NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index divisibilité

Racine Numérique

Critères

Clé de divisibilité

Curiosités

Nombres polydivisibles

 

Sommaire de cette page

>>> Critères de divisibilité

>>> Divisibilité des nombres consécutifs

>>> Divisibilité des nombres pairs consécutifs

>>> Divisibilité par 24

 

 

 

 

CRITÈRES de DIVISIBILITÉ

 

Comment déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre ? Quelles sont les formes des nombres divisibles par un autre ? Ici, nous passons en revue les meilleurs critères pour les divisibilités par 2, 3, 4, 5, 6, … jusqu'à 1111.

Deux méthodes systématiques sont expliquées en clé de divisibilité. La solution générale pour une divisibilité par un nombre premier est explicitée en: méthode par unité tronquée.

 

 

 

Notations

 

 R.N.

= Racine numérique.

= Somme numérique.

= somme des chiffres jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre.

= preuve par neuf.

 

Exemple

R.N. (3456) = 3 + 4 + 5 + 6 = 7 + 5 + 6 = 12 + 6 = 3 + 6 = 9 (= 0)
et, aussi plus rapide : 3 + (4 + 5) + 6 = 9 + 9 = 9 (= 0)

 

du

du = nombre formé des dizaines et unités.

u   = chiffre des unités,

d   = chiffre des dizaines,

c   = centaines,

m  = milliers.

(…) = tous les autres chiffres du nombre

 

En jaune classique et relativement simple;

 

 

 

  

CRITÈRES (ou caractères) de DIVISIBILITÉ

 Par

Règle

Exemple

Commentaires

Liens

2

*    Pair:    u = {0, 2, 4, 6, 8}.

124

4 est pair

>>>

3

*    R.N. divisible par 3.

123

R.N.(123)

= 1 + 2 + 3 = 6

>>>

4

*    Le nombre formé par les deux derniers chiffres (du) est divisible par 4.

ou encore: 2d + u est divisible par 4.

565 544

44 = 11 x 4

>>>

5

*    Se termine par 0 ou 5.

u ={0, 5}.

565 545

>>>

6

*    Pair et divisible par 3.

288

 R.N.(288) = 9

>>>

71

*    On prend tous les chiffres sauf le dernier.

On soustrait 2 fois le dernier.

On vérifie si le résultat est divisible par 7.

364

36 – 2x4 = 28

28 = 7x4

>>>

72

*    Multiplier le chiffre de gauche par 3 et ajouter au chiffre suivant. Répéter jusqu'au dernier chiffre. Si le résultat est divisible par 7, c’est bon.

364

3x3+ 6 =15

5x3 + 6 = 21

 

73

*    Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 7.

8 638

638 – 8 = 630

= 90 x 7

 

8

*    Les 3 derniers chiffres sont divisibles par 8 (classique).

*    ou mieux: cd + u/2 divisible par 4.

565 448

120/8 = 15

 

44 + 8/2 = 48

>>>

9

*    R.N. divisible par 9.

182 736

R.N. = 0

>>>

10

*    Terminé par 0.

100

>>>

 

Carte bancaire

Son n° et son code d'authenticité associés dans une addition particulière (algorithme de Luhn) conduisent à un nombre divisible par 10, preuve de sa validité.  >>>

 

 

111

*    Pour une quantité paire de chiffres identiques.

33 33 33

3 33 33

oui

non

>>>

112

*    Pour les nombres à trois chiffres a, b, c :
On vérifie si a + c – b est 0 ou 11

484

913

4 + 4 - 8 = 0

9 + 3 - 1 = 11

>>>

113

*    Général :
Sp = somme des chiffres de rang pair ;
Si  = pour les impairs ;
Sp – Si est divisible par 11 alors N l'est.

181 907

Sp = 8+9+7=24

Si = 1+1+0=2

Sp-Si= 22

>>>

114

*    Soustraire le dernier chiffre et recommencez.

1 353

135-3 = 132

13-2 = 11

>>>

115

*    Somme des blocs de deux chiffres

1 353

13 + 53 = 66

>>>

12

*    Divisible par 3 et par 4.

4 (…) + du.

144

 4x(1) + 44

= 48 = 12 x 4

>>>

131

*    Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 13.

16 042

042 – 16 = 26

26 = 13 x 2

>>>

132

*    Itération sur dizaines plus 4 fois l'unité.

*    Itération sur dizaines moins 9 fois l'unité.

