NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Jeux et problèmes

 

Débutants

Général

ÉCHECS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux

 

Introduction & invention

Solutions 

Cavalier

Dame / Reine

Pavage

Tournoi (organisation)

Fou

 

Sommaire de cette page

>>> Le jeu d'échecs

>>> Échecs et langues

>>> Joueurs d'échecs

>>> Puissance de 2 

>>> Invention de l'échiquier

>>> Chatouiller l'étoile

>>> Carrés dans l'échiquier

>>> Rectangles dans l'échiquier

>>> Échiquier et lettres

 

 

 

Hannibal, le jour de la bataille de Zama, n'avait pas pu gagner une seule partie d'échecs parce qu'il avait toujours eu Scipion devant lui.

Marquis de Bièvre

Voir Pensées & humour/ Alphabet parlant

 

 

ÉCHECS – Introduction & Invention

 

Au-delà du jeu classique, le jeu d'échecs se prête à de nombreux puzzles ou curiosités.

 

 

 

Le jeu d'échecs

 

 

*    Les pièces: pion, tour, cavalier, fou, reine (ou dame) et roi.

 

*    Deux jeux: les blancs et les noirs.

 

 

 

*    La position initiale sur des pièces sur l'échiquier.

 

 

Nombre de cases

8 x 8 = 64

Nombres de types de pièces

6

Nombre de pièces

2 x 16 = 32

Nombres de pions

2 x 8 = 16

Nombre de parties

10 128

Nombre de carrés

sur l'échiquier

204

 

 

 

Si le roi est la seule pièce qui peut encore jouer, et s'il ne peut plus avancer sans être mis en échec, alors c'est une  partie nulle dite pat.

Voir Pensées & humour

 

 

Échecs et langues

Français

Ancien fr

Anglais

Allemand

Espagnol

Italien

Latin

Sanskrit

Persan

Arabe

Échecs

Esches

Chess

das Schach (spiel)

Ajedres

Scacchi

Scaci, Ludus

   scacorum

Chaturanga

Chatrang

Shatranj

Roi

Roy

King

König

Rey

Re

Rex (scacum)

Rajah

Shah

Shah

Dame
Reine

Fierge

Queen

Dame

Königin

Dama

Reina

Donna

Regina

Ferzia

Mantri

Farzin

Firzan, Fiz

(Vizir)

Fou

Roc

Bishop

Läufer

Alfil

Alfiere

Rochus

Roka (bateau)
Nauka (navire)

Rukh

Rukh

Cavalier

Chevalier

Knight

Springer

Caballo

Cavallo

Equus

Ashwa

Asp

Faras

Tour

Alphin,

Aufin

Rook

Turm

Torre

Torre

Alphiles

Hasti

Pil

Fil

Pion

Paon

Pawn

Bauer

Peon

Pedone

Pedes

Padati

Piyadah

Baidaq

 

 

JOUEURS D'ÉCHECS et points ELO

 

Le système de classement des joueurs d'échecs(FIDE) a été mis au point par le physicien américain d'origine hongroise Arpad Elo.
 

1000 à 2000

Débutant à très bon joueur.

2000 à 2500

Niveau national et international.

2500 à 2800

La quelques centaines des meilleurs mondiaux.

> 2800

Les six qui ont dépassé ce niveau: Kasparov (2860), Anand, Kramnik, Topalov, Aronian, Carlsen

 

 

Échecs et puissances de 2

 

*    Sur un échiquier, on place un grain de blé sur la première case, puis 2, 4, 8, 16, etc.

*    Soit un total:                              T= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...+ 263

*    Progression géométrique        T = (263 x 2 – 1) / (2 – 1) 

                                                       = 264 – 1

*    Que vaut cette quantité de grains de blé disposée sur toutes les cases de l'échiquier?

264 – 1  =

1,8 1019

18 446 744 073 709 551 615

193 707 721 x 761 838 257 287

Nombre de Mersenne non premier.

Voir Nombres voisins

 

  

Légende indienne

relative à l'invention des échecs

 

*    Le grand vizir Sissa Ben Dahir, un brillant mathématicien, demande une telle quantité de blé au roi indien Shirham en récompense pour avoir inventé le jeu d'échec.

