

Celle des deux plus grands est:
(a+3) + (a+4) = 2a + 7

Relation entre les deux:
 3a + 3 > 2a + 7 ?

Le nombre a est positif
3a – 2a > 7 – 3
a > 4

 

Pourquoi toutes les permutations

Le cas étudié est le cas le plus critique: en échangeant deux nombres, c'est un plus grand qui entre dans le club des trois et un plus petit dans celui des deux, renforçant l'inégalité. 

 

 

Exemple avec les premières valeurs

 

Toutes les permutations avec {5, 6, 7, 8, 9 }

 

 

 

Généralisation

 

Lecture de la table

L'exemple vu ci-dessus est noté S3S2 et se trouve en colonne 3 et ligne 2, case dans laquelle on trouve:  S3 = 3a + 3; S2 = 2a + 7; S3 – S2 = a – 4 qui conduit à la condition: S3 est plus grand que S2 pour a plus grand que 4.

 

Exemple complémentaire

Avec S5S4, en colonne 5 et ligne 4, la conclusion est que S5 > S4 si a > 16

En effet: 16 + 17 + 18 + 19 + 20  = 5 x 18 = 90 et 21 + 22 + 23 + 24 = 4 x 22, 5 = 90. Soit égalité; il faudra un de plus pour que S5 soit supérieur à S4.

 

 

Formalisation

Formules pour SkSk-1

 

 

Valeur de a pour égalité

 

 

 

Conclusion

 

Théorème

La somme de k + 1 nombres successifs

à partir de k²

est égale à la somme des k suivants.

 

Exemple

 

K = 10

100 + 101 + … + 110 = 111 + 112 + … + 120 = 1155

Retour à l'inégalité

 

Si la somme commence par un nombre plus grand que k², alors la première somme est plus grande que la seconde, et, l'inégalité reste vraie quelle que soit la permutation des 2k + 1 nombres.

 

 

Le plan déjoué … ou le pot aux roses

Plus simple!

 

Sur l'exemple S4S3, prenons ce qui "dépasse": 0 + 1+ 2 + 3 et 4 + 5 + 6. L'écart est de 15 – 6 = 9

Pour compenser cet écart, il faut ajouter k à chaque nombre avec k tel que : 5k = 4k + 9, soit k = 9.

Et donc, en ajoutant 9 partout: 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15.

 

Révélation!

 

Voyons cela plus précisément.

Comment passe-t-on des deux sommes de nombres successifs à une égalité ?

                                         

 

 

Table des sommes égales, pour k de 2 à 20

Exemple: k = 5 => 25 + 26 + … + 30 = 31 + 32 + … + 35 = 165

 

English corner

Sweets in five jars in such a way that no jar is empty and no two jars contain the same number of sweets.

Also, any three jars contain more sweets in total than the total of the remaining two jars.

What is the smallest possible number of sweets altogether in the five jars?

Source: UK Junior Mathematical Olympiad 2010

 

 

 

 

 

Voir

*  Partage – Énigmes classiques

*  Partage en dix

Aussi

*  Nombres consécutifs

*  Énigmes en économie

*  JeuxIndex

*  Partage et dédommagement

*  Partage lors d'un repas en commun

*  Partage de Pascal

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