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Géométrie

 

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POLY- …

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

Géométrie

 

Polygones

Polyèdres

Polytopes

Tectoèdres

Deltaèdres

 

Sommaire de cette page

>>> Polyèdres – définitions  

>>> Polyèdres semi-réguliers

>>> Polyèdres réguliers

>>> Théorème de Descartes-Euler

>>> Propriétés

>>> Tétraèdre régulier

>>> Planètes

>>> Billard volumique

>>> Divers polyèdres

>>> Polyèdres particuliers

>>> Polyèdres étoilés

 

 

 

 

POLYÈDRES

 

 

Volumes très nombreux. Sauf lorsqu'ils sont réguliers ou semi-réguliers.

 

Polyèdre: solide ayant pour frontière des polygones plans appelés faces ou facettes, dont les côtés communs sont les arêtes qui se rejoignent aux sommets

Ils sont convexes ou concaves; réguliers, semi-réguliers ou quelconques. Il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes.

small dodecicosidodecahedron

Dodécicosidodécaèdre

Anglais: one polyhedron - Pluriel: many polyhedra

 

 

POLYÈDRES – Définitions

Polyèdre

*      Solide limité par des faces planes.

Polyèdre uniforme

*      Faces régulières et arêtes de mêmes longueurs.

*      Faces par forcément convexes.

*      Il en existe 75 en trois familles de symétrie:

*      4 tétraèdrales

*    17 octaèdrales

*    54 icosaèdrales

 

*      Et 5 prismes et anti-prismes (famille infinies).

 

Nom et visualisation des 75 + 5, voir Visual Index of all Uniform Polyhedra

Polyèdre convexe

*      Tout le solide est du même côté de chacune des faces (on peut poser chacune des faces sur une table).

*      La formule d'Euler lie les quantités de faces, de sommets et d'arêtes.

Polyèdre semi-régulier

*      Polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers, mais pas tous identiques.

*      Il en existe 13: les solides d'Archimède.

Polyèdre régulier

*      Toutes les faces sont identiques.

*      Il en existe seulement 5: les solides platoniciens.

 

 

Nomenclature résumée

75 polyèdres uniformes et une infinité de prismes et anti-prismes

 

Convexes

Non-convexes

  9  réguliers

  5 solides Platoniciens

 4 solides de Poinsot-Kepler

15 quasi-réguliers

  2 solides Archimédiens

13

51+ semi-réguliers

11 solides Archimédiens

17 solides Archimédiens étoilés

 

infinité de prismes

              et  anti-prismes

23 autres

En savoir plus:  SITE Polyèdre - Wikipédia et aussi le même en langue anglaises;

voir les liens qui y sont indiqués

 

 

 

 POLYÈDRES SEMI-RÉGULIERS

ou SOLIDES ARCHIMÉDIENS

polyèdres réguliers 1

 

 

 

 POLYÈDRES RÉGULIERS

ou SOLIDES PLATONICIENS

 

*      Polyèdre régulier: polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers.

 

*      Les Grecs furent surpris de découvrir que:

 

Il n'y a que  cinq polyèdres réguliers.

 

Voir Pourquoi 5 seulement ?

 

*      Solides dont la construction fut découverte par Pythagore et connus aujourd'hui sous le nom de solides platoniciens.

 

 

Voir Triangle équilatéral / Tétraèdre / Carré / Pentagone / Cube / Octaèdre / Dodécaèdre / Icosaèdre / Mnémotechnique

 

 

Vision de Platon

À l'origine deux catégories de triangles:

*    Le triangle rectangle isocèle, moitié du carré et

*    Le triangle rectangle quelconque, moitié du triangle équilatéral.

Avec ces triangles, il forme les polyèdres

*    Tétraèdre pour le feu;

*    Cube pour la terre;

*    Octaèdre pour l'air;

*    Icosaèdre pour l'eau; et,

*    Dodécaèdre, proche de la sphère pour l'Univers.

La transmutation consiste à modifier ces arrangements, pense Platon.

 

 

 

 

Théorème de DESCARTES-EULER

 

Observation

Nom

Face

Arête

Sommet

F

A

S

Tétraèdre

4

6

4

Cube

6

12

8

Octaèdre

8

12

6

Dodécaèdre

12

30

20

Icosaèdre

20

30

12

 

Théorème de Descartes-Euler

 

F + S = A + 2

Voir Développements / Euler

 

*      La quantité F – A  + S s'appelle la caractéristique d'Euler-Poincaré d'un polyèdre.
Elle est égale à 0 pour un tore ou encore pour le ruban de Möbius

 

Voir Formule pour Polytopes / Pour les graphes / Théorème des quatre couleurs

 

 

 PROPRIÉTÉS

 

Volume dual

*      Observez la quantité de faces et de sommets du cube et de l'octaèdre. Les nombres sont croisés. Si chacun des huit sommets d'un cube sont remplacés par des triangles équilatéraux, c'est un octaèdre qui se forme. Et réciproquement. On dit que ces deux polyèdres sont duaux. Deux formes duales présentent les mêmes propriétés de symétrie.

*      Le type de volume ou son degré exprime la quantité de faces réunies à un sommet.

Voir Dualité

 

Symétries du cube

*    A chaque sommet,
trois arêtes:

Par rotation, on obtient trois positions symétriques du cube.

*    Huit sommets:

8 x 3 = 24 symétries de rotation.

