NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres – Caractéristiques

 

Débutants

Nombres

Indicatrice d'EULER (Phi)

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Euler

 

Nombre et leurs représentations

Phi – Débutant

Phi – Approche

Phi – Opérations

Phi – Propriétés

Table 1 à 500

Anticoindicateur

 

Sommaire de cette page

>>> Totient d'Euler

>>> Diviseurs & totient

>>> Valeurs

>>> Enchainements

>>> Records d'itération

>>> Phi et sigma

>>> Nombres non-totients

>>> Nombres faiblement totient

 

 

 

 

 

Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Approche et Valeurs

 

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

C'est aussi la manière de compter une quantité de fractions.

Une manière de partager les nombres en deux catégories: totients et non-totients.

Voir approche simple en Débutants

 

Indicatrice ou totient

L'un est plus en usage en français (indicatrice); l'autre est le nom que lui donne les anglo-saxons: totient.

Totient vient du latin: totiens qui signifie autant de fois,  tant de fois; totiens … quotiens: autant de fois … que.

 

Ne pas confondre

Phi(n) = Quantité de nombres premiers avec n et inférieurs à n.

Pi(n)    = Quantité de nombre premiers inférieurs à n.

 

 

TOTIENT D'EULER

Soit n et toutes les fractions en

avec k = 1 à n

Le nombre donnant la quantité de fractions qui ne se simplifient pas - qui nécessitent le dénominateur n - est appelé totient ou indicatrice d'Euler (Phi de n).

(n)

Exemple

pour n de 1 à 10

 

Propriété

 

Tout totient se retrouve au moins deux fois. Non démontré, mais valable au moins pour n < 1010 000

Suite >>>

 

Pour 100

Il faut que le numérateur soit impair et parmi ceux qui restent (1, 3, 5, 7, 9), en fait, 4 sur 5 ne permettrons pas la simplification

(100) = 100 x 1/2 x 4/5 = 40

Suite (Calcul)  >>>

 

 

Cototient: un facteur en commun

Cototient: quantité d'entiers positifs inférieurs à n qui ont au moins un facteur premier en commun avec n. Il est égal à n-(n).

 

 

DIVISEURS et TOTIENT

Avec l'approche par les fractions, nous pouvons illustrer ce théorème:

 

Tout nombre est égal à la somme des totients de ses diviseurs

 

 

 

  

Valeurs de Phi (n) de 0 à 100

 

(100) = 40

 

 

Totient inverse

Voir Table des totients jusqu'à 500

 

Aucun nombre n'a pour totient 3, 5, 9 … 2k + 1 …  Ce sont des Non-totients

24 est le totient de 10 nombres

72 est le totient de 17 nombres {73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270}

Le totient d'un semi premier pq est simplement calculé par φ(n) = n + 1 − (p + q)

 

Sommes des totients en 10

 

 

 

Enchainement des totients de 2 à 100

Exemple de lecture: 85 a pour totient 64, lequel a 32, lequel a 16, puis 8, 4, 2 (soit un cycle de longueur 7)

 

Phi itératif

 

On considère un nombre, son totient; le totient de ce nombre; etc.

La liste ci-dessous montre les records de longueurs de la suite.

Exemple: pour 257, il faut 10 chiffres ou 8 étapes pour atteindre le 2

 

  2, [2, 1]

  3, [3, 2, 1]

  4, [5, 4, 2, 1]

  5, [11, 10, 4, 2, 1]

  6, [17, 16, 8, 4, 2, 1]

  7, [41, 40, 16, 8, 4, 2, 1]

  8, [83, 82, 40, 16, 8, 4, 2, 1]

  9, [137, 136, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

10, [257, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

11, [641, 640, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

12, [1097, 1096, 544, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

13, [2329, 2176, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

14, [4369, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

15, [10537, 10240, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

16, [17477, 17476, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

17, [35209, 34816, 16384, 8192, …]

18, [65537, 65536, 32768, 16384,  …]

19, [140417, 140416, 70144, 34816, 16384,  …]

20, [281929, 280576, 139264, 65536, 32768, 16384, …]

21, [557057, 557056, 262144, 131072, 65536, …]

22, [1114129, 1048576, 524288, 262144, 131072, 65536, …]

23, [2384897, 2384896, 1114112, 524288, 262144, 131072, 65536, …]

24, [4227137, 4227136, 2105344, 1048576, 524288, 262144, 131072, 65536, …]

25, [8978569, 8912896, 4194304, 2097152, 1048576, 524288, 262144, 131072, 65536, …]

 

Programme

 

Commentaires

Appel aux logiciels de théorie des nombres.

Initialisation du compteur (kt) de record.

Boucle d'analyse des nombres  de 2 à 100.

Prise initiale de valeur de n = nn et initialisation de la liste des totient en commençant par n lui-même.

