NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres – Caractéristiques

 

Débutants

Nombres

Indicatrice d'EULER (Phi)

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Euler

 

Nombre et leurs représentations

Phi – Débutant

Phi – Approche

Phi – Opérations

Phi – Propriétés

Table 1 à 500

 

Sommaire de cette page

>>> Les premiers seuls ou à plusieurs

>>> Un premier face aux autres

>>> Les premières valeurs

 

 

 

 

 

 

Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Spécial débutants

 

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

Voyons cela pas à pas.

 

 

 

 

LES NOMBRES PREMIERS:   seuls ou à plusieurs

*    Nombre premier:

Nombre qui ne peut être divisé par aucun nombre, sauf 1 et lui-même.

 

12 = 2 x 6

n'est pas premier;

c'est un nombre composé.

13 = 1 x 13

est premier: aucun nombre ne le divise, sauf lui-même  et 1.

 

*    Deux nombres premiers entre eux

ne partagent pas un même diviseur.

 

12 = 3 x 4

15 = 3 x 5

Ces deux nombres sont divisibles chacun par 3.

Ils ne sont pas premiers entre eux.

12 = 2 x 2 x 3

35 = 5 x 7

Ces deux nombres n'ont aucun diviseur commun.

Ils sont premiers entre eux.

 

NB:

Deux nombres dont l'un est premier sont toujours premiers entre eux

 

12 = 2 x 2 x 3

13 = 1 x 13

sont premiers entre eux.

 

 

 

 

UN PREMIER FACE AUX AUTRES

 

*    Un nombre premier "trône" au-dessus de tous ses inférieurs.

Car aucun nombre inférieur ne le divise!

Comparé à lui, tous ses inférieurs forment une paire de nombres premiers entre eux
(le 1 est considéré comme banal est n'est pas pris en compte).

 

7 = 1 x 7

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 = 2 x 3

 

*    Que se passe-t-il avec un nombre non premier, un nombre composé ?

Avec le nombre 6, seule la paire (5, 6) forme un couple de nombres premiers entre eux.

On y ajoute la paire triviale (1,1).

 

6 = 2 x 3

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

 

*    Exemple avec 12

Ce nombre 12 possède beaucoup de similitudes avec les nombres qui lui sont inférieurs.

Comptons la quantité de paires de nombres premiers entre eux:

*    Il y en a 4.

*    Cette quantité est baptisée indicateur d'Euler du nombre 12.

*    Il est symbolisé par la lettre grecque Phi (j)

j (12) = 4

 

12 = 2 x 2 x 3

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 = 2 x 3

7 = 1 x 7

8 = 2 x 2 x 2

9 = 3 x 3

10 = 2 x 5

11 = 1 x 11

 

Illustration

 

 

LES PREMIÈRES VALEURS

Nombre n et son indicatrice d'Euler (n)

Factorisation de n

Cas où les nombres inférieurs sont premiers avec n

*    Nombre 1

 (1) = 1

1 = 1 x 1

On pose  (1) = 1

*    Nombre 2 (premier)

 (2) = 1

2 = 1 x 2

1 = 1 x 1

*    Nombre 3 (premier)

 (3) = 2

3 = 1 x 3

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

*    Nombre 4

 (4) = 2

4 = 2 x 2

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

*    Nombre 5 (premier)

 (5) = 4

5 = 1 x 5

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

*    Nombre 6

 (6) = 2

6 = 2 x 3

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

*    Nombre 7 (premier)

 (7) = 6

7 = 1 x 7

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 x 2 x 3

*    Nombre 8

 (8) = 4

8 = 2 x 2 x 2

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 = 2 x 3

7 = 1 x 7

*    Nombre 9

 (9) = 6

9 = 3 x 3

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 = 2 x 3

7 = 1 x 7

8 = 2 x 2 x 2

*    Nombre 10

 (10) = 4

NB

Toutes les valeurs de l'indicateur d'Euler sont paires (sauf au démarrage). C'est toujours vrai!

10 = 2 x 5

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 = 2 x 3

7 = 1 x 7

8 = 2 x 2 x 2

9 = 3 x 3

*    Nombre 11 (premier)

 (11) = 10

 

NB

Un nombre premier étant premier avec tous ses inférieurs;

l'indicateur d'Euler d'un nombre premier est égal à lui-même moins un. Et c'est le seul cas où  (n) = n – 1.

 

11 = 1 x 11

1 = 1 x 1

2 = 1 x 2

3 = 1 x 3

4 = 2 x 2

5 = 1 x 5

6 = 2 x 3

7 = 1 x 7

8 = 2 x 2 x 2

9 = 3 x 3

10 = 2 x 5

 

 

 

Voir Valeurs suivantes

 

 

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