16 042

1604 + 4x2 = 1612

161 + 4x2 = 169

16+ 4x9 = 52

>>>

7, 11

et 13

*    Somme alternées des blocs de trois chiffres

12 357 345

357

– (12 + 345) = 0

>>>

15

*    Divisible par 3 et 5.

45 

 

 

16

*    Cas général des puissances de 2: 16 = 24  alors les quatre derniers chiffres doivent être divisibles par 16.

180 016

>>>

17

*    Itération sur dizaines moins 5 fois l'unité.

*    Ou somme alternée suer huit chiffres.

58 752

5875 – 5x2 = 5865

586 – 5x5 = 561

56 – 5x1 = 51

>>>

19

*    Itération sur dizaines plus 2 fois l'unité.

14 991

1499 + 2x1 = 1501

150 + 2x1 = 152

15 + 2x2 = 19

>>>

 

20

*    Unité = 0 (divisible par 10) et
dizaine divisible par 2.

80

Unité = 0 et

dizaine => 8 / 2 = 4

 

231

*    Itération sur dizaines plus 7 fois l'unité.

276

27 + 7 x 6 = 69

>>>

232

*    Itération sur centaines plus 3 fois dizaines et unités.

2 829

28 + 3x29 =  115

24

*    Divisible par 3 et 8.

16 (…) + cdu.

29 640 

16 (2+9) + 640 = 

176 + 640 = 816

816 = 24 x 34

>>>

25

*    Terminé par 00, 25, 50 ou 75.

275

 

 

27

*    Si la somme des blocs de trois chiffres est divisible par 27.

33 345

33 + 345 = 378

378 = 27 x 14

>>>

29

*    Itération sur dizaines plus 3 fois l'unité.

3 567

356 + 3x7 = 377

37 + 3x7 = 58

>>>

31

*    Itération sur dizaines moins 3 fois l'unité.

3 813

381 – 3x3 =  372

37 – 3x2 = 31

>>>

33

*    Divisible par 3 et 11.

99 

 

 

36

*    Divisible par 4 et 9.

432

 

 

371

*    Si la somme des blocs de trois chiffres est divisible par 37.

45 695

45 + 695 = 740

740 = 20 x 37

>>>

372

*    Itération sur dizaines moins 11 fois l'unité.

45 695

4569 – 11x5 = 4514

451 – 11x4 = 407

40 – 11x7 = –37

40

*    2c + d divisible par 4

et u = 0.

49 360

3x2 + 6 = 12 => 12 = 4x3; et u = 0

 

41

*    Si somme des tranches de cinq chiffres est divisible par 41.

50617 28349

50617 + 28 349

= 78 966

Suite en dessous

>>>

41 bis

*    Itération sur dizaines moins 4 fois l'unité.

78 966

7896 – 4x6 = 7872

787 – 4x2 = 779

77 – 4x9 = 41

>>>

431

*    Itération sur dizaines plus 13 fois l'unité.
ou, souvent plus facile:

*    Itération sur dizaines moins 30 fois l'unité.

19 608

1960 – 30x8 = 1720

172 – 30x0 = 172

17 – 30x2 = – 43

>>>

432

*    Itération sur centaines moins 3 fois dizaines et unités.

19 608

196 – 3x8 = 172

45

*    10 (…) + u.

540

10 x (5+4) + 0

= 90 = 2 x 45

 

471

*    Itération sur dizaines moins 14 fois l'unité.

564

56 – 14x4 = 0

>>>

472

*    Itération sur centaines plus 8 fois dizaines et unités.

580 215

5802 + 8x15 = 5922

59 + 8x22 = 235

48

*    16 (…) + mcdu.

59 232

16 x 5 + 9232

= 9312 = 48 x 194

 

 

50

*    Terminé par 00 ou 50.

 

 

 

531

*    Itération sur dizaines plus 16 fois l'unité.

636

63 + 16x6 = 159

>>>

532

*    Itération sur centaines moins 9 fois dizaines et unités.

65 402

654 – 9x2  = 636

6 – 9x36 = –318

61

*    Itération sur dizaines moins 6 fois l'unité.

732

73 – 6x2 = 61

>>>

671

*    Itération sur dizaines moins 20 fois l'unité.

804

80 – 20x4 = 0

>>>

672

*    Itération sur centaines moins 2 fois dizaines et unités.

82 678

826 – 2x78 = 670

71

*    Itération sur dizaines moins 7 fois l'unité.

 

 

>>>

73

*    Si somme alternée des tranches de quatre chiffres est divisible par 73.

 

 

>>>

77

*    Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 77.

 

 

 

79

*    Itération sur dizaines plus 8 fois l'unité.

