NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

Puissance

Décomposition

 

Bell

Bernoulli

 Motzkin

Catalan

Parts de tarte

Genocchi

 

Sommaire de cette page

>>> Liste des nombres de Bernoulli

>>> Application

>>> Somme des puissances – Formules et valeurs

>>> Fonction génératrice

>>> Algorithme d'Ada Lovelace

 

 

 

 

 

NOMBRES de BERNOULLI

 

Nombres rationnels qui interviennent dans les problèmes de dénombrement, les calculs de somme de puissances et bien d'autres …

 

La famille BERNOULLI

 

Famille Bernoulli: suisses mathématiciens et aussi physiciens.

*       Jacques ou Jacob (1654-1705): épreuve de Bernoulli, nombres de Bernoulli, Lemniscate de Bernoulli, Inégalité de Bernoulli, isopérimètre, somme des puissances de 10.

*       Jean (1667-1748): calcul infinitésimal.

*       Nicolas II ou Nicolaus (1695-1726): équations différentielles, probabilités, dénombrement.

*       Daniel (1700-1782): théorème de Bernoulli, théorie cinétique des gaz, équation de Daniel Bernoulli.

 

Voir Contemporains / Vitesse du jet

 

 

Liste des nombres de Bernoulli

 

*    À partir de 3 tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls.

*    Notez l'écriture des nombres décimaux montrant un éventuel cycle.

 

 

Applications: somme des puissances

 

*    Les nombres de Bernoulli apparaissent en tant que coefficients dans la formule donnant la somme des puissances d'ordre quelconque.

*    On connait les formules donnant la somme des entiers, des carrés, des cubes … Bernoulli (1713) voulait une formule générale quelle que soit la puissance m. La formule existe même si elle n'est pas simple.

 

*    On cherche à calculer:

*    La formule est la suivante:

 

Les deux nombres l'un sous l'autre entre parenthèses sont les coefficients du binôme (ou la quantité de combinaisons). Voir tableau ci-dessous pour développements.

 

*    Même formule mais avec somme abrégée et coefficients du binôme développés:

 

*    Les nombres de Bernoulli interviennent aussi dans la formule donnant la somme des inverses des puissances paires.

valable pour m  pair (car les Bernoulli impairs sont nuls à partir de 3) .

 

*    Appliquée aux carrés (m = 2) cette formule devient:


 

 

 

Somme des puissances de 0 à 10

 

Explications

Sk(n): Somme des nombres de 0 à n – 1, chacun porté à la puissance k.

Ainsi, S1(n) est la somme des entiers de 1 à n avec la formule connue: S = ½ (n – 1) n.

 

Exemple avec la somme des carrés:

Calcul direct de la somme des carrés :         

          S2(3) = 0² + 1² + 2²  = 5  (n étant la quantité de nombres y compris le 0)

Et, la formule ci-dessous donne bien:

          S2(3) = 1/3 (27) – ½ (9) + 1/6 (3) = 9 – 9/2 +1/2 = 5.

 

Formules

 

Voir Somme des puissances jusqu'à 20

 

 

 

Valeurs des sommes pour puissance k de 1 à 10  et nombres de m = 1 à 10  (avec m = n – 1)

 

Exemple: 1² + 2² + 3² + 4² = 30

 

Voir  TablesIndex

 

 

Fonction génératrice des nombres de Bernoulli

 

*    Les nombres de Bernoulli sont aussi les coefficients du développement en série de cette fonction


 

 

Convergence pour .

 

*    Pour les obtenir avec le logiciel Maple:

 

 

 

Algorithme d'Ada Lovelace

 

 

Document complet – Wikipédia

 

 

Voir Ada Lovelace et son algorithme / Les 15 plus importants algorithmes de l'histoire

 

Merci à Claude M.  pour sa contribution

 

Suite

*         Nombres de Bell

*         Nombres Boustrophédon

Voir

*         Nombres premiers réguliers

*         Nombres tangents

*         Formule de Stirling

*         Somme des puissances

Diconombre

*         Nombre – 0,5

*         Autres nombres

Site

*         The Bernoulli Number Page – Bernd C. Kellner

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDENOM/Bernoull.htm