NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres – Caractéristiques

 

Débutants

Nombres

Indicatrice d'EULER (Phi)

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Euler

 

Nombre et leurs représentations

Phi – Débutant

Phi – Approche

Phi – Opérations

Phi – Propriétés

Table 1 à 500

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres totients jusqu'à 100

>>> Doublets

>>> Lecture de la table

>>> Table jusqu'à 100

>>> Table de 100 à 500

>>> Nombre et totient: mêmes chiffres

>>> Nombres hautement indicateur ou fortement totient

 

 

 

 

 

Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Table jusqu'à Phi = 500

 

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

 

 

 

Nombres totients jusqu'à 100

 

Nombres en tant que totient des nombres indiqués

1, [1, 2], 2

2, [3, 4, 6], 3

4, [5, 8, 10, 12], 4

6, [7, 9, 14, 18], 4  Exemple: il ya quatre nombres dont le totient est 6

8, [15, 16, 20, 24, 30], 5

10, [11, 22], 2

12, [13, 21, 26, 28, 36, 42], 6

16, [17, 32, 34, 40, 48, 60], 6

18, [19, 27, 38, 54], 4

20, [25, 33, 44, 50, 66], 5

22, [23, 46], 2

24, [35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90], 10

28, [29, 58], 2

30, [31, 62], 2

32, [51, 64, 68, 80, 96, 102, 120], 7

36, [37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126], 8

40, [41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150], 9

42, [43, 49, 86, 98], 4

44, [69, 92, 138], 3

46, [47, 94], 2

48, [65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210], 11

52, [53, 106], 2

54, [81, 162], 2

56, [87, 116, 174], 3

58, [59, 118], 2

60, [61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198], 9

64, [85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240], 8

66, [67, 134], 2

70, [71, 142], 2

72, [73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270], 17

78, [79, 158], 2

80, [123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330], 10

82, [83, 166], 2

84, [129, 147, 172, 196, 258, 294], 6

88, [89, 115, 178, 184, 230, 276], 6

92, [141, 188, 282], 3

96, [97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420], 17

100, [101, 125, 202, 250], 4

 

Nombres hautement totient (reprend les totients des lignes en jaune)

[[1, 2], [2, 3], [4, 4], [8, 5], [12, 6], [24, 10], [48, 11], [72, 17], [144, 21], [240, 31], [432, 34], [480, 37], [576, 38], [720, 49], [1152, 54], [1440, 72]]   >>>
 

 

Doublets

 

Nombres n et n + 1 ayant tel que phi(n) = phi(n + 1). 

 

Liste jusqu'à un million

1, 3, 15, 104, 164, 194, 255, 495, 584, 975, 2204, 2625, 2834, 3255, 3705, 5186, 5187, 10604, 11715, 13365, 18315, 22935, 25545, 32864, 38804, 39524, 46215, 48704, 49215, 49335, 56864, 57584, 57645, 64004, 65535, 73124, 105524, 107864, 123824, 131144, 164175, 184635, 198315, 214334, 215775, 256274, 286995, 307395, 319275, 347324, 388245, 397485, 407924, 415275, 454124, 491535, 524432, 525986, 546272, 568815, 589407, 679496, 686985, 840255, 914175, 936494, 952575, 983775

 

 

Table des NOMBRES TOTIENTS jusqu'à 500

 

Lecture de la table

*         En troisième ligne de la table:
Les nombres 7, 9, 14 et 18 ont exactement 6 nombres premiers avec eux et inférieurs à eux

 (7) = 6,     (9) = 6,    (14) = 6,    (18) = 6

 

*         Le nombre 14 n'est jamais quantité de nombres premiers avec un nombre et inférieur à ce nombre. Aucun n ne donne  (n) = 14. Le nombre 14 est le premier pair non-totient. 

Rappel : tous les nombres impairs sont non-totient.

 

 

Programmation

Voici, les instructions Maple à utiliser.

D'abord, faire appel au package de la théorie des nombres.

phi(n) délivre directement le totient de t.

invphi(t) donne tous les nombres n ayant pour totient t.

