NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres – Caractéristiques

 

Débutants

Nombres

Indicatrice d'EULER (Phi)

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Euler

 

Nombre et leurs représentations

Phi – Débutant

Phi – Approche

Phi – Opérations

Phi – Propriétés

Table 1 à 500

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres ayant même totient et quantité de diviseurs

>>> Indicatrice d'Euler

>>> Définition avancée

>>> Série de Farey

 

 

 

 

 

Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Propriétés

 

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

Quelles sont les principales propriétés?

 

 

Nombres ayant même totient et quantité de diviseurs

 

Nombres tels que:

 

                                       On lit tau de n égal phi de n.

 

Exemple: Le totient de 8 est 4 et la quantité de diviseurs est également 4.

 

Liste: 1, 3, 8, 10, 18, 24, 30.  C'est tout.

 

 

 

 

INDICATRICE D'EULER – Propriétés

 

Premier

 

Pour un nombre premier   (p) = p – 1 et la réciproque et vraie.

Un nombre est premier si et seulement si j (n) = n – 1

Premier entre eux

 

Si a et b sont premiers entre eux:

 (a.b) =  (a) .  (b)

Diviseurs

 

Pour tout n

n = Σd|n   (d) = somme pour tous les diviseurs de n des totients des diviseurs.

Valeur minimale du totient

 

 

Théorie des nombres

Le totient est important, car il est égal à de nombreuses autres formes utilisées en théorie des nombres:

*    degré du polynôme cyclotomique

*    nombre de générateurs du groupe additif Z/nZ

*    etc. (notions qui dépassent le cadre de ce site).

 

 

Définition avancée**

 

*    Soit n un entier naturel non nul, soit Gn le groupe des inversibles de , on appelle indicatrice d'Euler de n l'entier (n) = card(Gn)

 

*    Les seuls éléments inversibles de   sont  1 et -1, chacun étant son propre inverse.

*    Un élément x est inversible, s'il existe une élément y tel que xy = multiple de n plus 1.
Soit:

 

*    Dans   et d'après la nouvelle définition (et cela se démontre), les inversibles sont les nombres premiers avec n.

 

Rappel

 

  est l'ensemble des classes d'équivalence des entiers relatifs modulo la relation d'équivalence R définie par: a R b  (a – b) est un multiple de n ou, ce qui revient au même : a R b  (a – b)  n  .

En bref: ce sont les ensembles des nombres qui ont le même reste dans la division par n.
L'ensemble des classes d'équivalence peut être défini par les représentants de la classe, les restes de la division par n.

 

Exemples
 

Ensemble   = restes de la division par 10

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

  Inversibles = premiers avec 10

I10 = {1, 3, 7, 9}

  Indicatrice d'Euler: quantité (cardinal) d'éléments

(10) = Card(I10) = 4

Ensemble   

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

  Inversibles

I9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

  Puissances de 2 mod 9

2, 4, 8, 16, 32, 64

2, 4, 8,   7,   5,   1  c'est I9

Le groupe I9 est cyclique.

  Indicatrice d'Euler

(9) = 6

Ensemble   

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

  Inversibles

I9 = {1, 3, 5, 7}

  Indicatrice d'Euler

(4) = 4

 

 

 

SÉRIE DE FAREY

 

1 +  (1) +  (2) +  (3) + ... +  (n-1) +  (n)

= 3 ( n / p )²

= 0,3039 n²

pour n très grand

 

n

Somme

Formule

10

33

30,4

100

3 045

3039

 

  

 

 

Retour

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Suite

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*    Table des totients jusqu'à 500

*    Nombres d'Euler

*   Constante d'Euler

*    Euler – Biographie + Index

Voir

*    Bi, tripartitions

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*    Fonctions arithmétiques

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*    Nombres anticoïndicateurs

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*    Nombres utiles à connaître

*    Suite de Farey

*    Théorèmes

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