NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme des entiers

SOMMES de 1 à n

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

Identités

 

 

Index et Bases

Entiers

Pairs

Impairs

 

Sommaire de cette page

>>> TABLEAU Somme des entiers

>>> Somme des entiers

>>> Somme des points dans un jeu de cartes

>>> Démonstrations

>>> Sommes de k entiers consécutifs

>>> Somme et différences de k entiers consécutifs

>>> Entiers manquants

 

 

 

 

 

SOMME des ENTIERS

avec nombres consécutifs

 

 

TABLEAU Somme des entiers

>>>

Entiers

1 + 2 + 3 +  … + n

= 1/2 n (n + 1) = Tn

>>>

Pairs

2 + 4 + 6 +  … + 2n

= n (n + 1) = n² + n = 2Tn

>>>

Impairs

1 + 3 + 5 +  … + (2n – 1)

= n2

>>>

Alternée avec 1

1 – 1 + 1 – 1 + 1 + ...

= 1/2

>>>

Alternée

1 – 2 + 3 – 4 + 5 + ... + 2n

= – n

>>>

Alternée

1 – 2 + 3 – 4 + 5 + ... + 2n + …

= 1/4

>>>

Thue-Morse

– 2² – 3² + 4² – 5² + 6² + 7² – 8²

= 0

 

>>>

Inverses

Série harmonique

Sh =  1/1 + 1/2 + 1/3 + …

>>>

Inverses alternés

Série semi-harmonique

1/1 – 1/2 + 1/3 – …

= ln2 = 0,6931…

>>>

Inverses opposés

        (somme)

(1–1/2) + (1–1/3) + … + (1-1/n)

(1–1/2) + (1–1/3) + …

n – Sh

>>>

Inverses opposés

        (produit)

(1–1/2) x(1–1/3) x … x (1–1/n)

(1–1/2) x(1–1/3) x …

= 1 / n

>>>

Impairs alternés

1 – 1/3 + 1/5 –    

=  / 4 = 0,785…

 

Produits impairs

1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + 1/9.11 + …

= n / 3(2n+3)

 

Produits combinés

1/1.3 + 1/2.5 + 1/3.7 + 1/4.9 + …

= 2 – 2 ln2

 

Symétrique

1 + 2 +… (n-1) + n + (n-1) +…+ 2 + 1

= n²

>>>

Pronique

1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + … + n(n+1)

= 1/3 n(n+1)(n+2)

Produit de trois

1x2x3 + 2x3x4 … + n(n+1)(n+2)

= 1/4  n(n+1)(n+2)(n+3)

>>>

Puissances

1/1k + 1/2k +1/3k +1/4k +…

= (k)

>>>

2k

1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 8 + 1/16

= 2

 

 

 

Pyramide

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

S ligne n = n/2 (n²+1)

 

Pyramide impaire

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

S ligne n = n3

Voir Pyramides et carrés

 

 

 

Somme des entiers successifs

 

Théorème

 

*           La somme des entiers successifs produit les nombres triangulaires.

 

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2 = Tn

 

 

*           Notez que parmi les deux nombres n et n+1, l'un est pair et l'autre impair; le produit est toujours divisible par 2.
La somme Sn est bien un entier!

 

Valeurs

                                    Rang                           Tn

                                    0                                  0

                                    1                                  1

                                    2                                  3

                                    3                                  6

                                    4                                  10

                                    5                                  15

                                    6                                  21

                                    7                                  28

                                    8                                  36

                                    9                                  45

                                    10                                55

                                    100                              5 050

                                    1 000                           501500

                                    10 000                         50015000

                                    100 000                       5000150000

                                                                         

                                    n                                 n ( n + 1 ) / 2

 

Cas des cartes à jouer: somme des points

 

Note: au Rami comme pour le Black Jack, les figures comptent pour 10 points. L'as compte pour 1 ou 11 points.

