NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DOUZE

 

 

Sommaire de cette page

>>> Pions: carré de 5 pions de côté

>>> Suite à trouver

>>> Neuf billes à peser

>>> Douze boules de billards et pesées

 

 

 

 JEUX DIVERS avec DOUZE

Voir Nombre 12

 

 

 

CARRÉ – Pions

 

Problème

*      Soit douze pions. On forme facilement un carré de 4 pions par côté.

*      Avec ces douze pions, faire un carré de 5 pions de côté!

 

Solution

 

 

 

SUITE à trouver

 

Problème

*      Trouver la suite de: 12, 13, 13, 10, 22 …

 

Solution

*      Il s'agit des positions dans l'alphabet des initiales des jours de la semaine:

L,    M,  M,  J,   V,   S,  D

12, 13, 13, 10, 22, 19, 4

 

 

Voir Séquences et séries

 

 

Neuf billes pour se mettre en condition

 

Parmi neuf billes, une est plus lourde. La retrouver en deux pesées.

Le principe: en une pesée, il est possible de discriminer entre trois groupes du fait des trois états possibles de la balance: penche à droite, penche à gauche ou équilibre.

 

 

 

 

 

 

BOULES DE BILLARDS:

Trouver la boule différente par pesées.

Problème dit des 12 boules, des douze pièces.

 

*      Ce problème m'a été soumis par mon voisin de siège d'avion lors d'un voyage de retour d'Australie en 1981. J'avais alors trouvé la solution indiquée ci-dessous

*      Cette énigme m'avait été proposée avec des boules de billard. D'où la référence aux boules de billard dans la solution ci-dessous.

 

 

*      Beaucoup plus tard J'ai découvert le texte de Jacques Lacan relatant que ce problème avait été inventé par  François Le Lionnais, célèbre mathématicien et rapporté par Raymond Queneau.

*      Sous sa forme originelle, le problème est relatif à la pesée de pièces de monnaie.

Anglais: You are given a set of scales and 12 marbles. The 12 marbles appear to be identical.

In fact, 11 of them are identical, and one is of a different weight.

 

 

 

Problème

*      On dispose de douze boules de billard.

*    Une boule est différente des autres.

*    Elle est soit plus lourde ou plus légère.

*      En trois pesées sur une balance à plateau, sans poids, retrouver cette boule et dire si elle est plus lourde ou plus légère.

 

Commentaires

*      Ce problème semble anodin, puis, en y réfléchissant un peu, semble totalement infaisable. Il a alimenté de nombreux salons où le sujet principal consistait surtout en la possibilité de le résoudre.

*      Il existe une manière de procéder pour éviter des recherches vite foisonnantes. Elle repose sur la comparaison du nombre de possibilités pour les boules au nombre de conclusions que l'on peut tirer des pesées restantes.

*      Voici la solution, mais d'abord commençons par une familiarisation avec le type de conclusions tirées d'une pesée.

Voir Un million de balles

 

 

 

Notations

 

Principe de base

 

*      Le cas de quatre boules, présenté ci-dessus donne la clé de la résolution du problème: en prenant une boule connue pour être standard, on peut tirer des conclusions appréciables pour la suite.

 

 

 

Solution en trois pesées P1, P2 et P3

 

 

Lecture de la première ligne

*        Les huit premières boules sont pesées. Il y a équilibre. Conclusions: d'abords, ces huit boules sont standard; ensuite, l'une des boules restantes (9 ou 10 ou 11 ou 12) est différente. Celle que l'on cherche est parmi ces quatre.

Pour la suite des pesées, se reporter plus pas au numéro P2-1.

 

Lecture de la deuxième ligne

*        Le plateau de gauche descend. c'est que l'une des billes de ce plateau (1 ou 2 ou 3 ou 4) est la plus lourde, ou alors que l'une des bille du plateau de droite (5 ou 6 ou 7 ou 8) est la plus légère. Conclusion implicite, les quatre boules suivantes (9, 10, 11 et 12) sont à écarter.

Pour la suite des pesées, se reporter plus pas au numéro P2-2.

 

 

 

 

 

Généralisation selon quantité de boules

 

Pesées

Nombre d'objets

2

4

3

12

4

36

n

N = 4 x 3n-2

 

La formule est une conjecture.

 

Pour une suite, voir les sites proposés ci-dessous.

 

 

 

Suite

*    Faire 12 avec cinq fois le même nombre

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*    JeuxIndex

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*     Adam en douze heures

*    Alexandrins longs et courts

*    Arbre de Distribution

*    Échecs

*    Jeux de partage

*    Les 12 travaux d'Hercule

*    Pentaminos

*    Pesée des quatre cubes

*    Sudoku

*    Transfo Boulanger

DicoNombre

*    Nombre  9

*    Nombre 12

Site

*      Le treize-or des signifiants - Agnès SOFIYANA -  Sur le problème des 12 boules et Lacan

*      Le Nombre treize – Jacques Lacan

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/DouzJeux.htm

 

 

 

 

 

CARRÉ – Pions

 

Solution

*        Carré avec 12 pions dont 5 par côté

 

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Voir Suite