NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/03/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	RUBRIQUE Types de Nombres
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Nombres premiers réguliers

Famille	Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers / … … / Types de nombres premiers et cousins
Approche	Notion très avancée de la théorie des nombres Nombres définis par Ernst Kummer pour étudier le grand théorème de Fermat – Wiles, alors encore une conjecture.
Définition	NOMBRES PREMIERS RÉGULIERS Entier p qui ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique Q .
Propriétés	Les nombres premiers irréguliers ne divisent pas le numérateur des nombres de Bernoulli. Tous les entiers premiers p < 37 sont réguliers. On conjecture qu'ils sont en nombre infini. Pour ce qui est connu, les réguliers sont plus nombreux que les irréguliers. La proportion serait asymptotiquement de e^1/2 soit 60,65 % et, en conséquence, la proportion des irréguliers serait de 39,35% Kummer a prouvé le Grand théorème de Fermat pour tous les exposants qui sont premiers réguliers.
Liste	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 239, 241, 251, 269, 277, 281, 313, 317, 331, 337, 349, 359, 367, 373, 383, 397, 419, 431, 439, 443, 449, 457, 479, 487, 499, 503, 509, 521, 563, 569, 571, 599, 601, 641, 643, 661, 701, 709, 719, 733, 739, 743, 769, 787, 823, 829, 853, 857, 859, 863, 883, 907, 911, 919, 937, 941, 947, 967, 977, 983,…
Historique	En 1847 à l'Académie des Sciences de Paris, Gabriel Lamé (1795-1870) prétend avoir démontré le grand théorème de Fermat. Joseph Liouville (1809-1882) objecte en rejetant l'hypothèse erronée d'une factorisation unique dans l'anneau des entiers cyclotomiques. Ernst Eduard Kummer (1810-1893) connaissait cette faiblesse et formule une théorie des idéaux qui sera reprise et développée par Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916). Entre temps, en 1874, il démontre le grand théorème de Fermat lorsque les exposants sont des nombres premiers réguliers. Ou plutôt pour tous les exposants en nombres premiers impairs, sauf pour huit nombres premiers irréguliers: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157.
Anglais	Regular prime numbers. A regular prime p is one that does not divide the class number of the algebraic number field obtained by adjoining the p-th root of unity to the rational numbers Iit can be shown that an equivalent criterion is that p does not divide the numerator of any of the Bernoulli numbers Bk for k {2, 4, 6, ..., p − 3}.
Voir	Place de ces nombres parmi les autres premiers

Nombres premiers irréguliers

Définition	NOMBRES PREMIERS IRRÉGULIERS Entier p qui divise le nombre de classes du corps cyclotomique Q .
Propriétés	Ils divisent les nombres de Bernoulli. Ils sont en nombre infini (Jensen 1915). Il en existe une infinité congrus à 3 modulo 4, le plus petit étant 59 (théorème de Jensen). Il en existe une infinité qui vérifie l'une de congruences p 1 (mod 3) ou p 1 (mod 4).
Anglais	Irregular prime numbers.
Voir	Place de ces nombres parmi les autres premiers

Listes

Première liste historique

Premiers irréguliers	37	59	67	101	103	131	149	157
Nombres de Bernoulli	B34	B44	B58	B68	B24	B22	B130	B62 & B110

157 est un nombre premier irrégulier d'ordre 2

Suite

233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, 607, 613, 617, 619, 631, 647, 653, 659, 673, 677, 683, 691, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 809, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 929, 953, 971, 1061 …

Voir	Types de nombres premiers
Sites	Nombre premier régulier – Wikipédia Regular Prime – Wolfram MathWorld Regular Prime – The prime glossary OEIS A007703 – Regular primes OEIS A000928 – Irregular primes
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremRegu.htm