NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 15/11/2011

 

Débutants

Totient

-Ý- RUBRIQUE: EULER

Glossaire

§  Constante

§  Totient

§  Fonction j d'Euler

 

Sommaire de cette page

>>> TOTIENT D'EULER

>>> NOMBRE & TOTIENT

>>> VALEURS

>>> INDICATRICE d'EULER

>>> NOMBRES NON-TOTIENTS

>>> SÉRIE DE FAREY

 

 

Pages voisines

§  Bi, tripartitions

§  Théorèmes

§  Identités

§  Constantes de l'univers

§  Nombres utiles à connaître

§  Index Euler

§  Nombres cycliques

§  Table des totients jusqu'à 500

 

 

TOTIENT D'EULER

 

 Il s'agit de compter une quantité de fractions

C'est aussi la quantité de nombres premiers avec un nombre donné

 

ou FONCTION j D'EULER

ou INDICATEUR D'EULER

 

C'est aussi la quantité

de nombres premiers avec n

Nombres TOTIENT

et NON-TOTIENT

 

Une manière de partager les nombres

en deux parties

 

Pour une approche simple: voir Débutants

 

 

-Ý-   TOTIENT D'EULER

 

Soit n et toutes les fractions en

avec p = 1 à n

p / n

 

Le nombre donnant la quantité de fractions qui ne se simplifient pas

- qui nécessitent le dénominateur n -

est appelé totient

j (n)

 

Exemple pour n de 1 à 10

Nombre

Fractions

Totient

1

0/1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

1/3

2/3

 

 

 

 

 

 

 

2

4

1/4

1/2

3/4

 

 

 

 

 

 

2

5

1/5

2/5

3/5

4/5

 

 

 

 

 

4

6

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

 

 

 

 

2

7

1/7

2/7

3/7

4/7

5/7

6/7

 

 

 

6

8

1/8

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

 

 

4

9

1/9

2/9

1/3

4/9

5/9

2/3

7/9

8/9

 

6

10

1/10

1/5

3/10

2/5

1/2

3/5

7/10

4/5

9/10

4

Propriété

§  Tout totient se retrouve au moins deux fois

§  Non démontré, mais valable pour n < 1010 000

 

Pour 100

§  Il faut que le numérateur soit impair et de ceux qui restent (1, 3, 5, 7, 9),

§  en fait, 4 sur 5 ne permettrons pas la simplification

j (100) = 100 x 1/2 x 4/5 = 40

 

 

 

-Ý-   NOMBRE & TOTIENT

Tout nombre est égal

à la somme

des totients de ses diviseurs

Exemple pour 12 => 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

j (n)

 

1/12

 

5/12

 

7/12

 

11/12

4

 

1/6

 

5/6

 

2

 

1/4

 

3/4

 

2

 

1/3

 

2/3

 

2

 

1/2

 

1

0/1

 

1

Total

12

 

  

-Ý-   VALEURS

 

n

Totient (n)

 

n

Totient (n)

1

1

 

31

30

2

1

 

32

16

3

2

 

33

20

4

2

 

34

16

5

4

 

35

24

6

2

 

36

12

7

6

 

37

36

8

4

 

38

18

9

6

 

39

24

10

4

 

40

16

11

10

 

41

40

12

4

 

42

12

13

12

 

43

42

14

6

 

44

20

15

8

 

45

24

16

8

 

46

12

17

16

 

47

42

18

6

 

48

20

19

18

 

49

24

20

8

 

50

22

21

12

 

51

46

22

10

 

52

16

23

22

 

53

42

24

8

 

54

20

25

20

 

55

32

26

12

 

56

24

27

18

 

 

 

28

12

 

 

 

29

28

 

 

 

30

8

 

100

40

 

                                                                                                                 Totient inverse             

Totient

Tous les nombres n ayant ce totient

1

1

2

 

 

 

 

2

3

4

6

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

5

8

10

12

 

 

5

 

 

 

 

 

 

6

7

9

14

18

 

 

7

 

 

 

 

 

 

8

15

16

20

24

30

 

9

 

 

 

 

 

 

10

11

22

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

12

13

21

26

28

36

42

13

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

16

17

32

34

40

48

60

17

 

 

 

 

 

 

18

19

27

38

54

 

 

19

 

 

 

 

 

 

20

25

33

44

50

66

 

21

 

 

 

 

 

 

22

23

46

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

24

35

39

45

52

56

70

 

 

72

78

84

90

 

25

 

 

 

 

 

 

 

§  Aucun nombre n'a pour totient 3, 5, 9 … Ce sont des Non-totients

§  24 est le totient de 10 nombres

§  72 est le totient de 17 nombres {73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270}

§  Le totient d'un semi premier pq est simplement calculé par

φ(n) = n + 1 − (p + q)

 

Voir Table des totients jusqu'à 500

 

 

-Ý-   INDICATRICE D'EULER

 

Après l'approche purement arithmétique, voyons celle de la théorie des nombres

Définition

§  Pour n > 1, le totient ou indicateur d'Euler j (n) est le nombre de nombres premiers avec n, inférieur à n

Par définition j (1) = 1

Calcul

§  Si la décomposition en facteurs premiers de n est

n = p1α1 . p2α2 … prαr

§  Alors

j (n) = n (1 – 1/p1) (1 – 1/p2) … (1 – 1/pr)

 

Exemple

10 = 2 x 5

j (10) = 10 (1 - 1/2) (1 - 1/5) = 4

§  The function phi or totient function of n is the number of positive integers not exceeding n and relatively prime to n.

 

 

Propriétés

§  Pour un nombre premier  j (p) = p – 1 et la réciproque et vraie

Ø Un nombre est premier si et seulement si j (n) = n – 1

§  Si a et b sont premiers entre eux

Ø j (a.b) = j (a) . j (b)

§  Pour tout n

Ø n = Σd|n  j (d) = somme pour tous les diviseurs de n des totients des diviseurs

§  Le totient est important, car il est égal à de nombreuses autres formes utilisées en théorie des nombres

Ø degré du polynôme cyclotomique Fn

Ø nombre de générateurs du groupe additif Z/nZ

Ø etc. (notions qui dépassent le cadre de ce site

 

 

-Ý-   NOMBRES NON-TOTIENTS

 

Nombre non-totient

Ø Qui n'est jamais totient d'un nombre

Ø Pour lequel j (x) = n  n'a pas de solution

Ø Nombre n pour lequel, il n'existe aucun nombre x ayant une quantité n de  nombres premiers entre eux inférieurs à lui

Valeurs des premiers non-totients pairs

 

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98,

114, 118, 122, 124, 134, 142, 146,

152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194,

202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248,

254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298,

302, 304, 308, 314, 318 … >>>

 

Propriétés

Ø Tous les nombres impairs sont non-totients (sauf 1)

Ø Tous les nombres premiers moins un sont non-totients

 

 

  

-Ý-   SÉRIE DE FAREY

Série de Farey

 

1 + j (1) + j (2) + j (3) + ... + j (n-1) + j (n)

= 3 ( n / p )²

= 0,3039 n²

pour n très grand

 

n

Somme

Formule

10

33

30,4

100

3 045

3039

 

Valeur minimale du totient

 

 

 

 

 

Suite

*    Indicateur d'Euler

Voir

*    Diviseurs

*    Suite de Farey

*    Conjecture de Goldbach

*    Fonctions arithmétiques

*    Nombres anticoïndicateurs