NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Évaluation PISA (15 ans)

>>> Impossible de rattraper le temps

>>> Rapport de vitesse

>>> Le rameur, le bouchon et le courant

>>> Le viaduc

>>> Dépassement de vitesse

>>> Avion dans le vent

>>> Effet du courant

 

 

 

Vous rouliez à combien, Monsieur?

– J'étais tout seul, Monsieur le Juge!

pont 110.gif

auto radar.jpg

Voir Pensées & humour

 

 

 

Problèmes de VITESSE

 

Énigmes classiques  basées sur le calcul de vitesse.

 

Rappels

*      Leitmotiv pour régler ces problèmes: L  = V . T (longueur = vitesse divisée par le temps).

*      On vérifie cette relation en pensant qu'elle doit être homogène:

*      On se rassure en disant que :
une voiture qui roule à 100 km/h, parcourt 200 km en 2 heures.

N'hésitez pas à voir la rubrique vitesse, spécial débutant!

 

 

Niveau primaire

Exemple avec une évaluation PISA

 

Contexte

 

*    Test PISA 2012.

*    Enfants de 15 ans.

*    Problème de niveau 6 (le plus élevé).

*    Moyenne OCDE: 3% de succès.

 

Essayez vous-même et vous aurez du mal à croire à un score si médiocre de nos enfants!

 

Problème posé

Hélène vient de recevoir un nouveau vélo, avec un compteur de vitesse fixé sur le guidon.

Le compteur de vitesse indique à Hélène la distance qu’elle parcourt et sa vitesse moyenne pour le trajet.

Hélène a roulé de chez elle jusqu’à la rivière qui se trouve à 4 km. Il lui a fallu 9 minutes. Elle est rentrée chez elle en prenant un raccourci qui fait 3 km. Il ne lui a fallu que 6 minutes.

Quelle était la vitesse moyenne d’Hélène (en km/h) lors de cette balade, aller et retour à la rivière?

 

SOLUTION  /    Voir Enseignement

 

 

 

 

NIVEAU COLLÈGE SIMPLE

 

Comparaison

La fille roule régulièrement, alors que le garçon frime en roulant à toute allure puis, se voit contraint de finir à petite vitesse. C'est la fille qui arrive la première.

 Fille

 

Garçon

Voir Bicyclette de Dudeney

 

 

 

 

Impossible de rattraper le temps

Énigme

 

Un cycliste fait 10 km à la vitesse de 15 km/h. Il faut dire qu’il avait un vent contraire et espère aller plus vite au retour.

Peut-il dépasser son record de vitesse moyenne sur l’aller-retour qui est de 30 km/h.

 

Formule

 

 

Longueur (km)

= vitesse (km/h) x temps (heure)

 

Notes

Longueur ou distance

Temps ou durée

 

 

Réponse

Il a déjà utilisé tout le temps qui serait nécessaire (en jaune dans le tableau) pour établir une vitesse moyenne de 30 km/h. Il lui faudrait alors une vitesse infinie pour parvenir à égaler son record. C'est donc impossible.

 

Calcul

Trajet aller: 10 km à 15 km/h lui prend 0,66 h (40 minutes).

Son record: 20 km à 30 km/h c'est aussi 40 minutes.

Trajet retour: il lui reste 0 minutes pour égaler son record.

 

 

L

V

T

Aller

10

15

0,66...

Retour

10

0

A/R

20

30

0,66...

 

Et s’il avait roulé à 20 km/h à l’aller

 

L

V

T

Aller

10

20

0,5

Retour

10

60

0,166...

A/R

20

30

0,66...

 

Il lui faudrait faire le retour en 0,166 … h = 10 minutes.

 

 

 

Rapport de vitesses

Énigme

 

Une piste cycliste. Jean termine les 20 tours alors qu'il en reste encore 2 à Pierre. Chacun à maintenu sa vitesse constante.

Quel est le rapport entre la vitesse de Jean et celle de Pierre?

 

Réponse

Le rapport est 20/18 = 10/9

 

Calcul

20 = VJ .T

18 = VP .T

Le temps étant le même.

En divisant ces deux équations:

 

 

Le rameur, le bouchon et le courant

 

Problème

D’un côté, il y a vous qui êtes capable de ramer à 7 km/h sans courant. Mais dans cette rivière, vous remontez un courant dont la vitesse est de 3 km/h.

