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Édition du: 24/05/2020

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Bicyclette – Sens de parcours selon la trace

 

Une énigme résolue par Sherlock Holmes dans un des romans de Conan Doyle (1859-1930). Comment deviner le sens de marche d'une bicyclette par l'observation de la trace de ses roues ?

 

 

Sommaire de cette page

>>> L'énigme

>>> La géométrie des traces

>>> Impossible à deviner

>>> Historique

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

L'énigme

haut

 

La situation

Vous arrivez sur la scène du crime. Le voleur de bijoux vient de s'enfuir à vélo. Les traces des roues de sa bicyclette sont encore bien visibles.

Dans quelle direction est-il parti ?

 

Contrairement à Sherlock, vous ne pouvez compter que sur la géométrie des deux traces de roue.

Pas question de prendre pour indice la différence de profondeur des marques due au poids sur la roue arrière.

 

La roue avant

Une première observation simple, vous permettra de déterminer quelle est la trace de la roue avant.

C'est celle qui dessine les courbes de plus grande amplitude.

Mais cela ne dit rien sur le sens.

 

La roue avant décrit la courbe la plus ondulée.

 

La géométrie des traces

haut

 

La roue arrière

En ligne droite comme en virage, la structure rigide du vélo maintient la roue arrière dans la direction du point de contact de la roue avant.

 

Ce qui se traduit sur la courbe par: la tangente (verte) à la courbe "arrière" (rouge) coupe la courbe "avant" (bleue) là où se trouve la roue avant.

Oui, mais: la tangente en A coupe la courbe bleue en deux points P et Q.

Notre remarque est pertinente mais pas suffisante pour déterminer le sens de roulage du vélo.

 

La roue avant se trouve sur la tangente

à la courbe suivie par la roue arrière (rouge).

 

Les deux roues

La distance entre la roue avant et la roue arrière est constante.

 

Alors, pour lever le doute, dessinons deux tangentes et observons les distances.

Comparons les longueurs de vélo (entre points de contact des roues):

AP = A'P' alors que AQ est plus petit que A'Q'.

L'égalité traduit la conservation de la longueur du vélo.

 

Le vélo se dirige vers les P, donc vers la gauche.

En prime, nous avons aussi la taille du vélo.

 

La roue avant se trouve du côté: AP  = constante.

 

Impossible de deviner …

haut

Dans le cas où le cycliste suit une trajectoire parfaitement rectiligne, impossible de déterminer le sens.

Les deux pistes sont confondues.

 

 

Si le cycliste dessin un rond parfait, impossible de déterminer le sens.

Les distances (r) sont égales de part et d'autre des tangentes.

 

Note: L'aire séparant les deux traces d'un vélo décrivant un cercle parfait ou même une courbe convexe quelconque vaut  quel que soit le parcours réalisé par le cycliste.

Le rayon r est alors la distance entre les deux points de contact des roues.

Voir Aire de la couronne

 

 

Historique

haut

1904 – Sherlock Holmes

 

The Adventure of the Priory School

Sir Arthur Conan Doyle – 1904

L'École du Prieuré en français

 

Holmes et Watson partent inspecter la lande. Outre des traces de pas de vache qui n'ont pas d'intérêt, ils y trouvent la trace de pneu de la bicyclette de Heidegger. En suivant cette trace, ils finissent par découvrir, caché derrière un bosquet, le corps sans vie du professeur avec une importante blessure au front.

Source Wikipédia

 

-       This track, as you perceive, was made by a rider who was going from the direction of the school.

-       Or towards it ?

-       No, no, my dear Watson. The more deeply sunk impression is, of course, the hind wheel, upon which the weight rests. (…) It was undoubtedly heading away from the school.

 

-       Cette trace, comme vous le voyez, a été faite par un cycliste qui venait de la direction de l'école.

-       Ou vers elle?

-       Non, non, mon cher Watson. La marque la plus profonde est, bien sûr, la roue arrière, sur laquelle repose le poids. (…) Il s'éloignait sans aucun doute de l'école.

 

Années 1980

Université de Princeton, ce problème apparait dans un cours de géométrie.

1996

Which Way did the Bicycle Go? ... and Other Intriguing Mathematical Mysteries par Joseph Konhauser, Dan Velleman, et Stan Wagon

2002

Can a Bicycle Create a Unicycle Track? – David L. Finn

Il démontre qu'il est possible de créer une courbe unique suivie par les deux roues sans que la trajectoire soit rectiligne. Calcul avancé avec équations différentielles. 

 

 

Livre pour enfant de Christine Naumann-Villemin

Editions Kaléidoscope – 2019

Voir Patronyme Villemin

 

 

 

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Suite

*       Garçon et fille à bicyclette – Il frime !

*       La bicyclette de Dudeney

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Sites

*       The mathematics of bicycle tracks – James Tanton

*       Geometry and the Imagination – John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, and Bill Thurston

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Trajet/Velo.htm