NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Général

Congruences

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

 

Modulo

Racine primitive

Résidus quadratiques

Divisibilité des carrés

Machine de Carissan

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Analyse des puissances premières de 2

>>> Analyse des puissances premières de 3

>>> Ordre multiplicatif

>>> Racine primitive

>>> Table de comparaison entre ordre et phi

>>> Propriétés

>>> Anglais

 

 

 

 

ORDRE MULTIPLICATIF

RACINE PRIMITIVE

 

Notion de la théorie des nombres faisant intervenir la congruence des puissances d'un nombre modulo un autre.

Avant de partir vers plus d'abstraction, il est utile de bien comprendre ces deux notions à partir d'exemples.

 

Anglais: multiplicative order / primitive root

 

Rappels

Nombres premiers entre eux: aucun facteur commun – Notés (a, b) = 1

Indicatrice d'Euler (ou totient): quantité de premiers avec m et inférieurs à m – Notée

Congruence de a modulo m: reste de la division de a par m; on dit résidu et on note:

 

Petit théorème de Fermat 

avec p premier ne divisant pas a

Théorème d'Euler

avec (a, m) = 1

 

 

 

Approche

 

Prenons deux nombres premiers entre eux: 2 et 9.

Calculons les puissances successives du premier nombre (2), et leur reste dans la division par le second nombre (modulo 9).

 

Nous observons que les restes suivent une périodicité: 2, 4, 8, 7, 5 et 1.

L'exposant ( = 6) pour lequel le modulo de la puissance vaut 1 est défini comme l'ordre multiplicatif de 2 modulo 9. On dit aussi parfois que 2 appartient à l'exposant 6 modulo 9.

 

 

Ainsi, tableau du bas, l'ordre multiplicatif de 2 modulo 5 est 4.

 

 

Dans ce cas, notez que la période est 4 (= 5 – 1) et que tous les restes possibles (de 1 à 4, sauf le 0) font partie de la période.

On dit, dans ce cas, que 2 est une racine primitive modulo 5

 

 

 

L'ordre multiplicatif de 2 par rapport à 9 est 6. Plus petit exposant tel que 2k divisé par 9 produit un reste égal à 1.

 

L'ordre multiplicatif de 2 par rapport à 5 est 4.

Le nombre 2 est une racine primitive modulo 5 car, avec les puissances précédentes nous avons eu tous les restes possibles.

 

 

Analyse des puissances premières de 2

Lecture: pour p = 7  et k = 3, 23 = 8 qui est congru à 1 mod 7; c'est la plus petite puissance pour laquelle le résidu vaut 1. La puissance 3 est l'ordre de 2 modulo 7.

Notez que pour 5, 11, 13, 19 et 29, la ligne comporte tous les restes possibles de la division par ce nombre. 2 est une racine primitive de tous ces nombres premiers. L'ensemble de tous les restes est nommé: classe des résidus modulo p.

Remarque: la classe des résidus ne contient par le 0. En effet, 2 et p sont premiers entre eux. Une puissance de 2 ne peut pas être divisible par p.

 

Analyse des puissances premières de 3

Lecture: pour p = 7  et k = 6, 36 = 32 x 32 x 32 ≡ 2 x 2 x 2 ≡  8 ≡ 1 mod 7 ; c'est la plus petite puissance pour laquelle le résidu vaut 1. La puissance 6 est l'ordre de 3 modulo 7. De plus, tous les résidus ont été balayés. On remarque que k = 6 = 7 – 1. Le nombre 3 est racine primitive du nombre premier 7.

Pour p = 13, la longueur du cycle des résidus est 3 au lieu de 12, si on avait affaire à une racine primitive. Mais, et c'est une propriété, 3 est un diviseur de 12. 

 

 

Ordre multiplicatif

 

Définition

Soit m un entier positif et a un entier quelconque, avec a et m premiers entre eux. Soit k le plus petit entier tel que: a puissance k est congru à 1. L'exposant k est appelé ordre (multiplicatif) de a modulo m.

