NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 07/01/2011

-Ý- RUBRIQUE: Nombres curieux Carrés et consécutifs
Sommaire de cette page >>> Table >>> Recherche >>> Nombre 60 996 100	Pages voisines § Consécutifs § Carrés

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CARRÉS

formés de la concaténation

de deux nombres consécutifs

Deux nombres consécutifs accolés qui forment un carré

Unique cas pour 8 chiffres

Une bonne occasion de tester notre esprit de déduction

-Ý- TABLE

Carrés formés de la concaténation de deux nombres successifs

2 chiffres	Trivial	01 = 1²
4	Aucun
6	4 cas	183 184 = 428² 328 329 = 573² 528 529 = 727² 715 716 = 846²
8	Un cas unique	6099 6100 = 7 810²
10	2 cas	13224 13225 = 36 365² 40495 40496 = 63 636²
12	2 cas	106755 106756 = 326 734² 453288 453289 = 673 267²
14	2 cas	2066115 2066116 = 4 545 454² 2975208 2975209 = 5 454 547²

Carrés formés de la concaténation de deux nombres successifs INVERSES

(le second est inférieur au premier)

2 chiffres	Aucun
4	1 cas	82 81 = 91²
6	0
8	2	8242 8241 = 9 079² 9802 9801 = 9 901²
10	0
12	2	538277 538276 = 733 674² 998002 998001 = 999 001²
14

Voir Suite et autres puissances

-Ý- RECHERCHE

Recherche

§ Deux catégories de méthodes

ü Recherche par déduction logique: voir exemple avec 6099 6100

ü Recherche par exploration systématique:

v Sur un tableur

Pour deux chiffres commencez par mettre 10 en A et les formules indiquées dans les colonnes suivantes

A	B	D	E	F
10	= A + 1	=100*A + B	= RACINE (D)	SI (E=TRONQUE(E) , OUI, NON)

Marquez cette ligne et accrochez l'ancre en bas à droite

Tirez jusqu'à l'indication 98

C'est terminé, vous avez toutes vos réponses

Adaptez pour 4, 6, 8 … chiffres

v Avec un programme, comme Mapple

for i from 10 to 98 do
N:= 100*i + i + 1
RN:= evalf ( sqrt (RN) ):

if RN = trunc(RN) then
lprint (i, N, RN):
fi:
od:

Note: l'évaluation de la racine avec evalf, permet de limiter le temps de calcul avec un test sur 10 décimales seulement. Lorsque vous explorerez des nombres avec plus de chiffres vous devrez sans doute calculer RN avec RN := sqrt(N)

-Ý- NOMBRE 60 996 100

6099 6100 = 7810²

Deux nombres consécutifs accolés qui forment un carré

Unique cas pour 8 chiffres

Recherche d'un nombre à 8 chiffres

carré

et formé par la concaténation de deux nombres consécutifs

Recherche d'une formulation en facteurs
§ Ce nombre est un carré	N	= a²
§ Remarque sur les valeurs maximales sachant que N a 8 chiffres	N a	< 100 000 000 < 10 000
§ Deux nombres consécutifs concaténés	N	= [n] [n+1]
§ Écriture développée, sachant que N a 8 chiffres		= 10 000 n + n + 1 = 10 001 n + 1
§ Rapprochement des deux écritures	a²	= 10 001 n + 1
§ Isolons le terme en n	10 001 n	= a² - 1
§ Identité remarquable	10 001 n	= (a – 1)(a + 1)

Recherche des facteurs - première tentative: simple
§ Formulation trouvée: deux facteurs de chaque côté	10 001 n	= (a – 1)(a + 1)
§ Identifions le premier au premier ü La valeur de a dépasse le maximum autorisé	10 001 10 002	= a – 1 = a
§ Identifions le premier au deuxième ü La valeur de a dépasse le maximum autorisé	10 001 10 000	= a + 1 = a

Recherche des facteurs - deuxième tentative: un peu plus recherchée
§ Formulation trouvée	10 001 n	= (a – 1)(a + 1)
§ Développons 10 001	73 x 137 n	= (a – 1)(a + 1)
§ Identifions le premier facteur au premier facteur	73 74	= a – 1 = a
Ø Calcul de n	73 x 137 n n	= (74 – 1)(74 + 1) = 73 x 75 = 5 475 = 5 475 / 10 001 Impossible
§ Avec le deuxième	137 138	= a – 1 = a
Ø Calcul de n	73 x 137 n n	= (138 – 1)(138 + 1) = 137 x 139 = 19 043 = 19 043 / 10 001 Impossible

Recherche des facteurs - troisième tentative: hélas, il faut recourir à des outils plus complexes!
§ Rappel	73 x 137 n	= (a – 1)(a + 1)
§ Développons n en u.v	73u x 137v	= (a – 1)(a + 1)

Choix équations

§ Identifions le premier facteur au premier facteur	73u 137v	= a - 1 = a + 1
ü Système d'équations: élimination de a	137v – 73u	= 2
ü Résolution de l'équation à deux inconnues	v	= (73u + 2) / 137
ü Solutions Vous pouvez faire une recherche systématique avec un tableur	u = 30 v = 16	Vérification (73 x 30 + 2) / 137 = 2192 / 137 = 16
ü Calcul de n et N NON	n = u v	= 480 Que trois chiffres (n doit en avoir 4)

Mêmes équations

ü Avec les mêmes équations la solution suivante est: NON

u = 167 v = 89

n = 167 x 89 = 14863 Nombre à 5 chiffres (n a 4 chiffres seulement)

Autres équations

§ Identifions le premier facteur au deuxième facteur	73u 137v	= a + 1 = a - 1
ü Système d'équations: élimination de a	137v – 73u	= - 2
ü Résolution de l'équation à deux inconnues	v	= (73u – 2) / 137
ü Solutions Vous pouvez faire une recherche systématique avec un tableur	u = 107 v = 57	Vérification (73 x 107 – 2) / 137 = 7809 / 137 = 57
ü Calcul de n et N BINGO!	n = u v N =	= 107 x 57 = 6099 = 6099 6100 = 7810²

C'est une solution. Est-ce la seule?

Mêmes équations

ü Avec les mêmes équations la solution suivante est:

u = 244 v = 130

n = 244 x 130 = 31720 Trop grand pour n (4 chiffres seulement)

FIN d'exploration

N

= 6099 6100 = 7810²

Seule solution

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-Ý-	Voir	§ Consécutifs § Carrés
	Livre	J'ai retrouvé le nombre 60996100 dans le livre de Louis Thépault Il comporte de nombreux autres cas avec leur résolution Passionnant!