NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 16/06/2012

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RUBRIQUE   Types de Nombres

Glossaire

Premier

 

NOMBRES PREMIERS

Réguliers et Irréguliers

 

 

Sommaire de cette page

>>> NOMBRES PREMIERS RÉGULIERS

>>> NOMBRES PREMIERS IRRÉGULIERS

>>> LISTE

 

 


 

 

 

 

Nombres premiers réguliers

 

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers / …

 

… / Types de nombres premiers et cousins

Approche

*    Notion très avancée de la théorie des nombres

Nombres définis par Ernst Kummer pour étudier le grand théorème de Fermat – Wiles, alors encore une conjecture.

Définition

NOMBRES PREMIERS RÉGULIERS

 

*    Entier p qui ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique Q .

Propriétés

*    Les nombres premiers irréguliers ne divisent pas le numérateur des nombres de Bernoulli.

*    Tous les entiers premiers p < 37 sont réguliers.

*    On conjecture qu'ils sont en nombre infini.

Pour ce qui est connu, les réguliers sont plus nombreux que les irréguliers.

La proportion serait asymptotiquement de e1/2  soit 60,65 % et,
en conséquence, la proportion des irréguliers serait de 39,35%

*    Kummer a prouvé le Grand théorème de Fermat pour tous les exposants qui sont premiers réguliers.

Historique

 

En 1847 à  l'Académie des Sciences de Paris, Gabriel Lamé (1795-1870) prétend avoir démontré le grand théorème de Fermat.

 

Joseph Liouville (1809-1882) objecte en rejetant l'hypothèse erronée d'une factorisation unique dans l'anneau des entiers cyclotomiques.

 

Ernst Eduard Kummer (1810-1893) connaissait cette faiblesse et formule une théorie des idéaux qui sera reprise et développée par Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916).

 

Entre temps, en 1874, il démontre le grand théorème de Fermat lorsque les exposants sont des nombres premiers réguliers. Ou plutôt pour tous les exposants en nombres premiers impairs, sauf pour huit nombres premiers irréguliers: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157.

 

 

Anglais

*    Regular prime numbers.

A regular prime p is one that does not divide the class number of the algebraic number field obtained by adjoining the p-th root of unity to the rational numbers

Iit can be shown that an equivalent criterion is that p does not divide the numerator of any of the Bernoulli numbers Bk for k  {2, 4, 6, ..., p − 3}.

Voir

*   Place de ces nombres parmi les autres premiers

 

 

 

Nombres premiers irréguliers

 

Définition

NOMBRES PREMIERS IRRÉGULIERS

 

*    Entier p qui divise le nombre de classes du corps cyclotomique Q .

Propriétés

*    Ils divisent les nombres de Bernoulli.

*    Ils sont en nombre infini (Jensen 1915).

Il en existe une infinité congrus à 3 modulo 4, le plus petit étant 59 (théorème de Jensen).

Il en existe une infinité qui vérifie l'une de congruences
 p
 1 (mod 3) ou p  1 (mod 4).

Anglais

*    Irregular prime numbers.

Voir

*   Place de ces nombres parmi les autres premiers

 

 

 

 

 

Listes

Première liste historique

 

Premiers irréguliers

37

59

67

101

103

131

149

157

Nombres de Bernoulli

B34

B44

B58

B68

B24

B22

B130

B62 & B110

157 est un nombre premier irrégulier d'ordre 2

 

Autres

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