NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/09/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique          Brèves de Maths                   

     

SOMMES

 

Débutants

Sommes

 

Débutants

Somme des entiers

 

Sommes des entiers

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Index et formules

 

Identités

 

Calcul

 

 

Somme des entiers (1/2)

Sommes des pairs

Sommes alternées

Sommes des entiers (2/2)

Somme des impairs

Somme des carrés …

 

Sommaire de cette page

>>> Somme des entiers – Rappel

>>> Formule pour 1 à n

>>> Formule pour m à n

>>> Somme des points dans un jeu de cartes

>>> Entiers manquants

>>> Égalité avec somme des entiers

>>> Égalité avec somme des carrés

>>> Sommes de k entiers consécutifs

>>> Somme et différences de k entiers consécutifs

 

                                                                                                                                          

 

 

 

SOMME des ENTIERS

avec nombres consécutifs (2/2)

 

Suite de la page sur la somme des entiers: quelques propriétés et curiosités.

 

Exemple: la somme des entiers jusqu'au nombre 3 additionnée à la somme des entiers jusqu'au nombre 5 est égale à la somme des entiers jusqu'au nombre 6. >>>

 

 

 

Somme des entiers successifs – Rappel

Théorème

 

La somme des entiers successifs produit les nombres triangulaires.

 

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n

= n ( n + 1 ) / 2 = Tn

 

Notez que parmi les deux nombres n et n + 1, l'un est pair et l'autre impair; le produit est toujours divisible par 2.
La somme Sn est bien un entier!

 

 

Valeurs

                     Rang                             Tn

                     0                                    0

                     1                                    1

                     2                                    3

                     3                                    6

                     4                                    10

                     5                                    15

                     6                                    21

                     7                                    28

                     8                                    36

                     9                                    45

                     10                                  55

                     100                                5 050

                     1 000                             501500

                     10 000                           50015000

                     100 000                         5000150000

                                                            

                     n                                    n ( n + 1 ) / 2

 

 

Approche de la formule

(somme des entiers consécutifs)

Exemple

Formulation

Prenons l'exemple:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2  + ... + n

La moyenne de ces 4 nombres est:

10 / 4 = 2,5 = ½ 5

½ (n + 1)

Si on veut leur somme, on multiplie par la quantité de nombres.

4 x  ½ 5 = 10

½ n (n + 1)

 

Somme des entiers sur une plage

Exemple

Formulation

Somme  des entiers de m à n:

4 + 5 + 6 = 15

 

m = 4 et n = 6

= 1/2 (6x7 – 3x4)

= 30/2 = 15

 

 

 

Cas des cartes à jouer: somme des points

Application

Compter le nombre de points dans un jeu de cartes.

 

Note

Au Rami comme pour le Black Jack, les figures comptent pour 10 points. L'as compte pour 1 ou 11 points.

 

 

 

Entiers manquants

 

 

Une application de la somme des entiers.

 

Énigme

En faisant la somme des entiers de 1 à n avec n < 11, un enfant trouve 40.

Visiblement, il a oublié de compter un nombre.

Lequel ?

 

 

Réponse

C'est le 5 qui manque

 

 

Solution par recherche

On dresse ce petit tableau avec les sommes des entiers de 1 à n qui se trouvent autour de 40:

 

*      La somme des entiers jusqu'à 8 (½ 8 x 9 = 36) ne convient pas car trop petite.

*      Celle jusqu'à 9 (= 45) est juste suffisante, et la différence 5 est sans doute le nombre oublié.

*      La suivante (= 55) jusqu'à 10 présente un excès de 15; mais, ce nombre dépasse ceux de la somme considérée: elle ne va que jusqu'à 10. Le nombre 15 est donc à écarter.

*      Seule solution: l'enfant a fait la somme des nombres de 1 à 9 en oubliant le 5.

 

Solution par équation

Traduction sous forme d'équation:

40 = ½ n (n + 1) – x

80 =  n (n + 1) – 2x

2x =  n (n + 1) – 80 

Il faut trouver deux nombres consécutifs dont le produit est supérieur à 80.

Le premier de la sorte est 9 x 10 = 90

2x = 90 – 80 et x = 5

Il s'agit donc de la somme des nombres jusqu'à 9 sans le 5.

 

Vérification

 ½ (9 x 10) – 5 = 45 – 5 = 40

 

Essayons le produit suivant: 10 x 11

2x = 110 – 80 et x = 15

15 est trop grand puisqu'il s'agit de la somme des nombres de 1 à 10.

