polyèdres uniformes, réguliers et semi-réguliers

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POLYÈDRES

Volumes très nombreux. Sauf lorsqu'ils sont réguliers ou semi-réguliers.

Polyèdre: solide ayant pour frontière des polygones plans appelés faces ou facettes, dont les côtés communs sont les arêtes qui se rejoignent aux sommets

Ils sont convexes ou concaves; réguliers, semi-réguliers ou quelconques. Il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes.

Dodécicosidodécaèdre

Anglais: one polyhedron - Pluriel: many polyhedra

Vocabulaire

POLYÈDRES – Définitions
Polyèdre Solide limité par des faces planes.
Polyèdre uniforme Faces régulières et arêtes de mêmes longueurs. Faces par forcément convexes. Il en existe 75 en trois familles de symétrie: 4 tétraèdrales 17 octaèdrales 54 icosaèdrales Et 5 prismes et anti-prismes (famille infinies).	Nom et visualisation des 75 + 5, voir Visual Index of all Uniform Polyhedra
Polyèdre convexe Tout le solide est du même côté de chacune des faces (on peut poser chacune des faces sur une table). La formule d'Euler lie les quantités de faces, de sommets et d'arêtes.
Polyèdre semi-régulier Polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers, mais pas tous identiques. Il en existe 13: les solides d'Archimède.
Polyèdre régulier Toutes les faces sont identiques. Il en existe seulement 5: les solides platoniciens.

Nomenclature résumée
75 polyèdres uniformes et une infinité de prismes et anti-prismes
	Convexes	Non-convexes
9 réguliers	5 solides Platoniciens	4 solides de Poinsot-Kepler
15 quasi-réguliers	2 solides Archimédiens	13
51⁺ semi-réguliers	11 solides Archimédiens	17 solides Archimédiens étoilés
	infinité de prismes et anti-prismes	23 autres

En savoir plus: SITE Polyèdre - Wikipédia et aussi le même en langue anglaises;

voir les liens qui y sont indiqués

POLYÈDRES SEMI-RÉGULIERS

ou SOLIDES ARCHIMÉDIENS

polyèdres réguliers 1

POLYÈDRES RÉGULIERS

ou SOLIDES PLATONICIENS

Polyèdre régulier: polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers.

Les Grecs furent surpris de découvrir que:

Il n'y a que cinq polyèdres réguliers.

Voir Pourquoi 5 seulement ?

Solides dont la construction fut découverte par Pythagore et connus aujourd'hui sous le nom de solides platoniciens.

Voir Triangle équilatéral / Tétraèdre / Carré / Pentagone / Cube / Octaèdre / Dodécaèdre / Icosaèdre / Mnémotechnique

Vision de Platon

À l'origine deux catégories de triangles:

Le triangle rectangle isocèle, moitié du carré et

Le triangle rectangle quelconque, moitié du triangle équilatéral.

Avec ces triangles, il forme les polyèdres

Tétraèdre pour le feu;

Cube pour la terre;

Octaèdre pour l'air;

Icosaèdre pour l'eau; et,

Dodécaèdre, proche de la sphère pour l'Univers.

La transmutation consiste à modifier ces arrangements, pense Platon.

Théorème de DESCARTES-EULER

Observation

Nom	Sommet	Face	Arête
Nom	S	F	A
Tétraèdre	4	4	6
Cube	8	6	12
Octaèdre	6	8	12
Dodécaèdre	20	12	30
Icosaèdre	12	20	30

Théorème de Descartes-Euler

S + F = A + 2

Voir Développements / Euler

La quantité F – A + S s'appelle la caractéristique d'Euler-Poincaré d'un polyèdre.
Elle est égale à 0 pour un tore ou encore pour le ruban de Möbius

Voir Formule pour Polytopes / Pour les graphes / Théorème des quatre couleurs

PROPRIÉTÉS

Volume dual

Observez la quantité de faces et de sommets du cube et de l'octaèdre. Les nombres sont croisés. Si chacun des huit sommets d'un cube sont remplacés par des triangles équilatéraux, c'est un octaèdre qui se forme. Et réciproquement. On dit que ces deux polyèdres sont duaux. Deux formes duales présentent les mêmes propriétés de symétrie.

Le type de volume ou son degré exprime la quantité de faces réunies à un sommet.

Voir Dualité

Symétries du cube

A chaque sommet, trois arêtes:	Par rotation, on obtient trois positions symétriques du cube.
Huit sommets:	8 x 3 = 24 symétries de rotation.
et par réflexion:	2 x 24 = 48 symétries dans un cube

Voir Symétrie

Un décompte du même type pour les autres solides donne les chiffres du tableau ci-dessus.

Dualité

Si on place un point au centre de chaque face du cube, les 6 points obtenus sont les sommets d'un octaèdre. L'octaèdre est le dual du cube. Chaque polyèdre possède son dual (voir tableau ci-dessus).
Le tétraèdre est son propre dual.