 

Définition mathématique

Soit m  et a  et tels que (a, m) = 1.

L'ordre de a modulo m est l'entier k tel que: 

 

(a, m) = 1

 

ordm(a) = k

 

ord9(2) = 6

 

ord5(2) = 4

 

 

Propriétés

L'ordre multiplicatif k est toujours inférieur à m ( démonstartion avec le petit théorème de Fermat).

 

La valeur de k est au plus égale à l'indicatrice d'Euler (théorème d'Euler).

 

Si (a, m) = 1, alors k divise Phi (m).

Si m est premier, alors k est un diviseur de Phi (p) = p – 1.

 

 

 

 

 

 

 

Racine primitive

 

Définition

On dit que a est une racine primitive modulo m si l'ordre de a est égal à Phi (m).

C'est-à-dire si Phi (m) est effectivement le plus petit exposant pour lequel le résidu vaut 1.

 

 

Propriétés

Chacune de racines primitives forme un système réduit de résidus. Si m est un nombre premier la classe des résidus est complète.

Dit autrement: avec un nombre premier p,  l'ordre vaut p – 1 et tous les restes possibles précédent cette puissance.

 

 

 

Tableau de comparaison entre ordre et phi

Lecture: On calcule k le plus petit,   tel que ak congru à 1 modulo m et on compare à la valeur de Phi (m). En jaune, les cas où il y a égalité entre l'ordre et Phi. On se souvient que Phi (p) = p – 1.

La ligne avec un Non, indique qu'aucun résidu égal à 1 ne peut être trouvé pour cette configuration.

 

 

 

 

Propriétés

Tout premier p possède Phi (p – 1)  primitives

 

Dans le tableau ci-dessus, la quantité de ligne jaune pour un nombre premier est égale à Phi du nombre précédent.

Ainsi 17 compte 8 lignes jaunes (8 racines primitives) et Phi (16) = 8.

 

Si m n'est pas premier, les racines primitives n'existent que si =>

m = (2, 4, ou pk ou 2pk)

avec p premier impair

Si a est d'ordre k modulo m, alors l'ordre de a puissance h est égal  à k / (k, h)

 

Ord5 (3) = 4

Ord5 (32) = 4 / (4, 2) = 4 / 2 = 2

 

Ord7 (3) = 6

Ord7 (311) = 6 / (6, 11) = 6 / 1 = 6

 

Si a est d'ordre k modulo m  et si b est d'ordre h modulo m et si (k, h ) = 1, alors ab est d'ordre hk modulo m.

 

Ord5 (2) = 4

Ord5 (3) = 4

Ord5 (6) = 16  1 mod 5

 

Si p est premier et (a, p) = 1, alors

possède (n, p – 1) solutions à condition que:

Et aucune solution sinon.

 

x5  6 mod 101

 

Test d'existence de solution:

 

En effet, en mod 101
620 = 6² x (63)6 =36 x (14)6 = 36 x (14²)3 = 36 x (-6)3
= (-216) (-6) (-6) = (-14)(-6) (-6)  = (-504) = 1

 

Quantité de solutions: (5, 100) = 5

Un calcul donnerait ces cinq solutions: x  22, 70, 85, 96 mod 101.

     

 

 

 

English corner

 

Let m denote a positive integer and a any integer such that (a, m) = 1. Let k be the smallest positive integer such that  . We say that the order of a modulo m is k, or that a belongs to the exponent k modulo m.

 

 

 

 

 

Voir

*    Modulo

*    Résidus quadratiques

*    Théorie des nombresIndex

*    Divisibilité

Livre

*    An introduction to Theory of numbers – Ivan Niven, Herbert Zuckerman et Hugh Montgomery – John Wiley and Sons – 1991

Sites

*    Ordre multiplicatif – Wikipédia

*    Ordre multiplicatifAnimath – Cours pdf (12 pages)

*    Multiplicative Order – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/ARITHMET/RacinPri.htm