NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

 

Types de Nombres

Introduction

Complexes

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Octavions

Historique

Factorisation

Trois Algèbres

Cyclotomique (1)

Cyclotomique (2)

 

Sommaire de cette page

>>> Ordre 4

>>> Ordre 3 

>>> Ordre 5

>>> Bilan et suite

 

 

 

 

RACINES DE L'UNITÉ

& Polynômes cyclotomiques

 

Les nombres complexes sont basés sur la racine carrée imaginaire de – 1. Ici, nous allons nous intéresser à la racine nième de l'unité. Mais, les nombres imaginaires sont toujours présents …

 

 

Note:  est l'ensemble des nombres complexes de module 1 (sur le cercle unité).

C'est le groupe des unités de .

 

 

ORDRE 4

 

Principe

*    Nous connaissons la représentation
géométrique de i
avec i² = – 1  ou i =

*    Poursuivons en y installant 
son opposé –i

*    Notez la formation d'un carré, polygone à 4 côtés

 

Nombre de De Moivre

*    Le quadruplet ainsi représenté forme
les nombres de De Moivre d'ordre 4:
 

d4 = { 1, i, –1, –i }

   

Équation

*    Formons l'équation qui donne
les nombres réels 1 et – 1

x² – 1 = 0

*    Formons l'équation qui donne
les nombres complexes i et –i

    x² + 1 = 0

 


 
Représentation géométrique

 

Voir Groupes cycliques

 

  

ORDRE 3

Principe

*    L'idée consiste à généraliser en formant des polygones à n côtes et à chercher les coordonnées des nombres complexes sommets de ces polygones.

 

Triangle équilatéral

*    Le polygone à 3 côtes est formé à partir du point (1,0).

Nombre de De Moivre

*    Le triplet forme les nombres de De Moivre d'ordre 3:

 

d3 = {1,  –0,5 + 0,53 i,  –0,5 –0,53 i }

 


 
Représentation géométrique

 

 

Équation

 

z3 – 1  = 0

dont les racines sont:

 

 

Notez que chaque racine cubique complexe est le carré de l'autre.

 

 

Autre équation (cyclotomique)

 

x² + x + 1 = 0

dont les racines sont:

 

 

j* est le conjugué de j

 

1 + j + j² = 0

 

La racine cubique j et parfois notée  (oméga).

 

Conclusions

1.   La recherche des racines cubiques de 1 donne trois valeurs dont deux imaginaires

2.   Le tracé d'un triangle équilatéral sur le cercle donne une représentation de ces racines

3.   Il existe une équation, dite cyclotomique, dont les racines sont les valeurs complexes de la racine de 1.

 

Racines des deux équations

Voir Notations  avec i et j (maths et électronique) / Résolution du troisième degré / Exemple x3 – a = 0

 

 

 

ORDRE 5

 

Principe

 

*    Nous allons dessiner le pentagone, arrimé au point (1,0).

Attention, cela se complique!

Nombre de De Moivre

 

*    Le quintuplet forme les nombres de De Moivre d'ordre 5.

Ce sont les racines de z5 = 1:

 

 

Équation cyclotomique

 

*    L'équation qui donne  les racines complexes cinquième de 1 est la suivante:

d4 + d3 + d2 + d + 1 = 0

 


 
Représentation géométrique

 

Voir Solution des équations quintiques

 

 

 

Bilan et suite

Il est toujours possible de trouver n racine nième de l'unité en faisant appel aux nombres complexes. La notation en sinus et cosinus est parfois commode pour exprimer ces valeurs complexes.

Voir la suite en résolution générale de zn = 1 >>>

 

 

 

 

 

Suite

*               Calculs avec racine cubique de l'unité

*               Nombres cyclotomique: équation Zn = 1

*               ComplexeIndex

*               Nombres de Gauss et autres …

*               Groupes cycliques

Voir

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