NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Concentriques

 

Sommaire de cette page

>>> Cercles concentriques

>>> Couronne

>>> Équidistance

>>> Quatre points équidistants

>>> Cordes sécantes

>>> Paradoxe de Bertrand

>>> Distance maximale

 

 

 

 

 

CERCLES CONCENTRIQUES

 

Famille de cercles ayant un centre commun.

La surface comprise entre deux cercles concentriques s'appelle la couronne.

 

Anglais: concentric circles / annulus

 

Devinette

 

Question

Quelle est la surface (l'aire) la plus grande entre la spirale bleue ou la spirale rose.

 

Construction

Il s'agit du tracé de demi-cercles dont les extrémités se fixent sur des points équidistants sur une verticale.

Solution

 

 

Cercles concentriques

Ces trois cercles sont construits à partir du même centre, ils sont concentriques.

 

Avec des rayons en progression arithmétique, le périmètre progresse de la même manière, alors que, naturellement l'aire progresse comme le carré du rayon.

 

 

Exemple

Un tuyau d'acier à un diamètre extérieur de 8 et intérieur de 7,6. Mesures en centimètres.

Quelle l'aire de la section en acier ?

Aexterne = 3,14 x (8/2)²

             = 50,26…

Ainterne = 3,14 x (7,60/2)²

             = 45,36…

 

Acouronne = 4,90 cm²

 

Couronne

 

Aire de la couronne:

Aire du disque bleu:

Calcul de c avec théorème de Pythagore.

 

L'aire de la couronne est égale à celle du disque dont le diamètre est la corde du grand cercle tangente au petit cercle.

 

Astuce: pour connaitre l'aire de la couronne alors que le disque central est inaccessible (rempli de lave), il suffit de mesurer cette corde (2c).

 

L'aire de la couronne bleue externe est égale à celle du disque interne rose.

 

Cette figure est souvent montrée comme une illusion d'optique (the bull's eye illusion).

 

Aire de la couronne externe:

Aire du disque bleu:

 

Illusion de l'œil de boeuf

Voir le triplet: 3² + 4² = 5²

 

Ellipse dorée

Si l'aire de la couronne est égale à celle de l'ellipse, alors:

C'est l'équation du nombre d'or.

 

Note: l'ellipse dorée est inscrite dans un rectangle doré.

 

Aire couronne  = aire ellipse

=> ellipse dorée

 

Voir Aire du secteur, segment  / Ellipse dorée: construction…

 

 

Équidistance

 

Une corde quelconque (AB) intersecte le petit cercle concentrique en C et D. Les segments découpés sont de mêmes mesures

 

On trace la médiatrice du segment AB. Elle passe par le centre du cercle. C'est le cas aussi de la médiatrice de CD.

Par symétrie, on a:

OA = OB  &  OC = OD

HA = HD  &  HC = HD

et par soustraction:

AC  = BD

 

Toute corde découpe des segments égaux dans la couronne.

 

 

Quatre points équidistants

Question

Quelle est l'aire e la couronne (bleu clair) ?

 

Construction

Deux cercles concentriques.

La corde complète (verte) mesure 6 unités.

Les quatre points sur la corde sont équidistants.

Cas de la corde en position de diamètre

 

Corde-diamètre: 6.

Rayon du grand cercle: 3

Aire grand cercle:

Rayon du petit cercle: 1

Aire petit cercle:

Aire de la couronne:

 

Cas d'une corde quelconque

Utilisation du théorème de Pythagore.

 

Aire de la couronne:

Évaluation de R: R² = h² + 3²

Évaluation de r:   r² = h² + 1²

Aire de la couronne:

 

Aire de la couronne = constante

 

 

Cordes sécantes

 

Corde dans un cercle

Quelle est la probabilité que la corde d'un cercle soit plus grande que le rayon du cercle ?

 

Le tracé de l'hexagone (rosace) donne immédiatement la solution. Son côté est égal au rayon.

Pour tout point A, sommet de l'hexagone, la corde est plus grande que le rayon si elle est tracée dans l'angle au sommet de l'hexagone, lequel mesure 120°.

La probabilité vaut:

 

 

Corde et deux cercles concentriques:
      R et 2R

Quelle est la probabilité qu'une corde du grand cercle (comme AB) coupe le petit cercle ?

 

C'est le cas pour tout point A si la corde est comprise dans l'angle formé par les tangentes de A au petit cercle (dessin en vert).

Du fait de la tangence, l'angle en C est un angle droit et le triangle AOC est rectangle. Ainsi:

La probabilité vaut:

 

 

Probabilité que la corde AB rencontre le petit cercle: 1/3

Pas que ! Certains disent 1/2 et d'autres 1/4 … Voir ci-dessous

 

Voir Probabilités  / Paradoxes

 

 

 Paradoxe de Bertrand

Il existe différentes manières de choisir la corde; elles conduisent à des probabilités différentes.

C'est le paradoxe de Bertrand.

 

Joseph Bertrand (1822-1900) décrit ce paradoxe dans son livre: Calcul des Probabilités en 1889.

 

*      Choix des extrémités (paragraphe précédent):

P = 1/3

*      Choix avec un rayon-médiatrice de la corde: sa distance au centre doit alors être entre R et 2R:

P = 1/2

*      Choix tel que le milieu de la corde soit dans le petit cercle, la probabilité est alors dans le rapport des aires:

P = 1/4 

Rayon médiatrice

Milieu de la corde

 

 

 

Distance maximale

Construction

*    Deux cercles concentriques quelconques,

*    Un point H interne au plus petit, sans être le centre,

*    Une sécante passant par H

 

Quelle est la direction de cette sécante maximisant la longueur des segments découpés dans la couronne ?

 

Solution

Le dessin du bas montre la situation favorable: la perpendiculaire en H à la sécante passe par le centre des cercles.

Longueur de chaque segment:

 

Situation quelconque

Situation optimale

 

 

 

Devinette – Solution

Couper la figure au niveau de la verticale centrale et faire glisser

Retour / Jeux et énigmesIndex

 

 

 

 

 

Suite

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*  Cercle circonscrit

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DicoNombre

*    Nombre 0,333…

Livre

*    Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images – Claudi Alsina et Roger B; Nelsen

Sites

*    Concentric Circles – Wolfram MathWorld

*    Paradoxe de Bertrand – Wikipédia

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CercConc.htm