NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

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Algèbre

 

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Déterminant

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Démonstration

>>> Solutions

>>> Théorème de Bachet – Bézout

>>> Historique

>>> Exemple de résolution

>>> Avec trois variables

 

Suite  Exemple pratique de résolution 

 

 

 

 

Équation AX +BY +C

 

Une telle équation possède-t-elle toujours des solutions ?

Si oui, quelles sont leurs propriétés ?

 

 

 

 

Approche

 

Calcul de c = ax + by

 

Observons la valeur de c  pour quelques valeurs de x et y.

Comparons à  g, le PGCD de a et b.

 

Rappel sur le modulo

c mod g veut dire pratiquement "reste de la division de c par g".

 

On remarque que:

Chaque fois que l'égalité

 ax + by = c est satisfaite alors, c est divisible par le PGCD de a et b.

 

 

 

 

 

Démonstration

Par définition du PGCD

a = g . k

b = g . h

L'équation devient

g . k . x + g . h . y = c

g ( k . x + h . y) = c

Conclusion

c est divisible par g

 

  

Solutions de l'équation ax + by + c

 

Théorème

 

Pour que l'équation ax + by = c

admette une solution en nombres entiers

il faut et il suffit que

le PGCD de a et b divise le nombre c.

 

 

 

Il existe alors, au moins, une solution

x0 , y0

  

Les autres solutions, si elles existent, sont données par la relation : 

 

x = x0  k . b / g

y = y0 + k . a / g

 

où  k est un entier (relatif)  

et  g = PGCD(a,b)

 

 

 

 

 Théorème de BACHET – BÉZOUT

 

Théorème

 

Si PGCD (a, b) = c, alors

il existe 2 entiers relatifs x et y (positifs ou négatifs) tels que: ax + by = c.

 

 

 

Exemple

105 x + 33 y + c = 0

Trouvez c minimum et les solutions de l'équation.

 

Méthode rapide de calcul du PGCD

33 = 11 x 3 et 105 est divisible par 3 et pas par 11; alors PGCD(33, 105= ) 3

 

Calcul du PGCD (Algorithme d'Euclide) pour trouver la solution de notre équation

 

 

 

Écrivons ces relations pour mieux les visualiser

105

33

6

= 33 x 3 + 6

= 6 x 5 + 3

= 3 x 2

Puis remontons l'envers, en s'intéressant au PGCD

3

3

3

= 33 – 6 x 5

= 33 – (105 - 33 x 3) x 5

= 33 x 16 – 105 x 5

On dispose ainsi d'une solution:

 

16 et 5

 

 

Humour de mathématicien

Ça commence par un Bézout et ça finit par un Gauss et un Landau.

Cité par Les-Mathématiques.net

Bézout (1730-1783), Gauss (1777-1855) et Landau (1877-1938)

Voir Pensées & humour / Mathématiciens

 

  

Cas ou le PGCD vaut 1

Dans ce cas, par hypothèse, a et b sont premiers entre eux.

Et, si PGCD (a, b) = 1 = c, alors, ax + by = 1 ou, à l'envers 

Théorème

S'il existe deux nombres x et y

tels que ax + by = 1 alors

a et b sont premiers entre eux

 

Voir Identité de Bézout / Exemple pratique

 

 

 

Historique

 

Claude Gaspard Bachet de Méziriac

1581 – 1638

 

En 1621, il a donné les résultats exposé ci-dessus.

Il publie le texte de Diophante en le corrigeant et le généralisant

C'est cette édition que possédera Fermat.

 

Il publie son livre: " Problèmes plaisants et délectables "

et donne la résolution des équations ax + by = c

 

Il montre que si a et b sont premiers entre eux

ax + by = 1 a toujours une solution (Identité de Bézout).

Moderne

 

On parlera, en langage mathématique moderne, d'ensemble quotient.

Ensemble quotient d'un ensemble E par une relation d'équivalence R : ensemble des classes d'équivalence modulo R, noté : E/R.

 

 

 

Exemple de résolution

 

Résoudre

5x + 7y = 530

 

Solutions

Il y a 16 solutions positives, et une infinité de solutions négatives.

 

Solutions positives   et quelques solutions négatives

Résolution

5x + 7y = 530

On part d'une solution évidente

Ici: y = 0 => x = 106

On utilise les formules impliquant les coefficients opposés à l'inconnue

xn = xn-17

yn = yn-1 + 5

 

Application

 

80 personnes prennent un bus.

Les unes payent 5 € et les autres 7 €.

Le chauffeur encaisse 530 €.

Combien de personnes payent le premier prix et combien le second ?

Posons les équations

x + y = 80

5x + 7y = 530

La deuxième équation donne 16 solutions

Voir ci-dessus

Laquelle donne x + y = 80?

x = 15

y = 65

 

 

 

 

Avec trois variables

Résolution d'équations diophantiennes

Rappel deux variables

Voir Équations diophantiennes

Équation

a.x + b.y

= c

Solution si

g = (a, b)

 c        (barre veut dire "divise")

Racine primitive

a.x + b.y

Voir Calcul

Alors, il y a une infinité de solution selon la valeur de t

X

Y

= x + t. b / g

= y -  t. a / g

Avec trois variables

 

Équation

a.x + b.y + c.z

= d

Solution si

g = (a, b, c)

 d

Racines primitives

a.x + (b, c) u

b.y + c.z

= d

= (b, c)

Solution

X

Y

Z

 

= x + t. (b, c) / g

= y.u – t (a.y / g) + s(c / (b, c))

= z.u – t (a.z / g) – s (b / (b, c))

En rouge, PGCD et parenthèses signifiant PGCD

 

 

 

 

Suite

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*    Voir haut de page

Voir

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Aussi

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*    Les 17 équations qui ont changé le monde

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*    Système d'équations

*    Utilisation des congruences

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