NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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GÉOMÉTRIE

Hypercube

Hypersphère

 

Sommaire de cette page

>>> Hypercube 

>>> Hypersphère

 

 

 

 

HYPERCUBE ou   TESSÉRACT

 

L'hypercube est l'un des six polytopes réguliers convexes.

Un pionner de la quatrième dimension et de l'hypercube: Charles Hinton

 

 

Hyper cube

 

Hypercube ou tesséract

32 arêtes

24 faces

16 sommets

 

 

*    Prenons d'abord le cas du cube.

Le cube est le volume engendré par un simple carré que l'on déplace en ligne droite (translation).

On peut le représenter en dessinant le carré au départ  et le carré à l'arrivée et joindre les quatre sommets.

*    L'hypercube peut être imaginé de la même façon.

Un cube en se translatant engendre un hypercube.

 

*    Pour imaginer un hypercube,  on peut aussi dessiner deux cubes:

un petit à l'intérieur d'un plus grand,

les sommets de l'un étant réunis aux sommets de l'autre.

L'hypercube comprend 8 cubes. Ce sont le cube de départ, les six cubes créés à partir des six faces et le cube qui semble englober l'ensemble.

 

*    Un cube (3D) dans un espace à deux dimensions se manifeste sous la forme d'un carré.

Ou plus justement, un cube se projette sous la forme de deux carrés, l'un dans l'autre.

 

*    Un hyper cube (4D) apparaît sous la forme de deux cubes l'un dans l'autre.

Cette figure est la représentation que nous pouvons nous en faire dans notre monde à 3 dimensions, et encore, lorsqu'on le dessine, projeté sur 2.

 

 

Voir Grande Arche

*    On connaît le développement du cube en 6 carrés assemblés en croix.

Que devient l'hyper cube ?

Huit cubes, 4 en lignes et 4 autour du deuxième.

 

*    Impossible de se représenter un hypercube de dimension 4 et encore moins de dimension 12. Seule façon d'en avoir une lointaine idée, la projeter sur le plan. Sur cette illustration, les 4 096 212) points sont les sommets.

 

Source image Wikipédia et La Recherche n°513-514

Wikipédia présente les projections pour les dimensions 2 à 12

 

 

 

La Grande Arche de la Défense à Paris

 

 

(1) En forme d'un grand cube évidé par un  plus petit cube, elle fait penser à la vision 3D d'un hypercube.

(2) Cette partie suspendue est notamment utilisée pour des réceptions (J'y suis allé plusieurs fois. Impressionnant!).

(3) Le nuage est destiné à briser la monotonie de la rectitude de l'Arche (Je connais quelqu'un qui en a calculé les composantes).

(4) Le parvis donnant sur de nombreuses tours d'affaires fut un lieu de passage fréquent pour moi.

Voir Constructions

 

 

 

HYPERSPHÈRE

 

*    Pour la sphère, il y a plus d'interpénétrations.

Le globe (3D) projeté sur un plan donne un cercle, l'hémisphère proche de la source lumineuse et l'autre se confondent dans leur projection sur le plan.

 

*    Une hypersphère (4D) se projette dans notre monde à trois dimensions

sous la forme de deux sphères intimement mêlées.

Ce serait comme deux pommes l'une dans l'autre, telles que leurs peaux se rejoignent.

 

*    Il existe d'autres manières de toucher du doigt la quatrième dimension.

*    Par exemple, votre image dans un miroir.

 

Elle ne peut être obtenue qu'en exerçant une rotation dans la quatrième dimension à partir de vous même.

 

Comme dans le cas de vos mains dans un pays plat à deux dimensions.

La main droite pour devenir votre main gauche doit subir une rotation dans la troisième dimension.

Une simple rotation dans le plat pays n'y suffit pas.

 

On peut comparer l'opération miroir sur votre corps à celle d'un gant que l'on retourne. Brrr.

 

Volume de l'hypersphère de dimension n

Voir Fonction GAMMA  ()

 

 

Valeurs pour les dimensions 1 à 10  et un rayon unité

Volume maximum pour n = 5. Pour tendant vers l'infini, le volume tend vers 0.

L'hypersphère occupe de moins en moins l'espace de son hypercube circonscrit lorsque n augmente. Notez la valeur proche de 50% pour la sphère ordinaire.

 

Voir Empilement des sphères et hypersphères

 

 

 

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DicoNombre

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Site

*    Les dimensions expliquées en relief animé de Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez – Le téléchargement mérite un peu de patience. Les animations et les explications valent vraiment le détour …

*    Hypercube – Maths Images – Image animée

*    La dimension 4 – Nombreuses explications et  illustrations

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http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Hypercub.htm