NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Énigmes de Pesées

 

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Général

BILLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux, énigmes

 

Débutants

Introduction

Dix Sacs

Six poids

9 billes (mono)

4 billes (ambi)

Poids-étiquettes

Autres pesées

12 par dichotomie (ambi)

12 par combinaisons (ambi)

12 billes (++)

 

Sommaire de cette page

>>> Énigme des balles

>>> Notation

>>> Issues des pesées

>>> Tableau des pesées et conclusions

>>> Bilan

>>> Boules de billards – Historique

 

Mono: une bille est plus lourde (ou plus légère)

Ambi: une bille  est plus lourde ou plus légère sans que nous le sachions a priori

 

 

 

 

Énigme de la pesée impossible

des DOUZE BALLES

ou BILLES, BOULES, PIÈCES

Méthode classique par dichotomie

 

Fameuse énigme qui semble impossible à résoudre.

La solution est effectivement difficile à trouver.

Pour vous lancer voyez les neuf balles dont une lourde >>>

Ou encore, les quatre balles dont une lourde ou légère >>>

Ces pages vous proposent:

*      la méthode classique de résolution par dichotomie; >>>

*      une méthode plus originale par combinaisons de pesées; et >>>

*      des compléments: variantes, historique, quantité … >>>

 

La méthode que je vous propose permet de suivre les pesées successives et, surtout, les  déductions logiques évidentes à en tirer.

 

 

Énigme des balles ou des boules ou des billes

Parmi douze balles de forme identique, une seule est un intrus: une seule n'a pas le même poids que les autres; elle est plus lourde ou plus légère.

En utilisant une balance à deux plateaux et avec trois pesées seulement, trouvez l'intrus et sa nature.

Aucun poids n'est admis!

 

Anglais:

You are given a set of scales and 12 marbles. The 12 marbles appear to be identical.

In fact, 11 of them are identical, and one is of a different weight, lighter or heavier than the others.

Using a pair of scales, determine in three weightings which ball is the odd one and whether it is lighter or heavier.

 

 

 

Notation

La pesée sera notée simplement par la symbolisation du fléau.

Les trois pesées sont repérées par une couleur.

 

 

 

Issues des pesées

Exposant indiquant l'issue de la pesée

Après une pesée, chaque balle est qualifiée par un signe plus, égal ou moins selon que la position des plateaux.

 

 

 

Intérêt de la notation

Deux conclusions sont possibles à partir de ces deux pesées:

*      les balles 3 et 4, avec indications contradictoires, sont normales; et

*      les balles 1 et 2, avec indications cohérentes, sont normales ou plus lourdes.

 

 

 

 

 

Tableau des pesées et conclusions

 

La première pesée consiste à compare deux lots de quatre balles (disons: 1, 2, 3, 4 et 5, 6, 7, 8)

Les trois possibilités sont examinées dans les trois tableaux suivants:

 

Première pesée avec plateau de gauche plus lourd

 

En haut à gauche, la deuxième pesée montre que seules 1, 2 et 6 sont cohérents. Il s'agit de conclure parmi ces seules trois-là. Les trois autres (3, 4 et 5) sont normales.

En rouge, à l'issue de la troisième pesée, on ne retient que la balle dont la notation des pesées est cohérente. 1+++ indique que les trois pesées ont placé cette balle en potentiellement plus lourde à trois reprises. La balle 1 est l'intrus et elle est plus lourde. Par contre: 2 ++– indique que la balle pourrait être plus lourde, plus légère ou normale: elle est donc normale.

Au centre, cas d'une pesée en équilibre, on compare alors les deux boules (7 et 8) qui avaient été laissées de côté.

En bas à gauche (comme à droite), la dernière pesée est en équilibre. C'est que 6– –, la seule balle cohérente lors de la pesée précédente, est à retenir: la balle 6 est plus légère.

 

 

Astuce de la pesée

On compare quatre balles  normales ou plus lourdes (1, 2) à (3 et 4), en embarquant également dans la pesée deux balles qui sont potentiellement plus légères (5 et 6).

La troisième pesée en équilibre montre toute la puissance de cette astuce.

 

Note: cette méthode utilise des pesées successives par 4 puis par 3 et enfin par 2 billes sur un plateau, d'où le nom de dichotomie. La méthode par combinaisons utilise des pesées par 4, 4 et 4.

 

Remarques

*Pour être plus précis: dichotomie veut dire couper en deux. J'utilise le terme pour signifier un concentration progressive même si la réduction n'est pas de moitié.

Deuxième remarque: on pourrait aussi appliquer le mot de "trichotomie" pour indiquer que les billes à peser sont réparties en trois groupes.

 

 

Tableau des pesées et conclusions – Suite

 

Première pesée avec plateau de droite plus lourd

Ce tableau est totalement semblable au premier.

*      Le premier concluait dans les cas (1, 2, 3, 4) positifs ou (5, 6, 7, 8) négatifs;

*      Le deuxième conclut pour les complémentaires: (1, 2, 3, 4) négatifs ou (5, 6, 7, 8) positifs.

 

 

Première pesée avec équilibre des plateaux

Les balles normales  (1, 2, 3) sont utilisés comme témoins de pesée. On pouvait choisir trois balles  parmi les huit connues comme normales.

 

 

Bilan

Les trois tableaux montrent les résultats des trois pesées et couvrent bien les 24 possibilités (1 parmi 12 plus lourde ou 1 parmi 12 plus légère).

La répartition des billes lors de la deuxième pesée est déterminante.

Il existe des variantes qui tiennent compte du fait que dès la première pesée on connait quatre ou huit balles normales qui peuvent servir en tant que telles dans les pesées.

 

 

 

 

 

 

Retour

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*    Énigme des quatre balles (pour se lancer)

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*    Nombre 12

Sites

*    La fausse pièce, et la balance de Roberval – Bibm@aths.net

*    Solution du problème des douze pièces – Jean-Christophe Michel – Méthode avec numération ternaire

*    Balance puzzleWikipedia

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Pesee/Balles12.htm