NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Divisibilité des carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Résidu quadratique – Notion

>>> En bref

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

 

RÉSIDUS QUADRATIQUES

et Réciprocité quadratique 

 

Une loi mettant en scène des congruences sur des nombres carrés. Un peu curieuse a priori. C'est Gauss qui l'a introduite. Elle s'avère un instrument très utile en théorie des nombres.

 

Anglais: Quadratic forms and quadratic reciprocity law

 

 

RÉSIDU QUADRATIQUE – Notion

 

En jaune les carrés et leur position sur les colonnes de même résidu modulo 5.

Ainsi

5² = 25 = 0 mod 5

4² = 16 = 1 mod 5

etc.

 

Façon un peu sophistiquée de dire que 5² est divisible par 5 ou que 4² donne un reste de 1 par la même division.

 

 

On cherche à classer les carrés selon le reste de la division par n. Les nombres 4 et 9 ont même résidu en mod 5.

 

Rappel des valeurs possibles des restes de la division par m (le mod) d'un carré

Exemple: un carré divisé par 8 ne peut donner que le reste 0, 1 ou 4.

Voir Divisibilité des carrés

 

 

  

EN BREF

 

Il s'agit de chercher si l'équation x²  q (mod p) a des solutions, sachant que p et q sont des nombres premiers impairs distincts.

 

La loi de la réciprocité quadratique

Elle dit que:

 

 q (mod p) et x²  p (mod q)

 

*    si p et q sont de la forme 4k + 3, l'une des équations a des solutions et l'autre non;

*    dans tous les autres cas, soit elles sont toutes les deux avec solutions ou alors toutes les deux sans.

 

Exemple

 5 (mod 103) n'a pas de solution, car:

*    5 n'est pas de la forme 4k + 3, et, conséquence de cette loi:

*     103 (mod 5)  3 (mod 5) n'a pas de solution.

 

Cette loi permet de contourner certains problèmes en les ramenant à des questions plus simples à résoudre.

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

The question remains as to whether x²  q (mod p) does or does not have a solution.

The quadratic reciprocity law states that if p and q are distinct odd primes, the two congruencies  q (mod p) et x²  p (mod q) are either both solvable or not.

 

 

 

 

 

Voir

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*    Théorie des nombresIndex

*    Divisibilité

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