NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

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Logarithmes

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sur les puissances

 

Glossaire

Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Somme de puissances

Carré somme de cubes

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Fermat pour n = 4  (démonstration)

Fermat pour  n = 3 (démonstration)

http://s1.lemde.fr/image/2013/05/14/534x0/3198804_5_1316_timbre-francais-a-l-effigie-de-pierre-de_c14c113f0f0d0d5d903ad0e4aff4c481.jpg

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Théorème de Fermat – Wiles

>>> Fermat et les Simpsons

>>> Historique

>>> Wieferich

>>> Démonstration - Principe

>>> Généralisation

>>> Amusement

 

 

 

 

 

 

Grand théorème de Fermat

ou

Dernier Théorème de Fermat

devenu

THÉORÈME DE FERMAT-WILES

aussi

Théorème de Fermat – Wiles – Taylor

Zn = Xn + Yn

 

PUISSANCE = SOMME DE 2 PUISSANCES

IMPOSSIBLE, sauf pour les carrés

 

*  Fermat dit qu'il en a la preuve. Ce qui est extrêmement peu probable.

*  La démonstration pour de nombreuses valeurs particulières de n existe.

*  Mais, nombreux sont ceux qui se sont attaqués à la démonstration générale, en vain.

*  Wiles a réussi (1993), mais avec l'arsenal des outils mathématiques les plus avancés d'aujourd'hui.

*   Sa démonstration fait des incursions dans diverses rubriques très pointues des mathématiques modernes,.

Anglais:   Fermat's Last Theorem (FLT)

 

 

 

APPROCHE

 

Pythagore: puissance 2

*      Le triplet de Pythagore le plus célèbre:

                             +                                    =                     

 

 

*      Il existe une infinité de triplets de Pythagore.

 

Fermat : puissance 3 et au-delà

*      Tentons notre chance!

            63               +               83                    =             93 – 1

          216              +             512                   =           729 – 1

 

*      Oui, mais raté … à un près!

*      Il n'existe pas de cas Fermat pour la puissance 3, comme pour toutes les autres plus grandes.

 

*      Autre cas célèbre: 93 + 103 = 1729 et 1728 = 123.  Voir Nombres Taxicab

 

 

 

 

THÉORÈME DE FERMAT – WILES

 

Puissances 3, 4 …

X3 + Y3 = Z3

X4 + Y4 = Z4

Etc.

Aucune solution (Voir démonstration)

 

 

La relation exprimée simplement:

 

Xn + Yn = Zn

N'A AUCUNE solution en nombres entiers pour n > 2.

 

 

Formulation précise

 

Si n est un entier supérieur à 2, l'équation

Xn + Yn = Zn

n'a pas de solution, avec X, Y, Z entiers non nuls

 

Formulation mathématique

 

Pour tout n > 2

 

n'a pas de solution pour

 

 

Exemples

 

*      Pour n = 2 : il s'agit des triplets de Pythagore.

Exemple : 3² + 4² = 5²

*      Pour n = 3 : on peut donner

13 + 13 = ( 32 )3 , mais 32 = 1,259… n'est pas un entier

 

 

 

Fermat et les SIMPSONS: 1 78212 + 1 84112 = 1 92212

 

Curiosité

Une égalité qui contredit le théorème de Fermat proposée par les Simpsons.

Où est la supercherie?

 

Calcul – C'est pourtant vrai …

Prendre votre calculette  avec dix chiffres significatifs et faites:

A + B =  1 78212 + 1 84112  et S = 1 92212

A = 1,025397835 e+39  (e+39 veut dire 1039)

B = 1,5158124229 e+39

A + B = 2,541210259 e+39

      S = 2,541210259 e+39

Ainsi:   1 78212 + 1 84112 = 1 92212

 

Explications – Finalement non!

Avec la calculette de votre ordinateur (ou même sur Google: tapez simplement 1782^12 dans la fenêtre de recherche et vous aurez le résultat immédiat).

A = 1,0253978356226336348075504629482e+39

B = 1,5158124229919555414811194951942e+39

A + B = 2,5412102586145891762886699581424e+39

      S = 2,5412102593148014108192786496437e+39

S – (A+B) = 0, 700 212 234 530 608 691 501 223 040 959e+30

La somme est presque juste. La différence est pourtant un nombre comportant 30 chiffres.

L'égalité est en fait:

1 78212 + 1 84112  = 1921,99999995586…12

Pour information A + B compte six facteurs:

A + B = 409 x 4793 x 7793 x 577513 x 17960641 x 16036943149450969

 

Un autre exemple des Simpsons tout aussi faux

3 98712 + 4 36512 = 4 47212

cette somme vaut en fait:

4472,000000007059290…12

 

Supercherie révélée  immédiatement avec la théorie des nombres

 

Explication 1: la parité d'un nombre élevé à une puissance est conservée.

*    Dans le premier cas: 1 78212 + 1 84112  = 1 92212 on a P + I = P ce qui est impossible.

*    Dans le second cas:  3 98712 + 4 36512 = 4 47212 on a I + I = P ce qui est possible.

