critères de divisibilité, caractères généraux

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 11/04/2012

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CRITÈRES DE DIVISIBILITÉS

Comment déterminer rapidement

si un nombre est divisible par un autre ?

Quelles sont les formes des nombres divisibles par un autre ?

Rappel

R.N.

= Racine numérique

= Somme numérique

= somme des chiffres jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre

= preuve par neuf

Exemple

R.N. ( 3456) = 3 + 4 + 5 + 6 = 7 + 5 + 6 = 12 + 6 = 3 + 6 = 9 (= 0)

et, aussi plus rapide : 3 + (4 + 5) + 6 = 9 + 9 = 9 (= 0)

du = nombre formé des dizaines et unités

d = chiffre des dizaines et u = chiffre des unités; c centaines; m milliers
(…) la somme de tous les autres chiffres

En jaune classique et relativement simple; en bleu, plus compliqué, utile pour très grands nombres.

-Ý - CRITÈRES (ou caractères) de DIVISIBILITÉ

Par	Règle	Exemple	Commentaires
2	§ Pair § u ={0, 2, 4, 6, 8}	124	Pair
3	§ R.N. divisible par 3	123	R.N.(123) = 6
4	§ Les 2 derniers chiffres sont divisibles par 4 § 2d + u est divisible par 4	565 544	44 = 11 x 4
5	§ Se termine par 0 ou 5 § u ={0, 5}	565 545
6	§ Pair et divisible par 3	288	R.N.(288) = 9
7	§ On prend tous les chiffres sauf le dernier § On soustrait 2 fois le dernier § On vérifie si le résultat est divisible par 7	364	36 -2 x 4 = 28 28 = 7 x 4
7 bis	§ Multiplier le chiffre de gauche par 3 et ajouter au chiffre suivant. Répéter jusqu'au dernier chiffre. Si le résultat est divisible par 7, c’est bon	364	3x3+ 6 =15 1x3+ 5 = 8 8x3+ 4 =28
7 ter	§ Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 7	8 638	638-8 = 630 630 = 7 x 90
8	§ Les 3 derniers chiffres sont divisibles par 8 § 4c + 2d + u divisible par 8	565 120	120/8 = 15
9	§ R.N. divisible par 9	182 736	R.N. = 0
10	§ Terminé par 0	100

11	§ Trois méthodes :
	- Nombre pair de chiffres identiques	333 333 33 333	oui non
	- Nombres à 3 chiffres a, b, c : On vérifie si a + c - b est 0 ou 11	484 913	4 + 4 - 8 = 0 9 + 3 - 1 = 11
	- Général : Sp = somme des chiffres de rang pair ; Si = pour les impairs ; Si Sp - Si est divisible par 11	181 907	Sp = 8+9+7=24 Si = 1+1+0=2 Sp-Si= 22
12	§ Divisible par 3 et 4 § 4 (…) + du	144	4x1 + 44 = 48 = 12 x 4
13	§ Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 13	16 042	042 – 16 = 26 26 = 13 x 2
15	§ Divisible par 3 et 5

20	§ Divisible par 2 et 10
24	§ Divisible par 3 et 8 § 16 (…) + cdu	29 640	16 (2+9) + 640 = 176 + 640 = 816 816 = 24 x 34
25	§ Terminé par 00, 25, 50 ou 75
27	§ Si somme des tranches de trois nombres est divisible par 37	33 345	33 + 345 = 378 378 = 27 x 14
33	§ Divisible par 3 et 11
36	§ Divisible par 4 et 9
37	§ Si somme des tranches de trois nombres est divisible par 37	45 695	45 + 695 = 740 740 = 20 x 37
40	§ 2c + d divisible par 4 et u = 0	49 360	3x2 + 6 = 12 => 12 = 4x3; et u = 0
45	§ 10 (…) + u	540	10 x (5+4) + 0 = 90 = 2 x 45
48	§ 16 (…) + mcdu	59 232	16 x 5 + 9232 = 9312 = 48 x 194

