NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Général

Théorème fondamental
de l’ARITHMÉTIQUE

 

Glossaire

Diviseurs

 

 

INDEX

 

Sommaire

Démonstration

Propriétés

Factorielles

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Théorème

>>> Exemple avec 10!

>>> Divisibilité

 

 

 

 

FACTORISATION des FACTORIELLES

 

Méthode de factorisation.

En déduire quelques caractéristiques, comme la quantité de zéros à droite.

 

 

Approche

Formons la factorisation première des nombres factoriels.

2! = 1 . 2

3! = 1 . 2 . 3

4! = 1 . 2 . 3 . 4

5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5

6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6

= 2

= 6

= 24

= 120

= 720

= 2

= 2  . 3

= 23 . 3

= 23 . 3  . 5

= 24 . 32 . 5

Examinons le cas de 6!

Quel est l'exposant du facteur 2

On effectue les divisions indiquées

Arrêt si le résultat est inférieur à 1

On prend les parties entières de ces résultats

On les additionne

6/2 = 3

6/22 = 1,5

6/23 = 0,75

 

=> 3

=> 1

=> 0

=   4

4 est l'exposant du facteur 2

Même opération avec 3, le nombre premier immédiatement après 2

6/3 = 2

6/32 = 0,66

 

=> 2

=> 0

=   2

2 est l'exposant du facteur 3

Et avec le 5, le nombre premier suivant

Inutile d'aller plus loin avec le nombre premier 7, car la division donnera un résultat inférieur à 1

6/5 = 1

6/52 = 0,24

 

=> 1

=> 0

=   1

1 est l'exposant du facteur 5

 

 

Théorème

 

Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1 et

si p est un nombre premier,

l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers

est égal à

 = [ n/p] + [ n/p2] + [ n/p3] + [ n/p4] + …

 

Rappel de notation: Les crochets droits indiquent que l'on retient la partie entière du nombre.

Exemple: [5,32] = 5

 

 

 

Exemple avec 10!, 00! et 1000!

Méthode directe

Application du théorème

 

 

10! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10

      =     2 . 3 . 22. 5 . 2.3 . 7 . 23 . 32 . 2.5

     

      =     28 . 34 . 52 . 7

     

      = 3 628 800

10/2 = 5

10/22 = 2,5

10/23 = 1,25

 

=> 5

=> 2

=> 1

=   8

28

10/3 = 3,33

10/32 = 1,11

 

=> 3

=> 1

=   4

34

10/5 = 2

 

=> 2

=   2

52

10/7 = 1,42

=> 1

71

10/11 = 0,9

=> 0

Fin

Cas de 100 !

Exemple de calcul pour 2

 

 

100! = 297 . 348 . 524 . 716 .119 . 137 . 175 . 195 . 234 . 293 . 313 . 372 . 412 . 432 . 472 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 . 73 . 79 . 83 . 89 . 97

100/2 =   50

100/22 =   25

100/23 = 12,5

100/24 = 6,25

100/25 = 3,12

100/26 = 1,56

100/27 = 0,78

=> 50

=> 25

=> 12

=>   6

=>   3

=>   1

=>   0

=   97

297

Cas de 1000 !

Exemple de calcul pour 5

1000! => se termine par 249 zéros

 

En effet, la puissance de 5 est 249 et combiné avec 249 fois le 2 (il y beaucoup plus de 2, bien sûr), le produit donne 10 (donc un zéro) à chaque fois.

1000/5 = 200

1000/52 =   40

1000/53 =     8

1000/54 =  1,6

=> 200

=>   40

=>     8

=>     1

=   249

5249

 

 

Divisibilité – Théorème

La factorielle d'un nombre n est divisible par le nombre immédiatement supérieur, s'il est composé et supérieur à 4.

n + 1 │ n!

 

Avec n+1 > 4, composé

Exemple:

5! = 120 est divisible par le nombre composé 6

Explications

 

Avec 5, premier

(2 . 3 . 4) / 5

Impossible.

Avec 6 = 2 . 3

(2 . 3 . 4. 5) / 6

Les facteurs de 6 sont contenus dans la factorielle.

Avec 7, premier

(2 . 3 . 4 . 5 . 6) / 7

Impossible.

Avec 8 = 2 . 4

(2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7) / 8

Un produit de diviseurs donnant 8 est contenu dans la factorielle.

Avec 9 = 3 . 3

(2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8) / 9

La factorielle contient 9 dans ses facteurs.

Avec n+1

Composé

Il est toujours possible de trouver les facteurs du nombre composé dans la factorielle.

 

 

 

 

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