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Quatre couleurs

 

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5 couleurs

6 et plus

 

Sommaire de cette page

 

Carte plane

>>> Théorème de Brooks: D + 1

>>> Théorème des six couleurs

Volumes

>>> Cas du tore à t trous

>>> Formule et nombre d'Heawood

>>> Sept couleurs

>>> Six couleurs

 

 

 

 

 

 

Coloration des cartes/graphes

avec six couleurs ou plus

 

Il n'est pas très difficile de montrer que six couleurs sont suffisantes pour colorer n'importe quelle carte.  Nous pouvons passer d'une évaluation grossière (D+1) à une quantité maximale égale à 6 pour toute carte plane.

 

 

Cette page explore quelques tentatives pour tenter de réduire au maximum la quantité de couleurs nécessaires.

 

 

 

 

Théorème de Brooks

 

 

Il suffit de D + 1 couleurs pour colorer un graphe planaire,

D étant le degré maximum parmi les sommets du graphe.

 

En fait, D couleurs suffisent sauf pour le graphe complet et les graphes cycle de longueur impaire où les D + 1 couleurs sont nécessaires.

 

Au cours de la coloration, puisque le degré maximum est d, un sommet possède au plus d voisins. S'ils utilisent déjà de couleurs, il en faut une de plus pour le sommet en question. 


 

 

Théorème des six couleurs

 

 

Il suffit de 6 couleurs pour colorer un graphe planaire.

 

Cette propriété résulte d'une déduction à partir de la relation d'Euler >>>


 

 

 

 

 

Cas des volumes

 

TORE

 

Heawood, après avoir réfuté la démonstration de Kempe, en profite aussi étudier la coloration des volumes. Il prétend que le tore est au plus 7-coloriable (on montrera plus tard que c'est 6).

Sa formule générale pour la coloration d'une carte dessinée sur un tore à t trous est la suivante:

 

 

 

Formule et nombre d'Heawood

 

En 1890, Heawood démontre que la quantité maximale de couleurs pour colorier une carte sur toute surface, hors la sphère est donnée par cette formule:

 

 

e est l'invariant d'Euler.

Cmax: nombre maximum de couleurs pour colorier une carte, dit nombre de Headwood d'une surface (on prend la valeur entière de ce nombre).

 

Application

Surface sur

Invariant

Formule (max)

Réalité

Plan

2

4

4

Sphère

2

4

4

Tore

0

7

7

Ruban de Moebius

0

7

6

Bouteille de Klein

0

7

6


 

 

 

Sept couleurs

 


 
La sphère est une surface continue : en tournant vers l'est on revient par l'ouest ; en allant vers le nord on revient par le sud.

 

C'est la même chose pour un tore. On comprend mieux en découpant le tore :

 

 

Il faut imaginer que, en permanence, les points du côté A sont attachés à ceux de A' et que ceux de B sont attachés à B'.

 

Selon les régions de la carte sur la sphère ou le tore, il faut au plus 7 couleurs.

 

Exemple :

 

 

 

 

 

 

Six couleurs

 

 

Le ruban de Möbius est une surface continue, obtenue en prenant une bande de papier et en collant les deux extrémités après en avoir retourné une.

 ruban de Moebius

 

 

La bouteille de Klein est en trois dimensions ce que le ruban de Möbius est aux surfaces. Difficile à imaginer.

Attention. On reprend le tore sectionné, vu ci-dessus, au lieu de le coller comme avant, on inverse tous les points. Imaginez le développement tel que présenté ci-dessous :

 

 

Pour une bouteille de Klein, il faut au plus 6 couleurs.

 

Exemple :

 
 

Anglais Möbius one-side strip

 

 

 

 

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