Voir ProgrammationIndex

 

 Totient et sigma et tau

Cas où le produit du totient par sigma est un carré, jusqu'à 1000:

[n, sigma.phi, sa racine carrée]

[1, 1, 1], [14, 144, 12], [30, 576, 24], [51, 2304, 48], [105, 9216, 96], [170, 20736, 144], [194, 28224, 168], [248, 57600, 240], [264, 57600, 240], [364, 112896, 336], [405, 156816, 396], [418, 129600, 360], [477, 219024, 468], [595, 331776, 576], [679, 451584, 672], [714, 331776, 576], [760, 518400, 720], [780, 451584, 672]

 

Cas où le produit du totient par tau est un carré, jusqu'à 1000:

[n, tau.phi, sa racine carrée]

[1, 1, 1], [7, 16, 4], [17, 36, 6], [22, 144, 12], [30, 576, 24], [31, 64, 8], [71, 144, 12], [94, 576, 24], [97, 196, 14], [115, 576, 24], [119, 576, 24], [127, 256, 16], [138, 2304, 48], [154, 2304, 48], [164, 1764, 42], [165, 2304, 48], [199, 400, 20], [210, 9216, 96], [214, 1296, 36], [217, 1024, 32], [232, 3600, 60], [241, 484, 22], [260, 7056, 84], [265, 1296, 36], [318, 5184, 72], [337, 676, 26], [343, 1600, 40], [374, 5184, 72], [382, 2304, 48], [449, 900, 30], [497, 2304, 48], [510, 20736, 144]

 

Cas où le totient est égal au carré du produit des facteurs

1, 8, 108, 250, 6 174, 51 154.  FIN

 

Totients croissants

Nombres tels que leur totient est inférieur au totient du nombre suivant, lequel est inférieur au nombre qui suit …

 

 

Trois totients croissants

105, 165, 315, 525, 585, 735, 1155, 1365, 1484, 1485, 1575, 1755, 1785, 1815, 1995, 

Exemple:  

 

Quatre totients croissants

1484, 2534, 3002, 3674, 3926, 4454, 4484, 4784, 4844, 5264, 5312, …

 

Cinq totients croissants

Aucun jusqu'à un million. Pourtant, on pense qu'ils sont en quantité infinie quelle que soit k, la quantité d'inégalités.

 

 

 TABLE pour Phi jusqu'à 100

 

 0,   =>  1, par convention

 2,   =>  3, 4, 6

 4,   =>  5, 8, 10, 12

 6,   =>  7, 9, 14, 18

 8,   =>  15, 16, 20, 24, 30

10,   =>  11, 22

12,   =>  13, 21, 26, 28, 36, 42

14, NON-TOTIENT

16,   =>  17, 32, 34, 40, 48, 60

18,   =>  19, 27, 38, 54

20,   =>  25, 33, 44, 50, 66

22,   =>  23, 46

24,   =>  35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90

26, NON-TOTIENT

28,   =>  29, 58

30,   =>  31, 62

32,   =>  51, 64, 68, 80, 96, 102, 120

34, NON-TOTIENT

36,   =>  37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126

38, NON-TOTIENT

40,   =>  41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150

42,   =>  43, 49, 86, 98

44,   =>  69, 92, 138

46,   =>  47, 94

48,   =>  65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210

50, NON-TOTIENT

52,   =>  53, 106

54,   =>  81, 162

56,   =>  87, 116, 174

58,   =>  59, 118

60,   =>  61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198

62, NON-TOTIENT

64,   =>  85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240

66,   =>  67, 134

68, NON-TOTIENT

70,   =>  71, 142

72,   =>  73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270

74, NON-TOTIENT

76, NON-TOTIENT

78,   =>  79, 158

80,   =>  123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330

82,   =>  83, 166

84,   =>  129, 147, 172, 196, 258, 294

86, NON-TOTIENT

88,   =>  89, 115, 178, 184, 230, 276

90, NON-TOTIENT

92,   =>  141, 188, 282

94, NON-TOTIENT

96,   =>  97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420

98, NON-TOTIENT

100,   =>  101, 125, 202, 250

 

 

TABLE pour Phi de 100 à 500

 

