NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Général

Théorème fondamental
de l’ARITHMÉTIQUE

 

Glossaire

Diviseurs

 

 

INDEX

 

Sommaire

Démonstration

Propriétés

Factorielles

 

Sommaire de cette page

>>> Produit

>>> PGCD, PPCM

>>> Divisibilité

>>> Carrés et puissances

>>> Nombres sans facteurs carrés

>>> Nombres plénipotents

>>> Nombres d'Achille

>>> Puissance de 2 et autres

 

 

 

 

THÉORÈME FONDAMENTAL DE L’ARITHMÉTIQUE

PROPRIÉTÉS

 

Quelques propriétés directement induites par ce théorème.
Définition des nombres simples et nombres plénipotents.

 

 

 

 

 

PRODUIT

 

*    Soit trois nombres et leur décomposition en facteurs:


*    Si  c = a . b
 

*    Si  c = a / b

 

 

Exemples numériques

 

*    Multiplication
=> somme des exposants.

 

*    Division
=> différence des exposants

 

 

       882 = 21 . 32 . 50 . 72

         15 = 20 . 31 . 51 . 70

       180 = 22 . 32 . 51 . 70

2 381 400 = 23 . 35 . 52 . 72

 

 

180 = 22 . 32 . 51

  15 = 20 . 31 . 51

  12 = 22 . 31 . 50

 

 

 

PGCD, PPCM

 

*    Plus grand commun diviseur (PGCD).

 

*    Plus petit commun multiple (PPCM).


Exemples numériques

 

 

         120 = 23 . 31 . 51

         180 = 22 . 32 . 51

(15, 180) = 22 . 31 . 51

              = 60

 

         120 = 23 . 31 . 51

         180 = 22 . 32 . 51

[15, 180] = 23 . 32 . 51

              = 360

 

 

 

DIVISIBILITÉ

 

*    Un nombre b est divisible par un nombre a si et seulement si les exposants de a sont inférieurs ou égaux à ceux de b.


 

Exemples numériques

 

 

Divisible

180 = 22 . 32 . 51

  15 = 20 . 31 . 51

 

Non divisible

180 = 22 . 32 . 51

120 = 23 . 31 . 51

 

 

 

CARRÉS et PUISSANCES – Définition

 

*    Nombre n égal au produit d'un entier a par lui-même.

n = a²

       25 = 5²

 

*    Un nombre est un carré si et seulement si tous les exposants sont pairs.

n =  p 2. k

19 600 = 24 . 30 . 52 . 72

             = 140²

 

*    Un nombre n est une puissance m si et seulement si les exposants sont des multiples de m.

n =  p m.k

100 000 = 25 . 30 . 55 . 70

                = (2 . 5)5

Voir Nombres carrés

 

 

 

Nombres sans facteur carré (square-free numbers)

 

*    Nombres dont les exposants significatifs sont seulement des uns.

*    Nombre non divisible par un carré. L'identification de ce type de nombres est utile dans la théorie des nombres.

 

nS =  p a

 

Avec  = {0,1}

       6 =   2 .  3

    105 =   3 .  5 .   7

 3 289 = 11 . 13 . 23

 

Square-free numbers

We say that a is square-free if 1 is the largest square dividing a.

Thus a is square-free if and only if the exponents  take only the value 0 and 1.

 

*    Il existe une infinité de ces nombres.

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21 …

 

*    Tout nombre est le produit d'un carré par un nombre sans facteur carré.

 

n = a² . ns

12 = 2².  3

13 = 1 . 13

14 = 1 . 14

60 = 2². 15

Voir  Nombres sans facteur carré / Nom des nombres / Nombres simples / Nombres homogènes 

 

 

Nombres plénipotents ou puissants

(powerful numbers or squarefull numbers)

 

*    Nombres qui n'a pas d'exposant inférieur à 2.

*    Le produit de nombres plénipotents est aussi un plénipotent.

 

nS =  p a

 

Avec  > 1

       108 =   22 .  33

  10 575 =   32 .  52 .   72

136 125 =   32 .  53 .   112

 

*    Un nombre n est plénipotent si, pour tout nombre premier p qui divise n, son carré divise aussi n.

 

Si pour tout p n

Nous avonsn

Alors n est plénipotent

2 et 3 sont les facteurs premiers de 108

22 │108

32 │108

108 est plénipotent

 

Powerful numbers

A positive integer N is called powerful if p² │N whenever p  N.

An integer N is powerful if and only if N can be expressed in the form N = m2 . n3
where m and n are positive integers.

 

 

*    Tout nombre plénipotent est le produit d'un carré et d'un cube.

N = m2 . n3

 

63 504 000 = 27 . 34 . 53 . 72

= (24 . 34 . 50 . 72) ( 23 . 30 . 53 . 70)

= (22 . 32 . 7)2       ( 2 . 5)3

= (22 . 32 . 7)2       ( 2 . 5)3

=     2522      .         103

 

Voir  Table / Nom des nombres / Nombres plénipotents / Nombres riches / Puissances pures

 

 

 

Nombres d'Achille

 

*    Un nombre plénipotent, non puissance exacte, est un nombre de Achille. Le plus petit est 72 = 23 x 32 et le suivant est 108 = 22 x 33.

 

Liste: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 ...

 

 

 

 

PUISSANCE DE DEUX et autres

 

*    Tout nombre est égal au produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair.

 

n = 2k . m

 

Avec m impair

et      k  0

       3 = 20 . 3

   176 = 24 . 11

1 936 = 24 . 121

3 360 = 25 . 105

 

*    Tout nombre n est le produit unique a.b d'un nombre simple a  et d'un carré b.
b
est alors le plus grand carré divisant n.

 

n = a . b

 

Avec a simple

Et     b = x²

20 580 = 22 . 3 . 5 . 73
 = (20 . 31 . 51 . 71 ) (22 . 30 . 50 . 72)

 =          105          .         14²

 

 

 

 

Suite

*         Factorielles

*         Conjecture ABC

*         Théorème fondamental de l'arithmétique - introduction

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Voir

*         Nombres et leurs facteurs

*         Facteurs et diviseurs

*         Facteurs / diviseurs

*         Nombres composés

*         Nom des nombres

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