NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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7 ^ 7 ^ 7

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité des carrés

>>> Modulo des carrés et autres puissances

>>> Carrés Modulo 4 & 8

 

 

 

   

 

Divisibilité des carrés

 

Parmi les propriétés des carrés: ils sont des multiples de 5 ou des multiples de 5 à un près. Ils se terminent donc par 0, 1, 4, 5, 6, 9.

 

Ex: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 …

 

 

Divisibilité des carrés

 

*    Quels sont les restes possibles de la division d'un carré par un nombre de 2 à 13?

*    Dans le cas de la division par 2, si le nombre est pair (2k) le carré est pair; si le nombre est impair (2k + 1), le carré est impair. Le carré conserve la parité.

*    Dans le cas de la division par 3, le reste du cube est nul si le nombre est divisible par 3, sion il est égal à1. On dit que: a2 = {0 ou 1} mod 3.

*    Dans le cas de la division par 4, les restes sont aussi 0 ou 1.

 

Le reste de la division par m d'un nombre au carré est appelé son résidu quadratique modulo m.

 

Tableau des résidus quadratiques: colonne bleue = reste de la division par n (rouge) du carré pour un nombre donnant le reste indiqué à gauche.

 

 

*    La division par 5 des carrés est à noter: les restes sont nuls ou plus ou moins 1. Autrement dit:
 

Un carré est un multiple de 5  ou un multiple de 5 plus ou moins 1.

 

Voir Tableau semblable pour les cubes / Machine de Carissan/ Résidus quadratiques

 

 

 

Modulo des carrés et autres puissances

 

Si a  k mod m, alors ab  kb mod m

 

Exemple:    si a = 5 et m = 3 alors k = 2

 

                  ak                              2k                           ak mod 3

                  5                   2                     2

                  52 =   25       22 =   4           1

                  53 = 125       23 =   8           2

                  54 = 625       24 = 16           1

 

Par exemple, 54 et 24 divisés par 3 ont le même reste: 1.
En effet: 625 = 208 x 3 + 1.

 

 

 

Table pour mod 3

 

        a

a mod 3

a2 mod 3

a3 mod 3

a4 mod 3

a5 mod 3

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

3

0

0

0

0

0

4

1

1

1

1

1

5

2

1

2

1

2

6

0

0

0

0

0

7

1

1

1

1

1

8

2

1

2

1

2

9

0

0

0

0

0

10

1

1

1

1

1

 

* En jaune les nombres a pour lesquels le résidu est le même quelle que soit la puissance: il s'agit des nombres divisibles par 3, ce qui naturel et de ces nombres plus un dont le résidu vaut 1 et reste à 1 si on l'élève à une puissance, bien évidemment.

 

 

 

Table pour mod 5

 

         a

a mod 3

a2 mod 3

a3 mod 3

a4 mod 3

a5 mod 3

1

1

1

1

1

1

2

2

4

3

1

2

3

3

4

2

1

3

4

4

1

4

1

4

5

0

0

0

0

0

6

1

1

1

1

1

7

2

4

3

1

2

8

3

4

2

1

3

9

4

1

4

1

4

10

0

0

0

0

0

11

1

1

1

1

1

12

2

4

3

1

2

13

3

4

2

1

3

14

4

1

4

1

4

15

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

CARRÉS MODULO 4 & 8

 

* En application des notions de congruences, observons les modulos 4 et 8 des carrés

 

* Surprise ! ! !

 

En synthétisant

 

n

(mod 4)

(mod 8)

Impair

1

1

Pair

0

0 ou 4

 

* Et démontrons...

 

Observations

n

(mod 4)

(mod 8)

1

1

1

1

2

4

0

4

3

9

1

1

4

16

0

0

5

25

1

1

6

36

0

4

7

49

1

1

8

64

0

0

9

81

1

1

10

100

0

4

11

121

1

1

12

144

0

0

13

169

1

1

14

196

0

4

15

225

1

1

 

 

Carré (mod 4)

 

 

Tout carré est congru modulo 4 à :

   1 s'il est impair,

   0 s'il est pair.

Démonstration

 

Cas où n est impair => n = 2k + 1

(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1

Il reste 1 dans la division par 4.

 

Cas où n est pair => n = 2k

(2k = 4 k²

Divisible par 4.

 

 

 

 

 

Carré (mod 8)

 

 

Tout carré est congru modulo 8 à :

   1 s'il est impair,

   0 ou 4 s'il est pair;

      0 si n divisible par 4

      4 sinon.

 

 

 

Démonstration

 

Cas où n est impair => n = 2k + 1

(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1

= 4 k (k + 1) + 1.

 

k et k + 1 sont deux nombres consécutifs, l'un deux est pair.

 

Leur produit k (k + 1) est divisible par 2, et 4 k (k + 1) est divisible par 8.

 

Donc pour 4 k (k + 1) + 1,

il reste 1 dans la division par 4.

  

Cas où n est pair => n = 2k

(2k = 4 k²

Divisible par 4.

Donc par 8 avec reste 0 ou 4.

 

Cas où n est divisible par 4

=> n = 4k

(4k = 16 k²

Divisible par 16 et a fortiori par 8.

 

 

 

 

 

 

 

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