De l’autre, à 14 km en amont, un pécheur perd son bouchon qui se met à descendre le courant.

 

Dans combien de temps croiserez-vous le bouchon ?

 

 

Astuce :

Le bouchon descend le courant pendant que vous, vous êtes contraint par le même courant. Sans ramer, vous descendriez à la même vitesse que le bouchon. Les deux phénomènes se compensent et le courant n’a pas d’influence sur la durée.

 

Solution

Vous devez parcourir les 14 km à la vitesse de 7 km/h, soit 2 heures d’effort.

 

 

 

 

Niveau collège avancé

 

Le viaduc

 

Problème

*    Il pédale sur le viaduc, il est déjà arrivé au trois-quarts du pont.

*    Oui, mais, une voiture s'engage sur le viaduc à 100 km/h.

*    Il sait qu'il a pris un risque car si la voiture le rejoint, il sera fauché.

*    À quelle vitesse doit-il pédaler pour être sauvé?

 

Commentaire

Ce problème semble impossible à résoudre à première vue tant il doit manquer des données! Ce n'est pas possible?

Néanmoins, s'il doit y avoir une solution, on se dit que: s'il reste encore un quart de trajet pour le cycliste, alors, il doit bien y avoir un rapport 4 qui va intervenir. Nous avons la conviction  que si le cycliste dégage le viaduc à une vitesse quatre fois moindre que l'automobile, cela va être suffisant. Vérifions par le calcul.

 

Illustration

pont velo.jpg

Résolution

Voiture et vélo doivent arriver au bout du viaduc en même temps, soit dans:

T heures

Durée du parcours par la voiture:

Durée du parcours par le vélo:

En divisant ces égalités:

En simplifiant

Et la vitesse du cycliste devient:

 

 

 

Dépassement de vitesse

 

Un problème dont la réponse est surprenante lorsqu'on omet de remonter à la formule de base.

 

 

Problème

Un automobiliste a noté sa vitesse sur le trajet aller: 110 km/h

Il sait également qu'il a roulé à une moyenne de 120 km/h sur le trajet aller-retour.

 

Il affirme à sa femme qu'il a respecté la limitation de vitesse sur autoroute. Est-ce vrai?

 

 

Commentaire

Ici, un raisonnement intuitif n'est pas très possible. Le calcul va montrer que la réponse n'est pas 130 km/h comme on pourrait le penser.

 

Réponse

1) Trajet aller

2) Trajet retour

 

3) Trajet aller et retour

Dans cette troisième équation remplaçons TA et TB par leurs valeurs calculées avec les équations 1 et 2

En divisant tout par L

En divisant tout par VAR = 120

Calcul de VR

Et sa valeur numérique

La réponse n'est pas 130, le nombre symétrique de 110 par rapport à moyenne de 120.

Mais un peu plus: 132 km/h.

Il a dépassé la vitesse autorisée, Oui, mais de peu!

 

Graphe donnant la vitesse de retour selon la vitesse de l'aller pour une moyenne de 120 km/h

Voir Moyenne harmonique

 

 

 

Avion dans le vent

Situation et question

 

Un avion fait un trajet aller et retour sans vent.

 

Mais,ce jour-là, il subit un vent constant qui le pousse à l'aller et le freine au retour. Quel est le temps mis par l'avion pour faire l'aller et le retour?

 

Réponse rapide

 

Le même temps que sans vent, car la poussée compense le freinage!

 

Non, ce n'est pas la bonne réponse.

 

 

Sans vent

2L = 2VT

 

Avec vent de vitesse v

L = (V + v) TA

L = (V – v) TR

2L = (V + v) TA+ (V – v) TR

Les durée aller et retour sont effectivement différente dans le rapport:

 

Exemple

V = 1000 km/h et v = 100 km/h

Sur un trajet de 10 000 km

TA =10 000 / 1100 =   9,09 h

TB =10 000 /   900 = 11,11 h

Et TA / TB = 9,09 / 11/,11 = 0,8181…

 

Total TV = 20,20 h

Au lieu de (sans vent)

2T =20 000 / 1000 = 20 h 

 

 

 

 

Effet du courant

 

Nous sommes sur une rivière en canoë et faisons l'aller et le retour entre A et B.

