NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Généralités

 

Glossaire

Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

 

Débutant

Introduction

Barre magique

Caractérisation

Vision Junior (diaporama)

Un

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Composés et premiers

>>> Chacun dans sa catégorie

>>> Chacun dans sa maison

>>> Bilan et notion de facteur premier

>>> Extraterrestres

 

 

 

 

 

 

NOMBRES PREMIERS

Initiation

 

*    Au départ, on peut penser à une histoire de rangement.

*    On associe une quantité de pions à chaque nombre.

*    Il s'agit de former un RECTANGLE avec ces pions.

*    Alors, la question est: est-ce toujours possible ?

 

Les nombres premiers sont les briques de l'arithmétique.

 

 

Pour une première idée

 

Première vision

 

*    Un nombre premier est un nombre qui ne peut être atteint par une multiplication.

*    On dit qu’il n’est divisible que par un et par lui-même.

 

Exemples :

*      Avec   6 je peux faire 2 x 3.

*      Avec 10 je peux faire 2 x 5.

*      Avec   7 je ne peux rien faire.
(sauf 1 x 7, mais c’est bien banal).

*      Avec 11 je ne peux rien faire non plus.

 

6 et 10 sont des nombres composés.

7 et 11 sont des nombres premiers.

 

 

Deuxième vision

 

*    Je pense à un nombre. En prenant la quantité de pions que ce nombre indique:

 

*    Avec un nombre composé je peux les disposer en rectangle. On aurait pu les appeler les nombres rectangles.

 

*    Avec un nombre premier, je ne peux les dispose qu’en ligne. On aurait pu les appeler les nombres lignes ou impliables, si vous voulez.

 

Exemples

 

Avec 12, je peux faire une ligne de 12,

mais aussi 3 rangées de 4,

et même 2 rangées de 6.

 

Avec 13, je forme simplement une ligne de 13 pions,

Impossible de former un rectangle.

 

Voir Opération Pénélope

 

 

Voyons cela pas à pas …

 

APPROCHE

 

*    Nous pouvons représenter un nombre entier en utilisant des pions.

 

 

*    Nous pouvons tenter de les disposer en rang par 2.

*    Avec cet exemple, c'est possible. C'est comme si, on avait plié la rangée initiale en deux.

 

*    Dans d'autres cas, cela reste possible, mais en rangeant les pions par 3 ou plus.

*    La figure obtenue est un rectangle.

*     

*    Mais, il y a des cas où l'on a beau se creuser les méninges, il est impossible de les mettre autrement qu'en

file indienne

 

*    On ne peut pas les transformer en rectangle. On ne peut pas les

plier.

Voir Approche de la division

 

 

Conclusions de ces observations:

COMPOSÉS ET PREMIERS

 

Les nombres

*      Qui peuvent se mettre en rang

*      Qui peuvent mettre en rangées

*      Qui peuvent se "plier"

*    Qui peuvent former un rectangle


Comme 4, 12 , 20 …

 

sont les nombres COMPOSÉS

 

*    Tout nombre qui peut se définir dans un rectangle est le
    produit de deux nombres

    plus petits.

*    On dit que le nombre peut être décomposé en facteurs.

 

 

Voir Nombres composés

 

Les nombres

*      Qui restent en file indienne

*      Qui restent en rang par 1

*      Qui ne peuvent pas se "plier"

*      Qui ne peuvent pas former de rectangle

Comme 3, 5, 7 …

 

sont les nombres PREMIERS

 

*    Les nombres premiers sont ceux qui ne s'inscrivent pas dans un rectangle.

*    Il n'existe pas de nombres plus petits qui multipliés entre eux donnent un nombre premier.

*    On dit qu'il ne peut pas se décomposer en facteurs.

 

Voir Nombres premiers

 

 

Chacun dans sa catégorie: CRIBLE

 

*    On met tous les nombres en haut d'une étagère à trous sélectifs.

 

*    Sur l'étagère la plus haute: celle du 2

*    on conserve tous les nombres qui peuvent être mis en rang par 2.

*    cela revient à conserver un nombre sur deux.

*    Sur l'étagère suivante:        celle du 3

*    on y fait descendre le premier nombre qui est resté en haut: c'est le 3

*    on fait descendre tous les nombres qui peuvent être rangés par trois

*    ce sont tous les multiples de 3 (ceux qui restent): 9, 15 …

*    Sur l' étagère en dessous: celle du 5

*    le premier nombre qui reste en haut est maintenant le 5

*    sur l'étagère du 5, on conserve les multiples de 5 (ceux qui restent)

 

 

 

Illustration crible d'Ératosthène

                                        

eratost

 

 

*    Le procédé conduit à créer des étagères de plus en plus basses.

