NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/06/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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RÉSIDUS QUADRATIQUES

et Réciprocité quadratique

Une loi mettant en scène des congruences sur des nombres carrés. Un peu curieuse a priori. C'est Gauss qui l'a introduite. Elle s'avère un instrument très utile en théorie des nombres.

Anglais: Quadratic forms and quadratic reciprocity law

RÉSIDU QUADRATIQUE – Notion
En jaune les carrés et leur position sur les colonnes de même résidu modulo 5. Ainsi 5² = 25 = 0 mod 5 4² = 16 = 1 mod 5 etc. Façon un peu sophistiquée de dire que 5² est divisible par 5 ou que 4² donne un reste de 1 par la même division.	On cherche à classer les carrés selon le reste de la division par n. Les nombres 4 et 9 ont même résidu en mod 5.

Rappel des valeurs possibles des restes de la division par m (le mod) d'un carré

Exemple: un carré divisé par 8 ne peut donner que le reste 0, 1 ou 4.

Voir Divisibilité des carrés

EN BREF

Il s'agit de chercher si l'équation x² q (mod p) a des solutions, sachant que p et q sont des nombres premiers impairs distincts. La loi de la réciprocité quadratique Elle dit que: x² q (mod p) et x² p (mod q) si p et q sont de la forme 4k + 3, l'une des équations a des solutions et l'autre non; dans tous les autres cas, soit elles sont toutes les deux avec solutions ou alors toutes les deux sans. Exemple avec 5 et 11: Exemple x² 5 (mod 103) n'a pas de solution, car: 5 n'est pas de la forme 4k + 3, et, conséquence de cette loi: x² 103 (mod 5) 3 (mod 5) n'a pas de solution. Cette loi permet de contourner certains problèmes en les ramenant à des questions plus simples à résoudre.

ENGLISH CORNER
The question remains as to whether x² q (mod p) does or does not have a solution. The quadratic reciprocity law states that if p and q are distinct odd primes, the two congruencies x² q (mod p) et x² p (mod q) are either both solvable or not.

Voir	Modulo Théorie des nombres – Index Divisibilité
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