*    Trois heures avec le courant, et

*    Quatre heures contre le courant.

Soit sept heures pour l'aller-retour.

 

 

Sans courant, quelle serait la durée de l'aller-retour?

Nous ramons toujours de la même manière avec ou sans courant.

 

 

On peut imaginer que les forces qui ont ralenti à la montée vont s'équilibrer avec les forces qui poussent à la descente.

 

Voyons le calcul et découvrons une surprise comme les problèmes de vitesse savent nous en réserver.

 

Notations

V notre vitesse propre en ramant toujours de la même manière,

c la vitesse du courant,

L la longueur du trajet, et

T le temps mis sans courant.

 

La longueur est identique dans tous les cas

L = 4 (V – c) = 3 (V + c) =  V T

Avec les deux premières relations

4V – 4c = 3V  + 3c
V = 7c

En reprenant la longueur

L = 4V – 4c = 4V – 4 x V/7 = 24 V/7

Puis avec la troisième expression de la longueur

L = V T = 24 V/7

T = 24/7 = 3,43 heures

Temps aller et retour sans courant

2T = 6,86 heures

Et non pas 7 heures comme nous l'avions envisagé.

 

Calcul formel et interprétation**

La longueur est identique dans tous les cas

L = Ta (V – c) = Tr (V + c) =  V T

Avec les deux premières relations

Ta.VTa.c = Tr.V  + Tr.c
V (Ta – Tr) = c (Ta + Tr)

En reprenant la longueur

Puis avec la troisième expression de la longueur


 

Pour Ta = 4 heures,

graphe de T en fonction de Ta - Tr

 

 

Si le temps de retour avec le courant est raccourci de 1 heure (Tr = 3), alors le temps moyen avec le courant est (4 + 3 ) / 2 = 3,5 et le temps sans courant est T = 3,43. Une différence de 3,5 – 3,43 =  0,07 h = 4,2 min.

 

Si le courant est vraiment très fort et que l'écart passe à 3 heures (Tr = 1), le temps moyen est de (4 + 1) / 2 = 2,5 et le temps sans courant  T = 1,6. Une différence importante de 2,5 – 1,6 = 0,9 = 54 min

 

Plus le courant est fort et plus l'écart se creuse. À la limite avec un retour instantané (Tr = 0 et Ta – Tr = 4), le trajet sans courant est lui-aussi instantané (T = 0).

 

 

 

 

 

 

Évaluation PISA – Solution

 

Problème posé

Hélène vient de recevoir un nouveau vélo, avec un compteur de vitesse fixé sur le guidon.

Le compteur de vitesse indique à Hélène la distance qu’elle parcourt et sa vitesse moyenne pour le trajet.

 

Cette première partie donne un contexte, mais elle est totalement inutile à l'énoncé. La suite ne comporte évidemment aucun piège. Je surligne en jaune les données importantes.

 

Hélène a roulé de chez elle jusqu’à la rivière qui se trouve à 4 km. Il lui a fallu 9 minutes. Elle est rentrée chez elle en prenant un raccourci qui fait 3 km. Il ne lui a fallu que 6 minutes.

Quelle était la vitesse moyenne d’Hélène (en km/h) lors de cette balade, aller et retour à la rivière?

 

Rappel des données

Aller:               4 km en   9 minutes

Retour:           3 km en   6 minutes

Conclusion

Trajet A/R:      7 km en 15 minutes (un quart d'heure)

Pour faire une heure

15 minutes, c'est un quart d'heure.

Il faut quatre fois un quart d'heure pour faire une heure.

Quelle distance en une heure?

Nous avons: 7 km en 1/4 d'heure.

En quatre quarts d'heure (= une heure): 4 x 7 = 28 km.

Vitesse moyenne

28 km / heure

Illustration

Helene.jpg

 

Rappel

La vitesse est une distance (km) divisée par une durée (heures) qui donne par conséquent des km / h.

La vitesse moyenne est la vitesse sur la totalité du parcourt: distance totale (7 km) divisée par la durée totale (0,25 h). Soit 7  0,25 = 28 km/h.

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Source: Éducation – Ce n’est peut-être pas un problème de mathématiques – Mathieu Lang – 3 mars 2016

 

 

 

 

 

 

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