NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Arithmétique

 

Débutants

Nombre

Théorème fondamental

 

Glossaire

Nombre

 

 

INDEX

 

Arithmétique et théorie des nombre

 

Approche

Démonstration

Propriétés

Factorielle

 

Sommaire de cette page

>>> Démonstration 1

>>> Démonstration 2

>>> Formulation

>>> Pair – Impair

 

 

 

 

 

 

Théorème FONDAMENTAL de l’ARITHMÉTIQUE

 

 

 

La factorisation de tout nombre entier n > 1 en produit de nombres premiers est unique, à la permutation des facteurs près.

 

 

Deux démonstrations relativement simples à comprendre pour un théorème aussi important!

 

THE FUNDAMENTAL THEOREM OF ARITHMETIC

or the unique factorization theorem

 

The factoring of any integer n > 1 into primes is unique

apart from the order of the prime factors.

 

Formulation alternative

 

Tout nombre peut être exprimé comme produit unique d'un multiensemble de nombres premiers.

Every positive integer can be uniquely expressed as the product of a multiset of primes.

  

 

 

Première démonstration

*    Supposons que le nombre N admette deux factorisations.
Les  Pi et les Qi sont des nombres premiers

N = P1. P2... PR

= Q1. Q2... QS

*    Simplifions en divisant par tous les facteurs communs.
Les pi et les qi sont des nombres premiers.

n = p1. p2... pr

= q1. q2... qs

*    Alors, dans cette nouvelle égalité il peut exister

*    des pi répétés et des qi répétés.

*    Mais aucun  pi n’est égal à un qj

pi

 qj

*    Cette égalité montre que le membre de droite est divisible par chacun des pi et par p1 par exemple.

p1

 q1. q2... qs

*    Appel à théorème:

Si p est premier

et p a.b

alors  p a ou p b

*    En revenant à notre propriété :
si p1, qui est premier, divise le membre de droite, il divise l’un de ses facteurs qj

*    Or, chacun des facteurs  qj est premier.

Contradiction

hypothèse fausse

Rappel notation

Le trait vertical veut dire "divise" ; le trait barré veut dire "ne divise pas".

Le trait vertical s'obtient avec la police symbole; pour le trait barré, utilisez le même symbole en format - police barrée.  Voir Notations

 

 

 

 

Deuxième démonstration

*    Soit n le plus petit nombre ayant deux factorisations.

n = p1. p2... pr

= q1. q2... qs

A) Nous allons montrer que les facteurs de chaque côté sont premiers entre eux

*    Supposons qu’il existe des pi et des qj multiples les uns des autres (non premiers entre eux), par exemple:

Si p1

= k.q2

*    Nouvelle égalité, en remplaçant  p1 par sa valeur k.q2

En divisant l’égalité par q2

n = k.q2. p2... pr

m = k.      p2... pr

= q1. q2 .q3... qs

= q1.       q3... qs

*    Constat:

n

 n

=  q2 . m

> m

*    Mais alors m admet deux factorisations

Or m est plus petit que n.

Il existe un plus petit que n qui admet deux factorisations.

Contradiction

hypothèse fausse

B) Nous allons forger un nouveau nombre pour continuer la démonstration

*    Prenons (sinon, il suffit d’inverser les notations):

p1

< q1

*    Formons un nouveau nombre:

N = (q1 – p1)

. (q2.q3 ... qs)

Constats :

*    Avec les mêmes facteurs que n, sauf un plus petit, N est plus petit que celui de n.

       

        n =  q1 

        N = (q1 – p1)

N

 

. q2.q3 ... qs

. q2.q3 ... qs

< n

*    Selon notre hypothèse, N étant plus petit que n.

N n’admet qu’une seule factorisation

*    Selon la propriété démontrée en A):

p1

   (q2.q3 ... qs)

Théorème

Si  a (x – y)

alors  a x et ay

*    Appliquons la réciproque avec  p1 qui ne divise pas  q1 même s’il se divise lui-même, on peut dire:

p1

   (q1 – p1)

*    Développons N.

*    Reprenons la relation donnée dans notre hypothèse.

*    Et en factorisant:

N = q1.q2.q3 ... qs

N =  p1.p2.p3... pr

N = p1.(p2.p3... pr

p1.q2.q3 ... qs

p1.q2.q3 ... qs

q2.q3 ... qs)

C) Pour finir

*    Nous disposons de deux factorisations de N.

*    L’une impliquant  p1   et l’autre pas.

p1 ne divise pas  (q1 – p1)  ni les autres facteurs en q

*    Les deux factorisations n'ont aucun facteur en commun.

   N =     p1           .p2.p3... pr – q2.q3 ... qs

   N = (q1 - p1)  . q2.q3 ... qs

Nouveau constat:

*    N aurait ici deux factorisations.

*    Alors que plus haut nous avons montré le contraire.

Contradiction

hypothèse fausse

 

 

 

Formulation autour du théorème fondamental

En application du théorème fondamental de l'arithmétique,

il est possible de donner une formulation générique de tout nombre

Exemple numérique

Un nombre est exprimé par un produit de facteurs premiers, chacun porté à une certaine puissance.

     100 = 22 .      52

13 230 = 2 . 33 . 5 . 72

Écriture généralisée

Produit de la succession de tous les nombres premiers.

Un facteur premier qui n'est pas utile pour représenter le nombre initial est mis à 1 tout simplement en élevant ce nombre premier à la puissance 0.

13 230 = 21 . 33 . 5 . 72 . 110. 130

             = 21 . 33 . 5 . 72 .    1 .   1…

 

Passage à la formulation littérale

 

Utilisant du symbole "Pi majuscule" qui exprime le produit.

 

Le produit est réalisé sur tous les premiers successifs p dont le rang est indiqué par ip

L'exposant est appelé alpha.

Pour chaque premier d'indice ip , l'exposant est baptisé

 

Décomposition canonique de n en facteurs premiers

 

 

 est un entier non-négatif (positif ou nul)

= 0 à partir de p suffisamment grand

 

On peut aussi dire:

= 0 sauf dans un nombre fini de cas.

Formulation abrégée

La formulation est souvent simplifiée de la manière suivante:

Cas particulier

Le nombre un est égal à un produit infini de 1, obtenu  en tant que produit de tous les nombres premiers forcés à 1 en leur appliquant la puissance 0.

 

 

 

Pair- Impair

Une application immédiate consiste à séparer les facteurs pairs des facteurs impairs dans un nombre. Cette opération est utile dans de nombreuses démonstrations.

 

Soit un nombre qui s'écrit sous la forme d'u  produit: tous les facteurs sont débarrassés d'un facteur 2 éventuel; ils sont tous regroupés sous la forme d'une puissance de 2.

Tous les facteurs restants sont impairs et leur produit est impair.

 

Sous sa forme canonique, un nombre est immédiatement vu comme le produit d'une puissance de 2 et de puissances de premiers tous impairs.

 

N = 2k . N'Impair

 

 

Ex:      10 = 2 x 5

        360 = 36 x 10 = 4 x 9 x 2 x 5

                                 = 23 x 45

 

 

 

 

Ex:    360 = 23 . 32 . 5 = 23 x 45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Propriétés (théorème fondamental)

Voir

*         Théorème fondamental de l'arithmétique - introduction

*         Retour au sommaire du cours de théorie des nombres

*         Facteurs / diviseurs

*         Nombres composés

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