Définition

*        Science qui étudie les propriétés géométriques invariantes 

d'un objet quand celui-ci est étiré, tordu ou rétréci de manière continue.

*        Science qui étudie les propriétés géométriques invariantes 

sous l'effet de transformations biunivoques continues.

Analogies

*        On peut imaginer les objets topologiques fabriqués en plastique mou et déformables à souhait

Sans déchirement,

Sans collages avec superpositions.

*        Opération semblable au procédé vidéo, appelé morphing, qui fait passer d'un objet à un autre par déformation progressive.

 

Propriétés

*        En topologie, les distances n'existent pas:

*     Cercle et ellipse sont équivalents comme sphère et ellipsoïde,

*     Une surface plane équivaut à une surface ondulée, pliée, tordue,

*     Une sphère lisse à une sphère bosselée,

*     Un tore, une chambre à air, un donut (doughnut), Donut bien rond.jpgune tasse sont équivalents.

 

*        Mais, un cercle est un ensemble de points particuliers

Si un seul point est retiré ce n'est plus un cercle mais un segment de droite.

But

*        Donner un sens aux notions intuitives de voisinage, continuité, limite …

*        Classer les ensembles de points

qui forment des objets réels ou

qui sont objets mathématiques plus généraux.

*        Définir des notions fondamentales comme:

ouvert et fermé

compact, adhérent, accumulation

convergence, connexité …

*        Étudier les liens entre espaces topologiques et espaces métrisables …

 

Maths

*        Un espace topologique est un ensemble E d'éléments appelés points, auquel est associée une famille  de sous-ensembles de E appelés ouverts, satisfaisant aux trois axiomes de la topologie:

*    E et l'ensemble vide sont des ouverts.

*    Toute réunion d'ouverts est un ouvert.

*    L'intersection d'un nombre limité d'ouverts est un ouvert.

Types

*        Topologie algébrique

*    Utilisation de procédés algébriques pour résoudre les problèmes de topologie.

*    Géométrie de la feuille de caoutchouc (rubber-sheet geometry).

*    Topologie qui finalement s'intéresse beaucoup aux objets à trous (sphère, tore, bretzel …).

*        Topologie ensembliste (ou topologie)

Elle a pour origine l'analyse réelle:

propriété d'ensembles de points

sans faire appel à l'algèbre

mais à des propriétés de voisinage.

 

Origine

*        Du grec topos lieu et logos étude.

*        Autrefois, topologie était synonyme de "géométrie de position".

*          La topologie était appelée: "analyse de situation" (analysis situs)

Anglais

TOPOLOGY

The concept of topological space grew out of the study of the real line and Euclidean space, and the study of continuous functions of these spaces.

*  open and closed sets.

*  limit points.

*  continuous functions.

The concept of a topological space that is now standard was a long time in being formulated.

En savoir plus

*   TopologieIndex

*   TopologieIntroduction

Et aussi

*   Catastrophes

*   Curiosités topologiques

*   Dissection

*   Graphes

*   Graphes planaires

*   Les trois géométries

*   Nœuds

*   Pavage

*   PoincaréConjecture

*   Symétries

Jeux

*   Arbre de distribution

*   Chemin de l'ivrogne

*   Chemin eulérien

*   Chemin le plus court

*   Parcours du cavalier

*   Pont de Königsberg

*   Trois maisons (énigme des -)

*   Voyageur de commerce

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