NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

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Général

FACTEURS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Types de nombres

 

 Liste des types

Nombres de Zeisel

Paires  de Ruth Aaron

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Liste des paires de Ruth-Aaron – Simples et pures

>>> Paires puissantes

>>> Triplets de Ruth-Aaron

 

 

 

Famille

Nombre / Division

Approche

Deux nombres consécutifs:

714 = 2 x 3 x 7 x 17  et   2 + 3 + 7 + 17 = 29

715 = 5 x 11 x 13      et   5 + 11 + 13     = 29

Somme des facteurs identiques

Définitions

 

Paires de Ruth-Aaron

Deux nombres consécutifs dont la somme des facteurs est identique.

Ces deux nombres sont appelés nombres de Ruth-Aaron.

S(n) = S(n + 1)

Une infinité, sans doute.

 

Triplets de Ruth-Aaron

Trois nombres consécutifs dont la somme des facteurs est identique.

S(n) = S(n + 1) = S(n + 2)

Seuls sept triplets sont connus.

Aucun quadruplet connu jusqu'à 1010.

 

Catégories

 

Trois sortes de nombres selon les facteurs: N = Xk . Yh

 

*       Ssimple  =   X + Y   avec  k ou h >1
            – Addition des facteurs uniques;

*       Spur          =   X + Y   avec  k = h = 1
             – Addition de facteurs uniques;

*       Spuissant = kX + hT avec  k ou h >1
              -  Addition de tous les facteurs, l'un au moins > 1.

 

 

Exemples

  

 

N

N + 1

Sommes

Simple

24 = 23 x 3

25 = 52

2 + 3 = 5

Pur

5 = 5

6 = 2 x 3

5 = 2 + 3

Puissant

8 = 23

9 = 32

3 x 2 = 2 x 3 = 6

 

 

Origine

Nom donné par Carl Pomerance (Américain né en 1944) – Université de Georgie.

Babe Ruth et Hank Aaron sont des joueurs de baseball. Ruth déteint le record du nombre de coups avec 714 depuis 1935; record qui fut battu en 1974 par Aaron avec 715 coups (Il terminera sa carrière avec 755 homeruns).

 

Pomérance, aisi que son collègue David Penney, remarquent que le produit 714 x 715 = 510 510 est amusant et surtout, c'est le produit des sept premiers nombres premiers

714 x 715 = 510 510 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17

 

Un étudiant de Pomerance, Jeremey Jordan, observe qu'en plus, la somme des facteurs premiers est égale pour les deux nombres.

714 = 2 x 3 x 7 x 17 et 2 + 3 + 7 + 17 = 29

715 = 5 x 11 x 13 et 5 + 11 + 13 = 29

 

Propriétés

 

Conjecture: il existe une infinité de paires de Ruth-Aaron. La démonstration d'Erdös a été infirmée. Nelson et al  ont montré que la conjecture H e Schinzel impliquerait l'existence d'une infinité de paires de Ruth-Aaron.

 

Pomerance et Erdös ont prouvé en 1978, une conjecture de Nelson et al sur la répartition des paires de Ruth-Aaron. La somme des inverses des nombres de Ruth-Aaron tend vers 0,4207.

Source: Ruth-Aaron Pair de MathWorld

 

Formule

 

La formule suivante produit des nombres de Ruth-Aaron (pas tous, loin de là!)

 

A = 2n + 1

Si les quatre sont premiers, alors

N       =    B.C

N + 1 = 4 A.D

forment une paire de Ruth-Aaron.

B = 8n + 5

C = 48n² + 24n – 1

D = 48n² + 30n – 1

 

Exemples

 

L'hypothèse H de Schinzel indique ces polynômes devraient être premiers une infinité de fois. Ce qui prouverait, si l'hypothèse était confirmée, que les paires de Rutj-Aaron seraient en nombre infini.

 

 

 Densité

 

La densité des paires de Ruth-Aaron serait nulle (ils sont rares).

Pomerance et Erdös ont prouvé que:

 

Théorème

La quantité de nombres n  x tels que S(n) = S(n+1) est:

Ce qui veut dire que la quantité Q est bornée.

 

 

Variantes

 

Paires à facteurs consécutifs

Imposer que les facteurs premiers soient consécutifs

Ex: 24 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9 et 25 = 5 + 5 = 10

Il existe 55 telles paires jusqu'à 100 000.

 

Sommes multiples

Imposer que la somme des facteurs du premier égale k fois celle du suivant: S(n = k S(n+1).