 

*    Cette quantité (9 1012 m3) dépasse encore aujourd'hui la récolte de blé de la Terre entière.

*    Il faudrait un hangar de 5 m x 8 m x 240 000 000 km.

*    À raison de 5 millions de grains par baril, il en faudrait 4 mille milliards pour satisfaire la demande.

*    Si la production mondiale est de 2 milliards de barils par an, il faudra 2 000 ans pour en venir à bout.

*    Une telle quantité de blé couvrirait toute la surface de la Terre sur une hauteur de 2,5 cm (1/20 de cubit)

*    Autre manière de se rendre compte que ce nombre est immensément grand: il représente une longueur de 2 années-lumière exprimée en millimètres (1 al = 1016 m = 1019 mm).

 

*    Un complément à cette légende dit que le roi fut d'accord à condition que le vizir compte les grains lui même.
 

  Voir Tour de Brahmâ / Humour 2011

 

 

CHATOUILLER L'ÉTOILE

 

*    Remplaçons les grains de blé par des jetons de 1 mm d'épaisseur.

*    La dernière case contient 263 jetons de 1 mm et l'échiquier complet: 264.
 

Référence

Valeur

Unité

Pile des jetons sur l'échiquier

1,8 1019

mm

1,8 1013

km

Comparaison: Terre-Soleil

1,5 108

km

Étoile la plus proche Proxima du Centaure

4,2

années - lumière

4 1013

km

 

*    Imaginez donc que la pile de tous ces jetons irait pratiquement toucher l'étoile la plus proche de la Terre. 

 

*    Note: ce nombre représente aussi la quantité de mouvements que les prêtres de Bénarès devront effectuer pour transférer les 64 disques d'or de la tour de Brahmâ

 

 

 

Combien de CARRÉS sur l'échiquier?

 

Question

Sur un plateau de 8 x 8 = 64 cases, combien peut-on dénombrer de carrés de toutes tailles?

 

Exemple d'un carré 3x3

 

 

 

Réponse

 

Taille

Quantité

1

2

3

4

5

6

7

8

64

49

36

25

16

9

4

1

Total

204

 

Généralisation à un plateau de nxn

 

Somme des carrés des nombres de 1 à n

 

Voir Carrés dans le rectangle

 

 

Combien de RECTANGLES sur l'échiquier?

 

Question

Sur un plateau de 8 x 8 = 64 cases, combien peut-on dénombrer de rectangles de toutes tailles?

 

Réponse: trois méthodes

1) Méthode directe par dénombrement

Chaque case blanche indique la quantité de rectangles de taille n x m

Avec p, on indique le nombre de possibilités pour cette dimension.

On reconnait une table de multiplication.

 

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

T

m

 p

8

7

6

5

4

3

2

1

 

1

8

64

56

48

40

32

24

16

8

288

2

7

56

49

42

35

28

21

14

7

252

3

6

48

42

36

30

24

18

12

6

216

4

5

40

35

30

25

20

15

10

5

180

5

4

32

28

24

20

16

12

8

4

144

6

3

24

21

18

15

12

9

6

3

108

7

2

16

14

12

10

8

6

4

2

72

8

1

8

7

6

5

4

3

2

1

36

T

 

288

252

216

180

144

108

72

36

1296

 

Sur un échiquier de 8x8, on dénombre 1 296 rectangles de toutes tailles. Sur la diagonale (en rouge), ceux qui sont des carrés.

 

2) Méthode astucieuse par comptage par les diagonales

Un rectangle sur l'échiquier est entièrement défini par une de des deux  diagonales, de bas en haut comme de haut en bas; soit quatre possibilités de diagonales pour un rectangle.

Une diagonale part d'un des 9 x 9 sommets et elle rejoint l'un des autres, sauf ceux sur la même horizontale ou la même verticale; restent 8x 8 arrivées.

Bilan sur la quantité de rectangles: Q = ¼ x 9x9 x 8x8 = 1 296

De sorte que la généralisation à un plateau de  N x M cases:

 

 

3) Méthode mathématique par calcul des combinaisons pour l'échiquier

Pour créer un rectangle, il faut choisir  2 sommets parmi 9 disponibles en horizontal et même chose ne vertical

 

 

 

Voir Compter les rectangles

 

 

 

 

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