NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres – Caractéristiques

 

Débutants

Nombres

Indicatrice d'EULER (Phi)

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Euler

 

Nombre et leurs représentations

Phi – Débutant

Phi – Approche

Phi – Opérations

Phi – Propriétés

Table 1 à 500

Anticoindicateur

 

Sommaire de cette page

>>> Totient d'Euler

>>> Diviseurs & totient

>>> Valeurs

>>> Indicatrice d'Euler

>>> Nombres non-totients

>>> Série de Farey

 

 

 

 

 

Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Approche et Valeurs

 

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

C'est aussi la manière de compter une quantité de fractions.

Une manière de partager les nombres en deux catégories: totients et non-totients.

Voir approche simple en Débutants

 

Indicatrice ou totient

L'un est plus en usage en français (indicatrice); l'autre est le nom que lui donne les anglo-saxons: totient.

Totient vient du latin: totiens qui signifie autant de fois,  tant de fois; totiensquotiens: autant de fois … que.

 

 

 

TOTIENT D'EULER

Soit n et toutes les fractions en

avec k = 1 à n

Le nombre donnant la quantité de fractions qui ne se simplifient pas - qui nécessitent le dénominateur n - est appelé totient ou indicatrice d'Euler (Phi de n).

(n)

Exemple

pour n de 1 à 10

 

Propriété

 

Tout totient se retrouve au moins deux fois. Non démontré, mais valable au moins pour n < 1010 000

Suite >>>

 

Pour 100

Il faut que le numérateur soit impair et parmi ceux qui restent (1, 3, 5, 7, 9), en fait, 4 sur 5 ne permettrons pas la simplification

(100) = 100 x 1/2 x 4/5 = 40

Suite (Calcul)  >>>

 

 

Cototient: un facteur en commun

Cototient: quantité d'entiers positifs inférieurs à n qui ont au moins un facteur premier en commun avec n. Il est égal à n-(n).

 

 

DIVISEURS et TOTIENT

Avec l'approche par les fractions, nous pouvons illustrer ce théorème:

 

Tout nombre est égal à la somme des totients de ses diviseurs

 

 

 

  

Valeurs de Phi (n) de 0 à 100

 

(100) = 40

 

 

Totient inverse

Voir Table des totients jusqu'à 500

 

Aucun nombre n'a pour totient 3, 5, 9 … 2k + 1 …  Ce sont des Non-totients

24 est le totient de 10 nombres

72 est le totient de 17 nombres {73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270}

Le totient d'un semi premier pq est simplement calculé par φ(n) = n + 1 − (p + q)

 

 

 

 

NOMBRES NON-TOTIENTS

 

Nombre non-totient

 

Nombre qui n'est jamais totient d'un nombre.

Nombre pour lequel j (x) = n  n'a pas de solution.

Nombre n pour lequel, il n'existe aucun nombre x ayant une quantité n de  nombres premiers entre eux inférieurs à lui.

Valeurs des premiers non-totients pairs

 

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98,

114, 118, 122, 124, 134, 142, 146,

152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194,

202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248,

254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298,

302, 304, 308, 314, 318 … >>>

 

Propriétés

Tous les nombres impairs sont non-totients (sauf 1).

Tous les nombres premiers moins un sont non-totients.

 

 

  

 

 

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Voir

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*    Diviseurs

*    Fonctions arithmétiques

*    Identités

*    Nombres anticoïndicateurs

*    Nombres cycliques

*    Nombres utiles à connaître

*    Suite de Farey

*    Théorèmes

Site

*    OEIS A000010 – Euler totient function phi(n)

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/TotEuler.htm