Boucle d'itération sur les totients en chaine.

Calcul du totient (phi) et mise dans la liste L.

En fin d'itération (n = 1), arrêt de la recherche (break)

Fin de condition (fi) et fin de boucle (od).

La quantité d'itérations trouvée pour le nombre n est placéé en q.
Si ce nombre dépasse kt, alors un nouveau record de longueur est trouvé. On imprime la liste et on met à jour le compteur de records.

Fin de programme.

 

En bleu, le résulta de traitement pour n jusqu'à 100.

 

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

Phi et sigma

 

Phi de sigma

Nombres pour lesquels le totient de la somme des diviseurs est égal au nombre.

 

1, 2, 8, 12, 128, 240, 720, 6 912, 32 768, 142 560, 712 800, …

Somme des diviseurs

Nombres pour lesquels la somme des diviseurs est égale à la somme des diviseurs de son totient.

 

n, Sigma(n), Phi(n) et Sigma(phi(n))

      1 ,         1 ,        1,           1

    87 ,     120 ,      56,        120

  362 ,     546 ,     180,       546

1257 ,    1680 ,     836,     1680

1798 ,    2880 ,     840,     2880

5002 ,    7812 ,    2400,    7812

9374 ,  14520 ,    4536,  14520

 

 

Liste des nombres "phi-sigma"  jusqu'à 1 million

[1, 87, 362, 1257, 1798, 5002, 9374, 21982, 22436, 25978, 35306, 38372, 41559, 50398, 51706, 53098, 53314, 56679, 65307, 68037, 89067, 108946, 116619, 124677, 131882, 136551, 136762, 138975, 144014, 160629, 165554, 170037, 186231, 192394, 197806, 205438, 214605, 232898, 248026, 252417, 258975, 259785, 271814, 300242, 320595, 329156, 338306, 350283, 356259, 374031, 377834, 380559, 387106, 398452, 402346, 414922, 428967, 439118, 446235, 468602, 475922, 477723, 478558, 481887, 492771, 493246, 502274, 510111, 522982, 526186, 527781, 530865, 544665, 553755, 555446, 597434, 599205, 609634, 609855, 613538, 621878, 635259, 636962, 642694, 666405, 672051, 697262, 728222, 737978, 770186, 777998, 790562, 804346, 806702, 814228, 832162, 866379, 876956, 887794, 896931, 936856, 937485, 957578, 961785, 973682, 980894, 991479, 997106, …]

 

 

 NOMBRES NON-TOTIENTS

 

Nombre non-totient

 

Nombre qui n'est jamais totient d'un nombre.

Nombre pour lequel j (x) = n  n'a pas de solution.

Nombre n pour lequel, il n'existe aucun nombre x ayant une quantité n de  nombres premiers entre eux inférieurs à lui.

 

Propriétés

Tous les nombres impairs sont non-totients (sauf 1).

Tous les nombres premiers moins un sont non-totients.

 

Valeurs des premiers non-totients pairs

 

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98,

114, 118, 122, 124, 134, 142, 146,

152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194,

202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248,

254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298,

302, 304, 308, 314, 318 … >>>

 

 

Programme listant tous les nombres non-totients

Programme pour copie dans Maple

restart; with(NumberTheory): A := proc (n) options operator, arrow; if InverseTotient(n) = {} then n end if end proc; seq(A(i), i = 1 .. 20); nops([%]);

 

Programme Maple

Pour exécuter le programme, vérifier que le logiciel est en mode maths et non texte.

Sinon, clic droit et convertir en maths 2D.

Si vous avez une ancienne version de Maple, utilisez with(numtheory) et l'instruction invphi.

Voir Trucs Maple

 

 

 

Nombres faiblement totient (Sparsely totient numbers)

 

Un nombre n est faiblement totient si pour tout nombre m > n on a:

 

Le nombre 60 est faiblement totient car son totient est 16, et c'est le plus grand nombre avec ce totient.

Les primorielles et leur produit par un nombre premier impair font partie de cette liste.

  

Liste

2, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 66, 90, 120, 126, 150, 210, 240, 270, 330, 420, 462, 510, 630, 660, 690, 840, 870, 1050, 1260, 1320, 1470, 1680, 1890, 2310, 2730, 2940, 3150, 3570, 3990, 4620, 4830, 5460, 5610, 5670, 6090, 6930, 7140, 7350, 8190, 9240, 9660, 9870, …

  

 

 

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Site

*      OEIS A000010 – Euler totient function phi(n)

*      OEIS A007755 – Smallest number m such that the trajectory of m under iteration of Euler's totient function phi(n) contains exactly n distinct numbers, including m and the fixed point

*    OEIS A036913 – Sparsely totient numbers; numbers n such that m > n implies phi(m) > phi(n)

*    Sparcely totient numbers – Roger Baker et Glyn Harman

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