NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/01/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	TOPOLOGIE
Débutants Général	RELATION D'EULER ou Théorème de Descartes-Euler			Glossaire Topologie
INDEX Topologie Géométrie		Relation simple	Relation généralisée
		Caract. Euler-Poincaré	Relation dans les polytopes
		Sommaire de cette page >>> Polyèdres >>> Mnémotechnique >>> Généralisation  >>> Graphes >>> Analyse de quelques volumes >>> Arche de la Défense >>> Démonstration

INVARIANT des corps en TOPOLOGIE

Descartes puis Euler ont découvert que les polyèdres convexes avaient le nombre 2 comme invariant.

Cette forme d'invariant se généralise aux polyèdres creux et aux corps de toutes sortes. La valeur de la somme est telle qu'elle constitue une caractéristique permettant de classer les corps.

Anglais: Euler'sFormula / Euler's Polygonal Formula

POLYÈDRES – Rappel

Voir Théorème de Descartes-Euler

MNÉMOTECHNIQUE
Première méthode: mémoire visuelle de l'illustration ci-dessus. Deuxième méthode: en ordonnant selon les dimensions de la plus grande à la plus petite.

Voir Mnémotechnique

GÉNÉRALISATION – Approche

Caractéristique d'Euler d'un corps ou Invariant d'Euler

Avec des corps troués la relation d'Euler devient:

F + S = A + 2 – 2N

avec N la quantité de trous.

Exemples

Tore ou doughnut F + S = A

Bretzel à 2 trous F + S = A – 2

Pour toute surface dessinée sur un support quelconque 

F – A + S = e = constante

La constante, dite invariant d'Euler, ne dépend que du support:

Plan:	e = 1
Sphère:	e = 2
Tore:	e = 0
Bouteille de Klein:	e = 0
Double tore:	e = -2

Formule de l'Huilier

La relation d'Euler complétée par Simon L'Huilier (1750-1840), est la suivante:

F – A + S = 2 – 2N + 2C + B

F Faces

A Arêtes

S Sommets

N Trous, tunnel

C Cavités cachées, internes (Ex: intérieur de la coquille)

B Faces présentant des excroissances,

des renfoncements ou des entrées de tunnel.

Exemples

Cube contenant un cube vide 12 – 24 + 16 = 4

Pyramide à base pentagonale contenant

une pyramide à base triangulaire 10 – 16 + 10 = 4

D'après La conjecture de Poincaré – George G. Szpiro – Lattès Points sciences – 2007 – pages 89 à 93

Analyse de quelques volumes
	Avec le cube, ou le pavé quelconque, on retrouve la relation d'Euler. Ajoutez un cube superposé ou avec une arête commune et la relation n'est plus vérifiés. Avec les formes en L ou en U, la relation est vérifiée dans les deux cas suivants: les faces avant et arrière sont considérées somme une seule face, ou ces deux faces sont découpées (traits rouges). On peu imaginer que le L ou Le U interne est plus petit que celui externe. La situation est plus étrange avec la forme en O (cube troué ou donut cubique). Si on considère l'avant comme l'arrière comme simples faces, la relation n'est pas conservée; Si on considère les séparations en rouge avec des faces latérales en biseau sur le trou interne, alors la relation avec trou est conservée (invariant = 0). Avec un cube enfouit à l'intérieur d'un cube, l'invariant vaut 4.

Arche de la défense

Avec ce volume en forme de cube troué, l'invariant d'Euler pour forme trouée est vérifié.

F + S = A + 0 16 + 16 = 32 + 0

(Rebords des structures non pris en compte)

Voir Arche de la Défense et hypercube

GRAPHES

Graphes entièrement connectés: chaque sommet est relié à tous les autres. Alors, un tel graphe peut être considéré comme un polyèdre auquel on a retiré une face. F – A + S = 1 Exemples Analogies En considérant la région externe au graphe, on ajoute une "face"; on retrouve la formule originale d'Euler avec 2. C'est comme si le graphe était enroulé sur une sphère. Le haut s'enroule pour retrouver le bas et la droite rejoint la gauche.

Démonstration de la relation d'Euler
Suppression des éléments les uns après les autres. Supprimer une arête, conserve la relation. On érode le graphe jusqu’à laisser un seul point. La relation est conservée jusqu'à la fin et l'expression finale est bien F – A + S = 1

Suite	Caract. Euler-Poincaré
Voir	Euler Géométrie – Index Les 4 couleurs Topologie – Index
Sites	Relation d'Euler et les polyèdres sans trou – CRHE / Isep – pdf 40 pages Euler' Formula – Maths is Fun Euler's Theorem – Tom Davis – 2009 (avec preuve) Euler' Polyhedral Formula – Joseph Malkevitch Euler' Polyhedron Formula – Abigail Kirk Euler's Formula – Hazel Lewis - Institute of mathematics Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2 – The Geometry Junyard
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/RelEuler.htm