 

 

>>>

83

*    Itération sur dizaines plus 25 fois l'unité.

 

 

>>>

891

*    Itération sur dizaines plus 9 fois l'unité.

1 068

106 +9x8 = 178

892

*    Itération sur centaines moins 8 fois dizaines et unités.

109 826

1098 – 8x26 = 890

91

*    Itération sur dizaines moins 9 fois l'unité.

1 092

109 – 2x9 = 91

>>>

>>>

96

*    64 (…) + Dmcdu.

 

 

 

97

*    Itération sur dizaines moins 29 fois l'unité.

2 425

242 – 29x5 = 97

>>>

 

99

*    Somme des blocs de deux chiffres

1 188

11 +  88 = 99

>>>

100

*    Terminé par 00.

d = 0 et u = 0.

 

 

 

101

*    Si somme alternée des tranches de deux chiffres est divisible par 101.

12 423

1 – 24 + 23 = 0

>>>

1111

*    Somme des blocs de trois chiffres

13 653

13 + 653 = 666

>>>

1112

*    Divisible par 3 et par 37.

 

125

*    cdu = {000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875}.

7 375

375

 

137

*    Si somme alternée des tranches de quatre chiffres est divisible par 137.

>>>

200

*    c pair, d = 0 et u = 0.

11 800

800

 

250

*    cdu = {000, 250, 500, 750}.

 

 

 

271

*    Si somme des tranches de cinq chiffres est divisible par 271.

 

 

>>>

399

*    A centaines  + B (deux derniers chiffres) est divisible par 399

2 394

 

23 + 4 x 94

= 399

>>>

500

*    cdu = {000, 500}.

1 500

 

 

999

*    Somme des blocs de trois chiffres

122 887

122 + 887 = 999

>>>

1000

*    Terminé par 000.

c = 0, d = 0 et u = 0.

123 000

 

 

1001

*    Somme alternée des blocs de trois chiffres

1 235 234

1 – 235 + 234 = 0

>>>

1111

*    Somme des blocs de quatre chiffres

135 8753

135 + 8753

= 8888

>>>

 

Voir aussi Divisibilité par l'unité tronquée / Empreinte de divisibilité  /

Divisibilité "du" / Divisibilité "cdu"

Aussi: 133 / 222 / 240 / 504 / 512 / 576 / 641 / 

 

  

DIVISIBILITÉ des NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Deux nombres consécutifs

 

Parmi deux nombres consécutifs, il y en a toujours un qui est pair.

 

Le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair.
n (n + 1)
est divisible par 2.

 

 

Trois nombres consécutifs

Parmi trois nombres consécutifs, il y en a toujours un qui est divisible par 3.
Aussi: il y en toujours au moins 1 qui est pair.

 

Le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 6.
(n – 1) n (n + 1)
est divisible par 6.

 

Remarquons que 6 = 2 x 3 = 3 ! (factorielle 3)


n nombres consécutifs

 

Le produit de r nombres consécutifs est toujours divisible par r!.
(n – 1) n (n + 1)
est divisible par 6.

Voir Démonstration

       Exemples avec r = 5

 

 

Voir Coefficient du binôme / Factorielle tronquées et somme des facteurs / Identités remarquables et consécutifs

 

 

 

Cas particuliers

 

Deux nombres pairs consécutifs

 

Parmi deux nombres consécutifs pairs consécutifs, l'un des deux est divisible par 4.

 

Le produit de deux nombres PAIRS consécutifs est toujours divisible par 8.
2n (2n + 2)
est divisible par 8.

 

 

Trois nombres consécutifs, le central est impair

 

Parmi trois nombres consécutifs, l'un est divisible par 3. Comme le central est impair, il est flanqué de deux nombres pairs consécutifs, dont le produit est divisible par 8.

 

 

Le produit de trois nombres consécutifs dont le central est impair,
est toujours divisible par 24.
(I – 1)  I  (I + 1)
est divisible par 24.

Voir Divisibilité par 24

 

 

 

 

Suite

*         Autres cas de divisibilité

*         Division par 9, 99,999 …

*         Divisibilité – Méthodes générales

*         Divisibilité d'une somme de nombres consécutifs

*         Divisibilité d'un produit de nombres consécutifs

*         Racine Numérique

*         DivisibilitéIndex

*         Théorèmes sur la divisibilité

*         Nombres divisibles persistants

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         Clé de divisibilité

*         Divisibilité des triplets de Pythagore

*         Divisibilité pour juniors

*         Factorisation d'un nombre

*         GéométrieIndex

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*         Nombre 3 367

*         Nombre 381 654 729

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