 

 

Même énigme mais l'enfant à oublié deux nombres.

 

Impossible!

 

Dans ce cas, pour faire 5, il aurait oublié les couples:

(1, 4) ou (2, 3).
Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 – 5 = 40

Et pour faire 15 avec un total de 55, donc sans dépasser 10:

(5, 10), (6, 9) ou (7, 8).

Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 – 15 = 40

La somme suivante est 66. L'écart serait de 26, inatteignable avec des nombres inférieurs ou égaux à 11.

 

Voir Énigme du nombre manquant connaissant la moyenne / ÉnigmesIndex

Merci à Yann pour sa relecture attentive

 

 

Égalité avec somme des entiers

Que penser de cette égalité?

On connait la formulation de la somme des entiers.

Après développement et simplification.

Existe-t-il des solutions? OUI, par exemple:

3² + 5² – 6² = 6 – 3 – 5

9  + 25 – 36 = -2

En effet, on retrouve les sommes des entiers:

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Autres cas

Première solution (avec répétition).

2² + 2² – 3² = 3 – 2 – 2 = –1

 

Il y a 15 solutions pour a, b et c jusqu'à 25.

 

Il y a 98 solutions pour a, b et c jusqu'à 100,

et 1 699 jusqu'à 1000.

 

 

 

Exemple de lecture

En dernière ligne:

S14 + S18 = S23 =

1 + 2 + 3 + … + 14

+ 1 + 2 + 3 + … + 18

= 1 + 2 + 3 + … + 23

Note: les cas  (9, 13, 16) et (11, 20, 23) montrent que l'égalité est possible même si les trois nombres sont premiers entre eux deux à deux.

 

Cas de quatre sommes

Un exemple des plus simples.

Les 12 solutions pour a, b, d et d jusqu'à 10.

 

 

Égalité avec somme des carrés

Sur notre lancée, que penser de cette égalité avec des carrés?

On connait la formulation de la somme des carrés.

Tous calculs faits:

Existe-t-il des solutions? OUI

 

 

 25 585 + 31 395 = 56 980

 

Les 14 solutions pour a, b et c jusqu'à 1000

 

Cas de quatre sommes

Exemples =>

 

 

 

Il y a 56 cas pour a, b, c et d jusqu'à 100, comme =>

4, 5, 5, 7

4, 6, 10, 11

10, 10, 14, 17

43, 51, 85, 94 (le plus grand)

 

 

Sommes de k entiers consécutifs

k = 2

 

k = 3

 

n + (n+1) = 2n + 1             Nombre impair

 

(n–1) + n + (n+1) = 3n      Nombre divisible par 3

 

Etc. Trivial

 

 

Sommes et différences de k entiers consécutifs

So / k = 2

n + (n – 1) = 2n – 1  Trivial

3 + 2 = 2x3 – 1 = 5

Dif / k = 2

n – (n – 1) = 1  Trivial

3 – 2 = 1

So / k = 3

(n + 1) + n + (n – 1) = 3n

4 + 3 + 2 = 3x3 = 9

n + (n – 1) + (n – 3) = 3n – 3

4 + 3 + 2 = 4x3 – 3 = 9

Dif / k = 3

(n + 1) + n – (n – 1) = n + 2

4 + 3 – 2 = 3 + 2 = 5

So / k = 4

(n + 1) + n + (n – 1) + (n – 2) = 4n – 2

5 + 4 + 3 + 2 = 4x4 – 2 = 14

n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) = 4n – 6

5 + 4 + 3 + 2 = 4x5 – 6 = 14

Dif / k = 4

(n + 1) – n – (n – 1) + (n – 2) = 0

5 – 4 – 3  + 2 = 0

5 + 2 = 3 + 4

Voir Nombres consécutifs –  Sommes / Produits

 

 

 

 

 

Retour

*    Somme des entiers: page 1/2

Suite

*    Sommes des entiersFormulaire

*    Démonstrations

Suite

*    Somme des entiers – Juniors

*    Sommes des pairs

*    Somme des impairs

*    Somme pyramide

*    Sommes particulières de nombres consécutifs

*    Nombres pairs et impairs – Introduction

*    Impairs et différence de carrés

*    Quantité de traits – Junior

*    Quel est le numéro de la villa?

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    Somme des puissances

*    Tautochrone

*    Théorèmes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/SomEntie.htm