NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Table

>>> Recherche

>>> Nombre 60 996 100

 

 

 

 

CONCATÉNATION de deux nombres CONSÉCUTIFS formant un CARRÉ

 

Deux nombres consécutifs accolés qui forment un carré.

Unique cas pour 8 chiffres.

Une bonne occasion de tester notre esprit de déduction

 

 

 

TABLE

 

Carrés formés de la concaténation de deux nombres successifs

 

Voir Nombre 6099 6100

 

 Carrés formés de la concaténation de deux nombres successifs INVERSES

(le second est inférieur au premier)

 


 

Voir Suite et autres puissances

 

 

Recherche

 

Deux catégories de méthodes

 

*       Recherche par déduction logique: voir exemple avec 6099 6100.

*       Recherche par exploration systématique sur tableur ou avec programme.

Sur un tableur

 

Pour deux chiffres commencez par mettre 10 en A et les formules indiquées dans les colonnes suivantes:

 

A

B

D

E

F

10

= A + 1

=100*A + B

= RACINE (D)

SI (E=TRONQUE(E) , OUI, NON)

 

Marquez cette ligne et accrochez l'ancre en bas à droite

Tirez jusqu'à l'indication 98

C'est terminé, vous avez toutes vos réponses

Adaptez pour 4, 6, 8 … chiffres

Avec un programme, comme Mapple

for i from 10 to 98 do
      N:= 100*i + i + 1
      RN:= evalf ( sqrt (RN)  ):

       if RN = trunc(RN) then
           lprint (i, N, RN):
       fi:
    od:

 

Note: l'évaluation de la racine avec evalf, permet de limiter le temps de calcul avec un test sur 10 décimales seulement. Lorsque vous explorerez des nombres avec plus de chiffres vous devrez sans doute calculer RN avec RN := sqrt(N).

 

Voir Programmation

 

 

NOMBRE 6099 6100 = 7810²

 

Deux nombres consécutifs accolés qui forment un carré, unique cas pour 8 chiffres. Comment s'y prendre pour le trouver?

 

 

Recherche d'une formulation en facteurs

*       Ce nombre est un carré

N

= a²

*       Remarque sur les valeurs maximales sachant que N a 8 chiffres

N

a

<  100 000 000

<            10 000

*       Deux nombres consécutifs concaténés

N

= [n] [n+1]

*       Écriture développée, sachant que N a 8 chiffres

 

= 10 000 n + n + 1

= 10 001 n + 1

*       Rapprochement des deux écritures

= 10 001 n + 1

*       Isolons le terme en n

10 001 n

= a² – 1  

*       Identité remarquable

10 001 n

= (a – 1)(a + 1)

 

Recherche des facteurs – Première tentative: simple

*       Formulation trouvée: deux facteurs de chaque côté

10 001 n

= (a – 1)(a + 1)

*       Identifions le premier au premier

*       La valeur de a dépasse le maximum autorisé

10 001

10 002

= a – 1

= a

*       Identifions le premier au deuxième

*       La valeur de a dépasse le maximum autorisé

10 001

10 000

= a + 1

= a

 

Recherche des facteurs – Deuxième tentative: un peu plus recherchée

*       Formulation trouvée

10 001 n

= (a – 1)(a + 1)

*       Développons 10 001

73 x 137 n

= (a – 1)(a + 1)

*       Identifions le premier facteur au premier facteur

73

74

= a – 1

= a

*       Calcul de n

73 x 137 n

 

n

 

= (74 – 1)(74 + 1)

= 73 x 75 = 5 475

= 5 475 / 10 001

Impossible

*       Avec le deuxième

137

138

= a – 1

= a

*       Calcul de n

73 x 137 n

 

n

 

= (138 – 1)(138 + 1)

= 137 x 139 = 19 043

= 19 043 / 10 001

Impossible

 

 

Recherche des facteurs – Troisième tentative

Hélas, il faut recourir à des outils plus complexes!

*       Rappel

73 x 137 n

= (a – 1)(a + 1)

*       Développons n en u.v

73u x 137v

= (a – 1)(a + 1)

 

Choix équations

*       Identifions le premier facteur au premier facteur

73u

137v

= a – 1

= a + 1

*       Système d'équations: élimination de a

137v – 73u

= 2

*       Résolution de l'équation à deux inconnues

v

= (73u + 2) / 137

*       Solutions

*       Vous pouvez faire une recherche systématique avec un tableur

u = 30

v = 16

 

Vérification

(73 x 30 + 2) / 137

      = 2192 / 137

      = 16

*       Calcul de n et N

NON

n = u v

= 480

Que trois chiffres (n doit en avoir 4)

 

Mêmes équations

*       Avec les mêmes équations la solution suivante est:

NON

u = 167

v =   89

 

n = 167 x 89 = 14863

Nombre à 5 chiffres (n a 4 chiffres seulement)

 

Autres équations

*       Inversions des égalités.

*       Identifions le premier facteur au deuxième facteur

73u

137v

= a + 1

= a – 1

*       Système d'équations: élimination de a

137v – 73u

= – 2

*       Résolution de l'équation à deux inconnues

v

= (73u – 2) / 137

*       Solutions

*       Vous pouvez faire une recherche systématique avec un tableur

u = 107

v =   57

 

Vérification

(73 x 107 – 2) / 137

      = 7809 / 137

      = 57

*       Calcul de n et N

BINGO!

n = u v

 

N = 

= 107 x 57 = 6099

 

= 6099 6100

= 7810²

C'est une solution. Est-ce la seule?

 

Mêmes équations

*       Avec les mêmes équations la solution suivante est:

u = 244

v = 130

n = 244 x 130 = 31720

Trop grand pour n (4 chiffres seulement)

 

FIN d'exploration

 

N  

= 6099 6100

= 7810²

Seule solution

 

 

 

Voir

*         Consécutifs

*         Carrés

Livre

J'ai retrouvé le nombre 60996100 dans le livre de  Louis Thépault . Il comporte de nombreux autres cas avec leur résolution. Passionnant!

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/NbInsoli/N6099610.htm