NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 16/02/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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	Sommaire de cette page >>> TABLEAU Somme des entiers >>> Somme des entiers >>> Démonstrations >>> Sommes de k entiers consécutifs >>> Différences de k entiers consécutifs

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SOMME des ENTIERS

avec nombres consécutifs

TABLEAU Somme des entiers
>>>	Entiers	1 + 2 + 3 + … + n	= 1/2 n (n + 1) = Tn
>>>	Pairs	2 + 4 + 6 + … + 2n	= n (n + 1) = n² + n = 2Tn
>>>	Impairs	1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)	= n^2
>>>	Impairs alternés	1 – 1/3 + 1/5 – …	= / 4 = 0,785…

>>>	Inverses Série harmonique	Sh = 1/1 + 1/2 + 1/3 + …
	Inverses alternés Série semi-harmonique	1/1 – 1/2 + 1/3 – …	= ln2 = 0 693…
>>>	Inverses opposés (somme)	(1–1/2) + (1–1/3) + … + (1-1/n) (1–1/2) + (1–1/3) + …	n – Sh
>>>	Inverses opposés (produit)	(1–1/2) x(1–1/3) x … x (1–1/n) (1–1/2) x(1–1/3) x …	= 1 / n
	Produits impairs	1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + 1/9.11 + …	= n / 3(2n+3)
	Produits combinés	1/1.3 + 1/2.5 + 1/3.7 + 1/4.9 + …	= 2 – 2 ln2
	Symétrique	1 + 2 +… (n-1) + n + (n-1) +…+ 2 + 1	= n²
>>>	Pronique	1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + … + n(n+1)	= n/3 (n² + 3n + 1)

Pyramide	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …	S ligne n = n/2 (n²+1)
Pyramide impaire	1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …	S ligne n = n^3

Voir Pyramides et carrés

Somme des entiers successifs
Théorème La somme des entiers successifs produit les nombres triangulaires. Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2 = Tn Notez que parmi les deux nombres n et n+1, l'un est pair et l'autre impair; le produit est toujours divisible par 2. La somme Sn est bien un entier! Valeurs Rang Tn 0 0 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 6 21 7 28 8 36 9 45 10 55 100 5 050 1 000 501500 10 000 50015000 100 000 5000150000 n n ( n + 1 ) / 2 Approche de la formule
	Cas particulier	Cas général
Prenons l'exemple	1 + 2 + 3 + 4 = 10	1 + 2 + .. + n
La moyenne de ces 4 nombres est	10 / 4 = 2,5 = ½ 5	½ (n + 1)
Si on veut leur somme, on multiplie par la quantité de nombres	4 x ½ 5 = 10	½ n (n + 1)

Démonstrations
Se référer aux liens suivants: Somme de 1 à 100 = 5050 Méthode de calcul utilisée par Gauss enfant Démonstration par calcul Démonstration par récurrence Somme des entiers, carrés, cubes … Démonstration Voir utilisation dans les Carrés Magiques Voir Division des factorielles par la somme des entiers

Sommes de k entiers consécutifs
k = 2 k = 3	n + (n+1) = 2n (n–1) + n + (n+1) = 3n Etc. Trivial

Différences de k entiers consécutifs
k = 2	(n+1) – n = 1 Trivial
k = 3	(n–1) + (n+1) = 2 n 3 + 5 = 2 + 4 4 + 6 = 2 + 5
k = 4	(n–2) – (n–1) – (n+1) + (n+2) = 0 3 + 6 = 4 + 5 4 + 7 = 5 + 6

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Suite	Somme des entiers – Juniors Sommes des pairs Somme des impairs Sommes particulières de nombres consécutifs Nombres pairs et impairs – Introduction Impairs et différence de carrés Quantité de traits – Junior
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres géométriques Pairs et impairs Somme des puissances Tautochrone Théorèmes