NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/08/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Ordre 4 >>> Ordre 3 >>> Ordre 5 >>> Bilan et suite

RACINES DE L'UNITÉ

& Polynômes cyclotomiques

Les nombres complexes sont basés sur la racine carrée imaginaire de – 1. Ici, nous allons nous intéresser à la racine nième de l'unité. Mais, les nombres imaginaires sont toujours présents …

Note: est l'ensemble des nombres complexes de module 1 (sur le cercle unité).

C'est le groupe des unités de .

En bref

ORDRE 4
Principe Nous connaissons la représentation géométrique de i avec i² = – 1 ou i = Poursuivons en y installant son opposé –i Notez la formation d'un carré, polygone à 4 côtés Nombre de De Moivre Le quadruplet ainsi représenté forme les nombres de De Moivre d'ordre 4: d4 = { 1, i, –1, –i } Équation Formons l'équation qui donne les nombres réels 1 et – 1 x² – 1 = 0 Formons l'équation qui donne les nombres complexes i et –i x² + 1 = 0	Représentation géométrique
Racines

Voir Groupes cycliques / Identités remarquables / Nombre 0,707…

ORDRE 3
Principe L'idée consiste à généraliser en formant des polygones à n côtes et à chercher les coordonnées des nombres complexes sommets de ces polygones. Triangle équilatéral Le polygone à 3 côtes est formé à partir du point (1,0). Nombre de De Moivre Le triplet forme les nombres de De Moivre d'ordre 3: d3 = {1, –0,5 + 0,53 i, –0,5 –0,53 i }	Représentation géométrique
Équations z^3 – 1 = 0 dont les racines sont: Notez que chaque racine cubique complexe est le carré de l'autre.	Autre équation (cyclotomique) x² + x + 1 = 0 dont les racines sont: j* est le conjugué de j 1 + j + j² = 0 La racine cubique j et parfois notée (oméga).
Conclusions 1. La recherche des racines cubiques de 1 donne trois valeurs dont deux imaginaires 2. Le tracé d'un triangle équilatéral sur le cercle donne une représentation de ces racines 3. Il existe une équation, dite cyclotomique, dont les racines sont les valeurs complexes de la racine de 1. Racines des deux équations Calcul sous Maple

Voir Notations avec i et j (maths et électronique) / Résolution du troisième degré / Exemple x³ – a = 0

ORDRE 5
Principe Nous allons dessiner le pentagone, arrimé au point (1,0). Attention, cela se complique! Nombre de De Moivre Le quintuplet forme les nombres de De Moivre d'ordre 5. Ce sont les racines de z^5 = 1: Équation cyclotomique L'équation qui donne les racines complexes cinquième de 1 est la suivante: d^4 + d^3 + d^2 + d + 1 = 0	Représentation géométrique

Voir Solution des équations quintiques

Voir Ordre 6

Bilan et suite

Il est toujours possible de trouver n racine nième de l'unité en faisant appel aux nombres complexes. La notation en sinus et cosinus est parfois commode pour exprimer ces valeurs complexes.

Voir la suite en résolution générale de zⁿ = 1 >>>

Suite	Calculs avec racine cubique de l'unité Nombres cyclotomique: équation Z^n = 1 Complexe – Index Nombres de Gauss et autres … Groupes cycliques
Voir	Identités remarquables Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres réels
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