 

 

Approche de la formule (somme des entiers consécutifs)

 

 

Cas particulier

Cas général

*           Prenons l'exemple

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2  + .. + n

*           La moyenne de ces 4 nombres est

10 / 4 = 2,5 = ½ 5

½ (n + 1)

*           Si on veut leur somme, on multiplie par la quantité de nombres

4 x  ½ 5 = 10

½ n (n + 1)

 

 

Démonstrations

 

Se référer aux liens suivants:

*    Somme de 1 à 100 = 5050 Méthode de calcul utilisée par Gauss enfant

*    Démonstration par calcul

*    Démonstration par récurrence

*    Somme des entiers, carrés, cubes … Démonstration

*    Quantité de traits (segments) dans un polygone

*    Quantité de régions dans un cercle avec n cordes

*    Somme 1 + 2 + 3 + … = 1/12 (?)

 

Voir utilisation dans les  Carrés Magiques

Voir Division des factorielles par la somme des entiers

 

 

 

 

 

Sommes de k entiers consécutifs

*      k = 2

*      k = 3

n + (n+1) = 2n + 1 Nombre impair

(n–1) + n + (n+1) = 3n Nombre divisible par 3

Etc. Trivial

 

 

Sommes et différences de k entiers consécutifs

So / k = 2

n + (n – 1) = 2n – 1  Trivial

3 + 2 = 2x3 – 1 = 5

Dif / k = 2

n – (n – 1) = 1  Trivial

3 – 2 = 1

So / k = 3

(n + 1) + n + (n – 1) = 3n

4 + 3 + 2 = 3x3 = 9

n + (n – 1) + (n – 3) = 3n – 3

4 + 3 + 2 = 4x3 – 3 = 9

Dif / k = 3

(n + 1) + n – (n – 1) = n + 2

4 + 3 – 2 = 3 + 2 = 5

So / k = 4

(n + 1) + n + (n – 1) + (n – 2) = 4n – 2

5 + 4 + 3 + 2 = 4x4 – 2 = 14

n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) = 4n – 6

5 + 4 + 3 + 2 = 4x5 – 6 = 14

Dif / k = 4

(n + 1) – n – (n – 1) + (n – 2) = 0

5 – 4 – 3  + 2 = 0

5 + 2 = 3 + 4

 

 

 

Entiers manquants

Une application de la somme des entiers.

 

Énigme

En faisant la somme des entiers, un enfant trouve 40. Visiblement, il a oublié de compter un nombre lequel?

 

Réponse

C'est le 5 qui manque

 

 

Solution

Quels sont les comptes approchants qu'il aurait pu trouver, sans erreur? Avec 8 entiers, la somme serait 8 x 9 / 2 = 36; avec 9, ce serait 45 et avec 10, nous aurions 55.

 

Avec un compte de 40, il faut plus de 8 entiers.

Si le compte était 45, l'enfant aurait oublié de compter le 5 (45 – 40).

Si le compte était 55, il aurait oublié de compter l'entier 15 (55 – 40). Or, l'entier15 est trop grand. À la rigueur 10, mais pas 15.

 

Même énigme mais l'enfant à oublié deux nombres.

Dans ce cas, pour faire 5, il aurait oublié les couples:

(1, 4) ou (2, 3).

Et pour faire 15 avec un total de 55, donc sans dépasser 10:

(5, 10), (6, 9) ou (7, 8).

La somme suivante est 66. L'écart serait de 26, inatteignable avec des nombres inférieurs ou égaux à 11.

 

Voir Énigmes

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme des entiers – Juniors

*    Sommes des pairs

*    Somme des impairs

*    Sommes particulières de nombres consécutifs

*    Nombres pairs et impairs – Introduction

*    Impairs et différence de carrés

*    Quantité de traits – Junior

*    Quel est le numéro de la villa?

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    Somme des puissances

*    Tautochrone

*    Théorèmes

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