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THÉORÈME FONDAMENTAL DE
L’ARITHMÉTIQUE PROPRIÉTÉS Quelques propriétés directement
induites par ce théorème. |
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Soit trois nombres
et leur décomposition en facteurs: |
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Si c = a . b Si c = a / b |
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Exemples numériques
Multiplication
Division |
882 = 21 . 32 .
50 . 72 15 = 20 . 31 .
51 . 70 180 = 22 . 32 .
51 . 70 2 381 400 = 23
. 35 . 52 . 72 180 = 22
. 32 . 51 15 = 20 . 31 . 51 12 = 22 . 31 . 50 |
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Plus
grand commun diviseur (PGCD). Plus
petit commun multiple (PPCM). |
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Exemples numériques |
120 = 23 . 31
. 51 180 = 22 . 32
. 51 (15, 180) = 22
. 31 . 51 = 60 120 = 23 . 31
. 51 180 = 22 . 32
. 51 [15, 180] = 23
. 32 . 51 = 360 |
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Un
nombre b est divisible
par un nombre a si et seulement si
les exposants de a sont inférieurs ou égaux à ceux de b. |
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Exemples numériques |
Divisible 180 = 22 . 32 . 51 15
= 20 . 31 . 51 Non divisible 180 = 22
. 32 . 51 120
= 23 . 31 . 51 |
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Nombre n égal au produit d'un
entier a par lui-même. |
n = a² |
25 = 5² |
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Un nombre est un
carré si et seulement si tous les exposants sont pairs. |
n = p 2. k |
19
600 = 24 . 30 . 52
. 72 = 140² |
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Un nombre n
est une puissance m si et seulement si les exposants sont des
multiples de m. |
n = p m.k |
100
000 = 25 . 30 . 55 . 70 = (2 . 5)5 |
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Voir Nombres carrés
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Nombres dont les exposants
significatifs sont seulement des uns.
Nombre non divisible par
un carré. L'identification de ce type de nombres est utile dans la théorie
des nombres. |
nS = p a Avec = {0,1} |
6 = 2 .
3 105 =
3 . 5 . 7 3 289 = 11 . 13 . 23 |
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Square-free numbers We say that a
is square-free if 1 is the
largest square dividing a. Thus a
is square-free if and only if the exponents take only the value 0 and 1. |
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Il existe une
infinité de ces nombres. |
1,
2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21 … |
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Tout
nombre est le produit d'un carré par un nombre sans facteur carré. |
n = a² . ns |
12 = 2². 3 13 = 1 . 13 14 = 1 . 14 60 = 2². 15 |
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Voir Nombres
sans facteur carré / Nom des nombres / Nombres simples / Nombres homogènes
Nombres
plénipotents ou puissants (powerful numbers or squarefull
numbers) |
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Nombres qui n'a pas d'exposant inférieur à 2. Le produit de nombres plénipotents est aussi un
plénipotent. |
nS = p a Avec > 1 |
108 =
22 . 33 10 575 =
32 . 52
. 72 136
125 = 32 . 53 . 112 |
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Un nombre n est plénipotent si, pour tout nombre
premier p qui divise n, son carré p² divise aussi n. |
Si pour tout p n Nous avons p² n Alors n est plénipotent |
2
et 3 sont les facteurs premiers de 108 22
│108 32
│108 108
est plénipotent |
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Powerful numbers A positive integer N is called powerful if p²
│N whenever p │N.
An integer N is powerful if and only if N
can be expressed in the form N = m2 . n3 |
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4,
8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144 … |
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Tous les nombres après 118
sont somme de trois nombres puissants distincts |
118 = 32
+ 32 + 10² = 33 + 33 + 26 119 = 32 + 62 + 82 120 = 22 + 23 + 22∙33
= 22 + 24 + 102 = 22 + 25 + 23∙32 … |
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Partition
en somme de deux nombres puissants distincts. |
Même autour de 100 000, il existe
des trous. |
99
997 = 53∙112 + 23∙1032 99
998 = / 99
999 = / 100
000 = 122 + 24∙792 |
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Tout nombre plénipotent est le produit d'un carré et
d'un cube. |
N = m2 .
n3 |
63
504 000 = 27 . 34 . 53 . 72 =
(24 . 34 . 50 . 72) ( 23
. 30 . 53 . 70) =
(22 . 32 . 7)2 ( 2 . 5)3 =
(22 . 32 . 7)2 ( 2 . 5)3 = 2522 . 103 |
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Voir Nombres 2-puissants et 3-puissants
/ Nombres
puissants au bac / Table
/
Nom des nombres / Nombres plénipotents / Nombres riches
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Un nombre plénipotent, non puissance exacte, est un
nombre de Achille. Le plus petit est 72 = 23 x 32 et le
suivant est 108 = 22 x 33. Liste: 72, 108, 200, 288,
392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372,
1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528,
3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 ... |
Voir Nombres
d’Achille – Développements
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Tout nombre est égal au produit d'une puissance de 2 et
d'un nombre impair. |
n = 2k . m Avec m impair et
k 0 |
3 = 20 . 3 176 = 24 . 11 1
936 = 24 . 121 3
360 = 25 . 105 |
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Tout nombre n est le produit unique a.b
d'un nombre simple a et d'un carré b. |
n = a . b Avec a simple Et
b = x² |
20
580 = 22 . 3 . 5 . 73 =
105 . 14² |
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Suite |
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Voir |
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