 

 

 

Anglais

Ruth-Aaron pair

 

A Ruth–Aaron pair consists of two consecutive integers (e.g. 714 and 715) for which the sums of the prime factors of each integer are equal.

 

On April 8, 1974 when Hank Aaron surpassed the career home run record of 714 set by the immortal Babe Ruth by hitting his own 715th homer, mathematicians found yet another reason to cheer.

 

 

 

Liste des paires de Ruth-Aron – Simples et Pures

 

Paires avec indication des facteurs jusqu'à 10000

 

Paires de Ruth-Aaron  simples et purs (en rouge)

 

N

Facteur de N

N + 1

Facteurs de N+ 1

Somme

5

 5

 6

 2  x   3

 5

24

 23 x   3

 25

 52

 5

49

 72

 50

 2  x   52

 7

77

 7  x   11

 78

 2  x   3  x   13

 18

104

 23 x   13

 105

 3  x   5  x   7

 15

153

 32 x   17

 154

 2  x   7  x   11

 20

369

 32 x   41

 370

 2  x   5  x   37

 44

492

 22 x   3  x   41

 493

 17  x   29

 46

714

 2  x   3  x   7  x   17

 715

 5  x   11  x   13

 29

1 682

 2  x   292

1 683

 32 x   11  x   17

 31

2 107

 72 x   43

2 108

 22 x   17  x   31

 50

2 299

 112 x   19

2 300

 22 x   52 x   23

 30

2 600

 23 x   52 x   13

2 601

 32 x   172

 20

2 783

 112 x   23

2 784

 25 x   3  x   29

 34

5 405

 5  x   23  x   47

5 406

 2  x   3  x   17  x   53

 75

6 556

 22 x   11  x   149

6 557

 79  x   83

 162

6 811

 72 x   139

6 812

 22 x   13  x   131

 146

8 855

 5  x   7  x   11  x   23

8 856

 23 x   33 x   41

 46

9 800

 23 x   52 x   72

9 801

 34 x   112

 14

 

Paires simples jusqu'à 500 000 

La colonne P est à 1 pour les paires pures

 

 

 

 

Liste des paires de Ruth-Aron – Puissantes

 

Paires puissantes jusqu'à 100 000

Notation: 2^3 = 23

 



 

Triplets de Ruth-Aaron

Triplets purs

 

Seuls connus

(Les trois derniers sont dus à Giovanni Resta)

 

89 460 294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8 419

89 460 295 = 5 × 4 201 × 4 259

89 460 296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8 389

    et  2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8 419

      = 5 + 4 201 + 4 259

      = 2 + 31 + 43 + 8 389 = 8 465

 

151 165 960 539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2 081 × 2411

151 165 960 540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1 193 × 3 089

151 165 960 541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4 021

      Somme =  4589

 

3 089 285 427 491 = 23 x 37 x 79 x 89 x 521 x 991

3 089 285 427 492 = 22 x 33 x 11 x 19 x 283 x 563 x 859

3 089 285 427 493 = 43 x 419 x 457 x 821

      Somme = 1740

 

6 999 761 340 223 = 109 x 1693 x 10 487 x 3 617

6 999 761 340 224 = 26 x 17 x 241 x 1 949 x13 697

6 999 761 340 225 = 32 x 52 x 232 x 37 x 101 x 15 737

      Somme = 15 906

 

7 539 504 384 825 = 32 × 52 × 72 × 43 × 251 × 63 361

7 539 504 384 826 = 2 × 19 × 367 × 10 181 × 53 101

7 539 504 384 827 = 17 × 457 × 26 309 × 36 887

        Somme = 63 670

 

Triplets puissants

 

Seuls connus jusqu'à 1013

 

417 162 = 2 × 3 × 251 × 277

417 163 = 17 × 53 × 463

417 164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499

      et 2 + 3 + 251 + 277

      = 17 + 53 + 463

       = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533

 

6 913 943 284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5 197

6 913 943 285 = 5 × 283 × 1 259 × 3 881

6 913 943 286 = 2 × 3 × 167 × 2 549 × 2 707

      et 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197

        = 5 + 283 + 1259 + 3881

        = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428

 

 

 

 

 

  

Suite

*         Liste des types de nombres selon leurs facteurs

DicoNombre

*         Nombre 714

*         Nombre 510 510

Site

*         Puzzle 173. Ruth-Aaron Triplets

*         Ruth-Aaron Numbers revisited – C. PomeranceNiveau avancé.

*         OEIS A006145

*         OEIS A039752

*         OEIS A227654

*         Ruth-Aaron pairs – Numbers aplenty

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/RuthAaro.htm