100,   =>  101, 125, 202, 250

102,   =>  103, 206

104,   =>  159, 212, 318

106,   =>  107, 214

108,   =>  109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378

110,   =>  121, 242

112,   =>  113, 145, 226, 232, 290, 348

114, NON-TOTIENT

116,   =>  177, 236, 354

118, NON-TOTIENT

120,   =>  143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450, 462

122, NON-TOTIENT

124, NON-TOTIENT

126,   =>  127, 254

128,   =>  255, 256, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510

130,   =>  131, 262

132,   =>  161, 201, 207, 268, 322, 402, 414

134, NON-TOTIENT

136,   =>  137, 274

138,   =>  139, 278

140,   =>  213, 284, 426

142, NON-TOTIENT

144,   =>  185, 219, 273, 285, 292, 296, 304, 315, 364, 370, 380, 432, 438, 444, 456, 468, 504, 540, 546, 570, 630

146, NON-TOTIENT

148,   =>  149, 298

150,   =>  151, 302

152, NON-TOTIENT

154, NON-TOTIENT

156,   =>  157, 169, 237, 314, 316, 338, 474

158, NON-TOTIENT

160,   =>  187, 205, 328, 352, 374, 400, 410, 440, 492, 528, 600, 660

162,   =>  163, 243, 326, 486

164,   =>  249, 332, 498

166,   =>  167, 334

168,   =>  203, 215, 245, 261, 344, 392, 406, 430, 490, 516, 522, 588

170, NON-TOTIENT

172,   =>  173, 346

174, NON-TOTIENT

176,   =>  267, 345, 356, 368, 460, 534, 552, 690

178,   =>  179, 358

180,   =>  181, 209, 217, 279, 297, 362, 418, 434, 558, 594

182, NON-TOTIENT

184,   =>  235, 376, 470, 564

186, NON-TOTIENT

188, NON-TOTIENT

190,   =>  191, 382

192,   =>  193, 221, 291, 357, 386, 388, 416, 442, 448, 476, 520, 560, 576, 582, 612, 624, 672, 714, 720, 780, 840

194, NON-TOTIENT

196,   =>  197, 394

198,   =>  199, 398

200,   =>  275, 303, 375, 404, 500, 550, 606, 750

202, NON-TOTIENT

204,   =>  309, 412, 618

206, NON-TOTIENT

208,   =>  265, 424, 530, 636

210,   =>  211, 422

212,   =>  321, 428, 642

214, NON-TOTIENT

216,   =>  247, 259, 327, 333, 351, 399, 405, 436, 494, 518, 532, 648, 654, 666, 684, 702, 756, 798, 810

218, NON-TOTIENT

220,   =>  253, 363, 484, 506, 726

222,   =>  223, 446

224,   =>  339, 435, 452, 464, 580, 678, 696, 870

226,   =>  227, 454

228,   =>  229, 458

230, NON-TOTIENT

232,   =>  233, 295, 466, 472, 590, 708

234, NON-TOTIENT

236, NON-TOTIENT

238,   =>  239, 478

240,   =>  241, 287, 305, 325, 369, 385, 429, 465, 482, 488, 495, 496, 525, 572, 574, 610, 616, 620, 650, 700, 732, 738, 744, 770, 792, 858, 900, 924, 930, 990, 1050

242, NON-TOTIENT

244, NON-TOTIENT

246, NON-TOTIENT

248, NON-TOTIENT

250,   =>  251, 502

252,   =>  301, 381, 387, 441, 508, 602, 762, 774, 882

254, NON-TOTIENT

256,   =>  257, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 816, 960, 1020

258, NON-TOTIENT

260,   =>  393, 524, 786

262,   =>  263, 526

264,   =>  299, 335, 483, 536, 598, 644, 670, 804, 828, 966

266, NON-TOTIENT

268,   =>  269, 538

270,   =>  271, 542

272,   =>  289, 411, 548, 578, 822

274, NON-TOTIENT

276,   =>  277, 329, 417, 423, 554, 556, 658, 834, 846

278, NON-TOTIENT

280,   =>  281, 319, 355, 562, 568, 638, 710, 852

282,   =>  283, 566

284, NON-TOTIENT

286, NON-TOTIENT

288,   =>  323, 365, 455, 459, 555, 584, 585, 592, 608, 646, 728, 730, 740, 760, 864, 876, 888, 910, 912, 918, 936, 1008, 1080, 1092, 1110, 1140, 1170, 1260