50	§ Terminé par 00 ou 50
77	§ Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 77
96	§ 64 (…) + Dmcdu
100	§ Terminé par 00 § d = 0 et u = 0
125	§ cdu = {000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875}	7 375	375
200	§ c pair, d = 0 et u = 0	11 800	800
250	§ cdu = {000, 250, 500, 750}
500	§ cdu = {000, 500}
1000	§ Terminé par 000 § c = 0, d = 0 et u = 0

Voir aussi Empreinte de divisibilité / Divisibilité du / Divisibilité cdu

-Ý - THÉORÈMES SUR LA DIVISIBILITÉ

Si a est premier avec b et si a divise bc,	alors a divise c
Si a est premier et divise *bcd*,	il divise l'un des facteurs de ce produit
Si a est premier et divise bⁿ,	il divise b
Si a est premier avec b et avec c,	il est premier avec le produit bc
Si a est premier avec bc,	il est premier avec b et avec c
Si a et b sont premiers entre eux,	toute puissance entière de a est première avec toute puissance entière de b
Si a est premier avec b,	a/b et aⁿ/b^m sont des fractions minimales (non simplifiables)
Si a/b = *c/d* et si a/b est minimale,	alors c et d sont des équimultiples de a et b respectivement

-Ý - DIVISIBILITÉ DES NOMBRES CONSÉCUTIFS

DEUX nombres consécutifs

2 nombres consécutifs	10 x 11	= 110
2 nombres consécutifs	pair x impair	pair
2 autres	11 x 12	= 132
2 autres	impair x pair	pair

Le produit de deux nombres consécutifs

est toujours

pair

n(n+1) est divisible par 2

Ou encore

n (n+1)	divisible par 2
n² + n
n (n - 1)
n² - n

TROIS nombres consécutifs

Le produit contient deux nombres consécutifs,

il est pair, donc divisible par 2

De plus:

3 nombres consécutifs	10 x 11 x 12	= 1 320
3 nombres consécutifs	12 est multiple de 3	divisible par 3
3 autres	11 x 12 x 13	= 1 716
3 autres	12 est multiple de 3	divisible par 3
et encore	13 x 14 x 15	= 2 730
et encore	15 est multiple de 3	divisible par 3

Le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 3

Bilan

Divisible par 2 et par 3,

Le produit de trois nombres consécutifs

est toujours divisible par

n(n+1)(n+2) est divisible par 3! = 6

Ou, aussi

(n-1) n (n+1)	divisible par 6
n (n² - 1)
n³- n

Rappel : 3! = factorielle 3

GÉNÉRALISATION

Le produit de r nombres consécutifs

est divisible par

r !

Soit

*Divisible par*	*Si de la forme*
2 ! = 2	n(n+1)
3 ! = 6	n(n+1)(n+2)
4 ! = 24	n(n+1)(n+2)(n+3)
5 ! = 120	n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
…

Pour s'en persuader

*Divisible par*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2		X		X		X		X		X
3			X			X			X
4				X				X
		§ 4 nombres consécutifs § Présence de 2, 3 et 4 § Donc divisible par 2x3x4 = 24				§ 4 nombres consécutifs § Idem § Divisible par 24

Exemple avec 5 chiffres consécutifs

1 x 2 x 3 x 4 x 5	=	120	=	1	x	120
2 x 3 x 4 x 5 x 6	=	720	=	6	x	120
3 x…	=	2 520	=	21	x	120
4 x	=	6 720	=	56	x	120
5 x	=	15 120	=	126	x	120
6 x	=	30 240	=	252	x	120
7 x	=	55 440	=	462	x	120
8 x	=	95 040	=	792	x	120
9 x	=	154 440	=	1 287	x	120
10 x	=	240 240	=	2 002	x	120

Voir

§ Factorielles tronquées - Démonstration

§ Coefficient du binôme

§ Factorielle tronquées et somme des facteurs

§ Identités remarquables et consécutifs #Consec

-Ý - DIVISIBILITÉ DES NOMBRES PAIRS CONSÉCUTIFS

Deux nombres pairs consécutifs

2 pairs consécutifs	10 x 12	= 120
2 pairs consécutifs	12 est divisible par 4	divisible par 4
2 autres	14 x 16	= 224
2 autres	16 est divisible par 4	divisible par 4