*    et par réflexion:

2 x 24 = 48 symétries dans un cube

 

Voir Symétrie

 

*      Un décompte du même type pour les autres solides donne les chiffres du tableau ci-dessus.

 

Dualité

*      Si on place un point au centre de chaque face du cube, les 6 points obtenus sont les sommets d'un octaèdre. L'octaèdre est le dual du cube. Chaque polyèdre possède son dual (voir tableau ci-dessus).
Le tétraèdre est son propre dual.

 Voir Cuboctaèdre

 

 

 

PLANÈTES

 

Kepler et Pythagore

 

*      Kepler (1571-1630) pensait que le nombre des planètes et leur disposition n'étaient pas arbitraires, mais une manifestation de la volonté de Dieu.
Il avait encastré les 6 planètes connues à l'époque dans les 5 solides parfaits de Pythagore (dits platoniciens).

 

Modèle proposé dans son ouvrage " Le Mystère cosmique " – 1596

 

Mercure

Vénus

Terre

Mars

Jupiter

Saturne

Octaèdre

Icosaèdre

Dodécaèdre

Tétraèdre

Cube

 

Voir Planètes  /  Astronomie / Pythagore

  

 

 BILLARD VOLUMIQUE

 

Billard volumique

*      La boule de billard part d'un point et y revient après avoir été réfléchie par chacune des faces.

 

Il existe au moins une trajectoire pour

 

4

6

8

12

20

Tétraèdre

Cube

Octaèdre

Dodécaèdre

Icosaèdre

Non

Non

Oui

Oui

Oui

 

 

 

Divers POLYÈDRES

 

 

Polyèdres particuliers

Nom

Polyèdre de base

Modification

Nb. de

faces

Faces

*   Octaèdre

*   Tétraèdre

adouci

8

4 triangles

4 hexagones

*   Cuboctaèdre

Dymaxion

*   Cube

tronqué

14

6 carrés

8 triangles

*   Décatétraèdre

*   Cube

adouci

14

6 octogones

8 triangles

*   Décatétraèdre

*   Octaèdre

adouci

14

8 hexagones

6 carrés

*   Icohexaèdre

Petit rhombicuboctaèdre

*   Cuboctaèdre

tronqué

26

18 carrés

8 triangles

*   Icohexaèdre

Grand rhombicuboctaèdre

*   Cuboctaèdre

adouci

26

6 octogones

8 hexagones

12 carrés

*   Triacontadoèdre

*   Dodécaèdre

tronqué

32

12 décagones

20 triangles

*   Triacontadoèdre

Icosidodécaèdre

*   Dodécaèdre

adouci

32

12 pentagones

20 triangles

*   Triacontadoèdre

Icosaèdre tronqué

ou ballon de football

*   Icosaèdre

adouci

32

12 pentagones

20 hexagones

*   Triacontaoctaèdre

*   Cube

transformé

38

6 carrés

32 triangles

*   Hexécontadoèdre

Petit Rhombicosidodécaèdre

*   Triacontaoctaèdre

tronqué

62

12 pentagones

30 carrés

20 triangles

*   Hexécontadoèdre

Grand Rhombicosidodécaèdre

*   Triacontaoctaèdre

adouci

62

12 décagones

20 hexagones

30 carrés

*   Ennéacontadoèdre

*   Dodécaèdre

transformé

92

12 pentagones

80 triangles

 

 

 

Polyèdres réguliers étoilés

 

*      Il s'agit d'étirer chaque face pour leur donner une forme en pointe: le polyèdre est dit "étoilé"

 

*  Tétraèdre

*  Cube

0

0

Pas de forme étoilée

*  Octaèdre

1

Stella octangula

*  Dodécaèdre

3

Petit dodécaèdre étoilé

Grand dodécaèdre

Grand dodécaèdre étoilé

*  Icosaèdre

59

Dont

Deltaèdre

Grand icosaèdre

 

 

 

 

Suite

*    Polytopes

*    Les 17 équations qui ont changé le monde

Voir

*    Approximation de la sphère

*    Constructions

*    Cubes avec des allumettes

*    GéométrieIndex

*    Hypercube

*    Illusions d'optique

*    Le cube

*    Nombres géométriques

*    Pavé

*    Platon

*    Platon double le carré

*    Prisme

*    Pythagore

*    Surfaces et volumes

*    Triangles

Diconombre

*    Nombre   5

*    Nombre 13

*    Nombre 75

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polyedre.htm

 

Sites

Animation des polyèdres

*      Les polyèdres en mouvement

*      Les polyèdres animés

*      Nouveaux polyèdres par des stellations

 

Réguliers

*      Polyèdres réguliers convexes

*      The Regular Polyhedra

 

Semi-réguliers

*      Polyèdres semi-réguliers

*      Solides archimédiens

 

Divers

*      Polyèdres réguliers croisés de Kepler & Poinsot

*      Stellated Icosahedra

*      Dodécicosidodécaèdre 

 

Éducation et Patrons

*      Tout sur les polyèdres par Jean-Jacques Dupas

*      Visual Index of all Uniform Polyhedra (les 80 polyèdres uniformes)

*      Polyhedron Models Custom Built

*      Dessins de polyèdres en perspective cavalière (cadre cubique)

*      Des polyèdres, oui mais ... (dessins)

*      L'atelier des polyèdres (patrons)

*      Quelques éléments de géométrie du solide : de Platon à Euler (histoire)

 

La formule d'Euler

*      Dénombrer les polyèdres

*      La formule d'Euler :   f + s = a + 2