Voir Cuboctaèdre

PLANÈTES

Kepler et Pythagore

Kepler (1571-1630) pensait que le nombre des planètes et leur disposition n'étaient pas arbitraires, mais une manifestation de la volonté de Dieu.
Il avait encastré les 6 planètes connues à l'époque dans les 5 solides parfaits de Pythagore (dits platoniciens).

Modèle proposé dans son ouvrage " Le Mystère cosmique " – 1596

Mercure	Vénus	Terre	Mars	Jupiter	Saturne
Mercure	Octaèdre	Icosaèdre	Dodécaèdre	Tétraèdre	Cube

Voir Planètes / Astronomie / Pythagore

BILLARD VOLUMIQUE

Billard volumique

La boule de billard part d'un point et y revient après avoir été réfléchie par chacune des faces.

Il existe au moins une trajectoire pour

4	6	8	12	20
Tétraèdre	Cube	Octaèdre	Dodécaèdre	Icosaèdre
Non	Non	Oui	Oui	Oui

Divers POLYÈDRES

Il existe exactement 92 polyèdres convexes avec des faces polygonales régulières (et pas nécessairement des sommets équivalents). Ils sont connus sous le nom de solides de Johnson.

Les polyèdres avec des sommets identiques reliés par une opération de symétrie sont connus sous le nom de polyèdres uniformes. Il existe 75 polyèdres de ce type dans lesquels seules deux faces peuvent se rencontrer sur un bord, et 76 dans lesquels un nombre pair de faces peut se rencontrer.

Parmi ceux-ci, 37 ont été découverts par Badoureau en 1881 et 12 par Coxeter et Miller vers 1930.

Polyèdres particuliers
Nom	Polyèdre de base	Modification	Nb. de faces	Faces
Octaèdre	Tétraèdre	adouci	8	4 triangles 4 hexagones
Cuboctaèdre Dymaxion	Cube	tronqué	14	6 carrés 8 triangles
Décatétraèdre	Cube	adouci	14	6 octogones 8 triangles
Décatétraèdre	Octaèdre	adouci	14	8 hexagones 6 carrés
Icohexaèdre Petit rhombicuboctaèdre	Cuboctaèdre	tronqué	26	18 carrés 8 triangles
Icohexaèdre Grand rhombicuboctaèdre	Cuboctaèdre	adouci	26	6 octogones 8 hexagones 12 carrés
Triacontadoèdre	Dodécaèdre	tronqué	32	12 décagones 20 triangles
Triacontadoèdre Icosidodécaèdre	Dodécaèdre	adouci	32	12 pentagones 20 triangles
Triacontadoèdre Icosaèdre tronqué ou ballon de football	Icosaèdre	adouci	32	12 pentagones 20 hexagones
Triacontaoctaèdre	Cube	transformé	38	6 carrés 32 triangles
Hexécontadoèdre Petit Rhombicosidodécaèdre	Triacontaoctaèdre	tronqué	62	12 pentagones 30 carrés 20 triangles
Hexécontadoèdre Grand Rhombicosidodécaèdre	Triacontaoctaèdre	adouci	62	12 décagones 20 hexagones 30 carrés
Ennéacontadoèdre	Dodécaèdre	transformé	92	12 pentagones 80 triangles

Polyèdres réguliers étoilés

Il s'agit d'étirer chaque face pour leur donner une forme en pointe: le polyèdre est dit "étoilé"

Tétraèdre Cube	0 0	Pas de forme étoilée
Octaèdre	1	Stella octangula
Dodécaèdre	3	Petit dodécaèdre étoilé Grand dodécaèdre Grand dodécaèdre étoilé
Icosaèdre	59	Dont Deltaèdre Grand icosaèdre …

Voir The Fifty-Nine Icosahedra – H. S. M. Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather and J. F. Petrie

Enveloppe convexe (Convex hull)

Le calcul de l’enveloppe convexe d’un ensemble de points dans l’espace est un des calculs les plus ardus de la géométrie par ordinateur.

Pour un ensemble de points dans le plan, l’enveloppe correspond au périmètre d’un élastique engobant tous ces points.

Dans l’espace, il faut imaginer un emballage qui contiendrait tous les points

Algorithme polyédriques.

Algorithme du parcours de Graham (Graham scan) qui calcule les sommets de la coque convexe (1972).

Algorithme Gift-wrapping (ou Jarvis’sMarch)

The Convex Hull is one of the more researched problems of Computational Geometry. The Graham Scan is one of the simpler convex hull algorithms, but certainly not the only one.

Suite	Polytopes Les 17 équations qui ont changé le monde
Voir	Approximation de la sphère Constructions Cubes avec des allumettes Géométrie – Index Heptaèdre (dont Szilassi) Hypercube Illusions d'optique Le cube Nombres géométriques Octaèdre Pavé Platon Platon double le carré Prisme Pythagore Surfaces et volumes Triangles
Diconombre	Nombre 5 Nombre 13 Nombre 75
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