*    Avec en tête d'étagère, les chefs de file: ce sont les nombres premiers.

*    On remarque qu'il n'est pas très futé de créer une étagère pour le 1

*    nous aurions conservé tous les nombres

*    ce qui n'apporte rien

*    le nombre 1 n'est pas premier (c'est une convention).

*    On sait depuis longtemps que les étagères s'enfoncent sans fin:
il y aune infinité de nombres premiers.

Ce procédé de tri est connu comme le crible d'Ératosthène,

savant grec qui l'inventa deux siècles avant Jésus-Christ.

Anglais: Eratosthene sieve.

 

Voir Programmation du crible d' Ératosthène / Ératosthène / Primalité

 

 

Chacun dans sa maison

Analogie qui trouvera son utilité dans la suite

 

*    Sur la route des nombres successifs, chaque nombre est propriétaire de sa maison

Certains ne logent personne:      les premiers;

D'autres y logent leur famille:     les composés.

*    On peut s'amuser à compter les habitants de chaque maison.

 

 

 

*      Le nom du propriétaire est noté sur le toit.

*      Les occupants sont dans la maison bleue.

*      La quantité d'occupants est indiquée en dessous.

 

*      Les nombres sont indiqués en haut.

*      Les facteurs dans le cadre bleu.

*      La quantité de facteurs en dessous.

Voir aussi Les nombres pliés

 

 

BILAN et notion de facteur premier

 

*    Un nombre composé est le produit de deux facteurs plus petits.

*    Il se peut que ces facteurs soient aussi des nombres composés. Ceux-ci se décomposent à leur tour en produits de deux facteurs plus petits.

*    Lorsque tous les facteurs sont des nombres premiers, on ne peut plus, bien sûr, continuer à décomposer. On dit que l'on a atteint la décomposition en FACTEURS PREMIERS.

*    Et, propriété fondamentale,  cette décomposition ultime est UNIQUE. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique.

 

210 = 6 x 35

210 = 2 x 3 x 35

210 = 2 x 3 x 5 x 7

 

 

Théorème fondamental

Tout entier non nul ne peut s'écrire que d'une manière, et une seule, comme le produit de nombres premiers.

 

Aux permutations des facteurs près. Comme 210 = 2 x 3 x 5 x 7 = 3 x 2 x 7 x 5 =…

Chaque nombre premier peut être répété. Comme dans 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24

 

 

Conséquence 

 

Les nombres premiers sont les briques de construction de tous les nombres entiers. Ils sont comparables aux éléments de la chimie et aux particules de la physique.

 

Historique

 

Ce théorème était connu des mathématiciens de l'Antiquité. Euclide le connaissait bien, certes formulé d'une autre manière. Cette propriété a semblait évidente pour beaucoup et cela a duré bien longtemps. La première démonstration rigoureuse du théorème attendra Gauss en 1801.

Suite en  Historique

 

 

 

Extraterrestres

 

*    Comment communiquer avec une autre intelligence où qu'elle soit? En utilisant les nombres premiers.

*    La biologie, la chimie, la physique peuvent être différentes d'une galaxie à une autre, pas les nombres premiers qui sont universels.

 

Dans le roman Contact de Karl Sagan, l'héroïne, Ellie Arroway travaille au SETI (Search for Extra Terrestrial Intelligence). Elle est à la recherche des intelligences extraterrestres. Un jour elle reconnaît un signal composé de deux pulsations puis rien, puis trois pulsations, pause, cinq, pause, sept, pause … et cela jusqu'à 907. Elle est sûre que seuls des êtres intelligents sont capables de créer une telle suite de signaux représentant les nombres premiers.

 

 

 

 

 

 

Voir

*    Nombres premiers – Introduction

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

*    Nombres premiers Junior Diaporama

*    Liste de nombres premiers

 

*    Calcul mental

*    Divisibilité

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Géométrie

*    Nombres composés

*    Nombres géométriques

*    Nombres imagés selon leurs facteurs

*    Petit théorème de Fermat 

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Programmation du crible d'Ératosthène

*    Représentation des nombres

*    Théorie des nombres

Site

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/debutant.htm