290, NON-TOTIENT

292,   =>  293, 586

294,   =>  343, 686

296,   =>  447, 596, 894

298, NON-TOTIENT

300,   =>  341, 453, 604, 682, 906

302, NON-TOTIENT

304, NON-TOTIENT

306,   =>  307, 614

308, NON-TOTIENT

310,   =>  311, 622

312,   =>  313, 371, 395, 471, 477, 507, 626, 628, 632, 676, 742, 790, 942, 948, 954, 1014

314, NON-TOTIENT

316,   =>  317, 634

318, NON-TOTIENT

320,   =>  425, 561, 615, 656, 704, 748, 800, 820, 850, 880, 984, 1056, 1122, 1200, 1230, 1320

322, NON-TOTIENT

324,   =>  489, 513, 567, 652, 972, 978, 1026, 1134

326, NON-TOTIENT

328,   =>  415, 664, 830, 996

330,   =>  331, 662

332,   =>  501, 668, 1002

334, NON-TOTIENT

336,   =>  337, 377, 609, 645, 674, 688, 735, 754, 784, 812, 860, 980, 1032, 1044, 1176, 1218, 1290, 1470

338, NON-TOTIENT

340, NON-TOTIENT

342,   =>  361, 722

344,   =>  519, 692, 1038

346,   =>  347, 694

348,   =>  349, 413, 531, 698, 826, 1062

350, NON-TOTIENT

352,   =>  353, 391, 445, 706, 712, 736, 782, 890, 920, 1068, 1104, 1380

354, NON-TOTIENT

356,   =>  537, 716, 1074

358,   =>  359, 718

360,   =>  403, 407, 427, 475, 543, 549, 627, 651, 675, 693, 724, 806, 814, 836, 854, 868, 950, 1086, 1098, 1116, 1188, 1254, 1302, 1350, 1386

362, NON-TOTIENT

364, NON-TOTIENT

366,   =>  367, 734

368,   =>  705, 752, 940, 1128, 1410

370, NON-TOTIENT

372,   =>  373, 746

374, NON-TOTIENT

376, NON-TOTIENT

378,   =>  379, 758

380,   =>  573, 764, 1146

382,   =>  383, 766

384,   =>  485, 579, 595, 663, 765, 772, 776, 832, 884, 896, 952, 970, 1040, 1120, 1152, 1158, 1164, 1190, 1224, 1248, 1326, 1344, 1428, 1440, 1530, 1560, 1680

386, NON-TOTIENT

388,   =>  389, 778

390, NON-TOTIENT

392,   =>  591, 788, 1182

394, NON-TOTIENT

396,   =>  397, 437, 469, 597, 603, 621, 794, 796, 874, 938, 1194, 1206, 1242

398, NON-TOTIENT

400,   =>  401, 451, 505, 802, 808, 825, 902, 1000, 1010, 1100, 1212, 1500, 1650

402, NON-TOTIENT

404, NON-TOTIENT

406, NON-TOTIENT

408,   =>  409, 515, 818, 824, 1030, 1236

410, NON-TOTIENT

412, NON-TOTIENT

414, NON-TOTIENT

416,   =>  795, 848, 1060, 1272, 1590

418,   =>  419, 838

420,   =>  421, 473, 497, 539, 633, 639, 842, 844, 946, 994, 1078, 1266, 1278

422, NON-TOTIENT

424,   =>  535, 856, 1070, 1284

426, NON-TOTIENT

428, NON-TOTIENT

430,   =>  431, 862

432,   =>  433, 481, 511, 545, 657, 665, 741, 777, 819, 855, 866, 872, 945, 962, 988, 1022, 1036, 1064, 1090, 1296, 1308, 1314, 1330, 1332, 1368, 1404, 1482, 1512, 1554, 1596, 1620, 1638, 1710, 1890

