NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

DIVISEURS

 

Glossaire

Diviseur

 

 

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Décomposition

 

Généralités

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Facteurs  Premiers

Liste

2n Diviseurs

Communs

Records

Plus grand facteur

 

Sommaire de cette page

>>> Calcul du nombre de diviseurs d'un nombre

>>> Calcul du nombre de produits de 2 facteurs

>>> Calcul de la somme des diviseurs

 

>>> Nombres Grand Facteur = Somme des Chiffres

 

 

 

 

 

CALCUL AVEC LES DIVISEURS

 

Trouver la quantité ou la somme des diviseurs.

Un bref aperçu.  Voir développements >>>

 

 

 

Quantité de DIVISEURS d'un NOMBRE


Quantité de diviseurs

 

La quantité de diviseurs de N = ap . bq . cr  ... est   = (p + 1) (q + 1) (r + 1) (...

 

 

Démonstration

 

ap est divisible par 1, a, a2, ... ap

 

N est divisible par  (1, a, a2, ... ap)(1, b, b2, ... bp)(1, c, c2, ... cp)(...

 

Soit:

(p+1) facteurs fois (q+1) facteurs, etc.

 

 

Exemple

 

32 x 51 = 45

Nombre de diviseurs = (2 + 1) (1 + 1) = 6

 

En effet,

(1 x 3 x 9) (1 x 5) = 1 x 3 x 9 x 5 x 15 x 45

Voir Calcul des diviseurs propres 

  

 

Quantité de produits de DEUX FACTEURS

 

N ayant n facteurs premiers différents, la quantité de produits de deux facteurs premiers entre eux est 2n - 1 .

 


 
Exemple

 

45 = 32 x 5

Quantité de produits : 2 (2-1) = 2

 

En effet, 3 et 5 sont les deux seuls facteurs premiers de 45

 

 

 

 

Somme des DIVISEURS

 

Somme des diviseurs =

 

 

 


 
Exemple

 

21 600 = 63 . 102

= 23 . 33 . 25 . 52

= 25 . 33 . 52

 

Quantité de diviseurs :

(5 + 1) (3 + 1) (2 + 1) = 72

 

Somme des diviseurs :

(26 – 1)/(2 – 1) . (341 )/(3 – 1) . (53 - 1)/(5 – 1)

= 63 x 40 x 31 = 78 120

 

Quantité de produits de deux facteurs premiers entre eux avec 3 facteurs différents

2(3 – 1) = 4

 

 

 

 

Amusements et curiosités

 

Nombres GF = SC

 

Nombre dont le plus grand facteur est égal à la somme des chiffres du nombre.

 

Exemples

    12 = 2 x   3          &   3 = 1 + 2

1729 = 7 x 13 x 19 & 19 = 1 + 7 + 2 + 9

Liste

pour n de 2 à 1000

 

2, {2}

3, {3}

5, {5}

7, {7}

12, {2, 3}

50, {2, 5}

70, {2, 5, 7}

 

 

308, {2, 7, 11}

320, {2, 5}

364, {2, 7, 13}

476, {2, 7, 17}

500, {2, 5}

605, {5, 11}

700, {2, 5, 7}

704, {2, 11}

715, {5, 11, 13}

832, {2, 13}

935, {5, 11, 17}

 

 

1088, {2, 17}

1183, {7, 13}

1547, {7, 13, 17}

1729, {7, 13, 19}

2401, {7}

2584, {2, 17, 19}

2618, {2, 7, 11, 17}

2704, {2, 13}

2926, {2, 7, 11, 19}

 

 

3080, {2, 5, 7, 11}

3200, {2, 5}

3536, {2, 13, 17}

3640, {2, 5, 7, 13}

3952, {2, 13, 19}

4225, {5, 13}

4760, {2, 5, 7, 17}

4784, {2, 13, 23}

4913, {17}

5000, {2, 5}

 

Voir Nombres  de Ruth-Aaron (sommes de facteurs égales)

 

 

 

Nombres SF = SC

 

Nombre dont la somme des facteurs est égal à la somme des chiffres du nombre.

 

Note: les nombres parfaits sont ceux dont la somme des diviseurs propres est gale au nombre.

 

Il se trouve que les diviseurs propres de 6 (1, 2 et 3) sont aussi ses facteurs premiers.

Alors que pour 28, le nombre parfait suivant, ce n'est pas le cas:

28 = 2 x 2 x 7 => somme 11

Sigma'(28) = {1, 2, 4, 7, 14} = 28

 

 

Tous les nombres premiers sont dans ce cas: 13 = 1 x 13 si on ignore le facteur 1.

 

Sinon le plus petit tel nombre est 6

6 = 1 x 2 x 3 & la somme vaut 1 + 2 + 3 = 6.

 

Et, on montre facilement que c'est le seul cas. Le cas critique correspond à 2 x k = N; or k est moitié de N et en y ajoutant 2, on n'atteindra jamais N.

 

 

 

 

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