434, NON-TOTIENT

436, NON-TOTIENT

438,   =>  439, 878

440,   =>  575, 605, 759, 968, 1012, 1150, 1210, 1452, 1518

442,   =>  443, 886

444,   =>  669, 892, 1338

446, NON-TOTIENT

448,   =>  449, 493, 565, 898, 904, 928, 986, 1130, 1160, 1356, 1392, 1740

450, NON-TOTIENT

452,   =>  681, 908, 1362

454, NON-TOTIENT

456,   =>  457, 687, 914, 916, 1374

458, NON-TOTIENT

460,   =>  461, 517, 922, 1034

462,   =>  463, 926

464,   =>  699, 885, 932, 944, 1180, 1398, 1416, 1770

466,   =>  467, 934

468,   =>  553, 711, 1106, 1422

470, NON-TOTIENT

472, NON-TOTIENT

474, NON-TOTIENT

476,   =>  717, 956, 1434

478,   =>  479, 958

480,   =>  527, 533, 715, 723, 861, 915, 964, 975, 976, 992, 1054, 1066, 1144, 1148, 1155, 1220, 1232, 1240, 1300, 1400, 1430, 1446, 1464, 1476, 1488, 1540, 1584, 1716, 1722, 1800, 1830, 1848, 1860, 1950, 1980, 2100, 2310

482, NON-TOTIENT

484, NON-TOTIENT

486,   =>  487, 729, 974, 1458

488, NON-TOTIENT

490,   =>  491, 982

492,   =>  581, 747, 1162, 1494

494, NON-TOTIENT

496, NON-TOTIENT

498,   =>  499, 998

500,   =>  625, 753, 1004, 1250, 1506

 

 

 

Mêmes chiffres pour le nombre et son totient

 

Nombres dont le totient a les mêmes chiffres que lui.

 

Liste avec nombre suivi de son totient

[1, 1], [21, 12], [63, 36], [291, 192], [502, 250], [2518, 1258], [2817, 1872],

[2991, 1992], [4435, 3544], [5229, 2952], [5367, 3576], [5637, 3756], [6102, 2016], [6174, 1764], [6543, 4356], [6822, 2268], [7236, 2376], [7422, 2472], [8022, 2280], [8541, 5184], [8982, 2988], …

 

 

 

 Nombres hautement indicateur

ou fortement totient (highly totient number)

Définition

Nombre k qui est le totient de plus en plus de nombres, un record.

La suite de ces nombres commencent par 1, 2, 4, 8 … (Tableau) pour des records de quantité de 2, 3, 4, 5

 

Propriétés

Comme pour les nombres hautement composés, hormis le premier, tous les autres sont pairs.

Ils sont en quantité infinie.

 

 

Exemples

 

k

n

Qté

1

1, 2

2

2

3, 4, 6

3

3

 

0

4

5, 8, 10, 12

4

5

 

0

6

7, 9, 14, 18

4

7

 

0

8

15, 16, 20, 14, 30

5

9

 

0

10

11, 22

2

 

 

 

Programme Maple

 

 

Commentaires

Utilisation des logiciels de théorie des nombres.

Compteur de records en ktm et préparation de la liste L des nombres hautement indicateurs.

Boucle d'exploration en n.

Pour chaque n, liste des nombres ayant ce totient en A. O s'intéresse à la quantité d'éléments dans la liste q.

Chaque que q dépasse le record en cours (ktm), mise en liste de ce totient k et du nombre n associé.

Résultat de l'exécution en bleu.

 

Liste [Qté, k hautement indicateur]

 

[2, 1], [3, 2], [4, 4], [5, 8], [6, 12], [10, 24], [11, 48], [17, 72], [21, 144], [31, 240], [34, 432], [37, 480], [38, 576], [49, 720], [54, 1152], [72, 1440], [98, 2880], [126, 4320], [129, 5760], [176, 8640], [178, 11520], [247, 17280], [276, 25920], [281, 30240], [331, 34560], [359, 40320], [399, 51840], [441, 60480], [454, 69120], [525, 80640] …

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Phi – Approche

Voir

*         TableIndex

DicoNombre

*         Nombre 720

*         Nombre 1152

Sites

*         Nombre hautement indicateur – Wikipédia

*         OEIS A097942 – Highly totient numbers: each number k on this list has more solutions to the equation phi(x) = k than any preceding k (where phi is Euler's totient function

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