 

Explication 2: divisibilité par 3 (qui est conservée lorsqu'on élève à une puissance).

Pour le deuxième exemple, les deux premiers termes sont divisibles par 3 alors que celui de la somme ne l'est pas. L'égalité ne peut pas tenir.

 

Voir Les nombres en 8000 par les Simpsons / Bender et Flexo les robots de Futurama

 

 

 

 

 

 

HISTORIQUE – Chronologie

1637

Pierre de Fermat

*    Il annote l'Arithmetica de Diophante , traduction de Bachet.

*    pas de cubes, pas plus que de puissances quelconques qui satisfassent l'équation.

*    j'ai une démonstration merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

1670

Clément Samuel

fils de Fermat

*    Publication de l'Arithmetica de Diophante avec les observations de Fermat.

Début 1800

Gabriel Lamé

*    Prétend avoir trouvé la solution.

1908

l'Université de Göttingen en Allemagne

*    Offre un prix de 100 000 marks à qui trouvera la démonstration avant 2007.

1968

Shimura- Taniyama -Weil

*    Conjecture STW: toute courbe elliptique provient d'une forme modulaire.

1970

Serres

*    Conjecture qui concerne les formes modulaires.

1985

Frey & Ribet

*    Conjecture de Frey démontrée par Ribet en 1986: si des courbes vérifient la conjecture STW, elles vérifient aussi la conjecture de Serre.

23 juin 1993

Andrew Wiles

*    Conférence annonçant la démonstration du théorème de Fermat.

Nov.1993

 

*    Rumeur concernant une défaillance dans la démonstration.

3 avril 1994

Noam Elkies

*    Il annonce avoir trouvé un contre-exemple à la conjecture de Fermat ou presque >>>

25 Oct.1994

Andrew Wiles

Richard Taylor

*    Mise à jour de la démonstration du Dernier théorème de Fermat : preuve finale.

Mai 1995

Andrew Wiles

*    Publication dans les Annals of Mathematics.

27 juin 1997

Andrew Wiles

*    Attribution du prix Wolfskehl de 50 000 $.

 

Presque Fermat

Noam Elkies a trouvé des cas où l'égalité de Fermat-Wiles est presque réalisée. Exemples:

        28010 + 30510 = 31610 (1 + 2,31 10-9)

3 472 0737 + 4 627 0117 = 4 710 8687 (1 + 3,63 10-22)

Même ce cas avec de plus petits nombres:

            135 + 165 = 175 + 12 = 155 (1 + 8,45 10-5)

      avec 13 + 16 = 17 + 12

 

 

HISTORIQUE (suite)

 

Historique:

*      Les démonstrations pour prouver cette relation jusqu'à n < 269 existaient en 1961.

*      Fermat, dans la marge du livre " Arithmétique " de Diophante, avait noté en 1637 qu'il avait découvert la démonstration mais n'avait pas la place de la noter.

*      Fermat avait sans doute vu des cas particuliers non évidents, ou autres, mais il est peu probable qu'il ait eu la solution complète.

*      La preuve a résisté à 350 ans d'efforts.

 

 

Découverte:

*      En 1993, Andrew Wiles publiait la démonstration générale en 151 pages.

*      Il reconnu immédiatement qu'il y avait une erreur.

*      Il a fallu 10 mois à A. Wiles et R. Taylor pour présenter une version améliorée, que les experts estiment correcte.

*      Seuls 200 mathématiciens au maximum au monde sont capables de saisir tous les détails de la démonstration.

*      La démonstration fait un long détour par la théorie des nombres et la géométrie algébrique pour se terminer par la preuve du théorème de Fermat.

*      Au passage, la démonstration laisse des démonstrations générales plus fortes et plus importantes dans ses applications.

*      C'est probablement la démonstration la plus épluchée de l'histoire des mathématiques.

 

Contributeurs

*      Quatre mathématiciens sont à l'origine de la réussite de Wiles

*      Gerhard Frey,

*      Jean-Pierre Serre,

*      Ken Ribet,

*      Richard Taylor.

 

Andrew Wiles: prix Abel 2016 >>>

 

 

En 1909, Wieferich démontre que :

 

Si

xp + yp = zp

admet une solution

avec p premier impair

qui ne divise pas x, y ni z …

 

… Alors

2p – 1  – 1  

est divisible par

Ce qui limite les recherches

Voir Nombre 1093 / Paires de Wieferich

 

 

DÉMONSTRATION – Principe

 

*      Cette preuve est fondée sur les propriétés des courbes elliptiques pour lesquelles Gerhard Frey, une dizaine d'années auparavant, avait montré la connexion avec le théorème de Fermat.

 

*      Il avait montré que les solutions de l'équation pour n > 2 engendraient une étrange classe de courbes elliptiques semi - stables, qui infirmaient une autre conjecture fameuse, la conjecture de ShimuraTaniyama – Weil (STW).

 

*      En 1986, Kenneth Ribe de l'université de Californie, prouva que si cette conjecture était vraie, au moins pour les courbes elliptiques semi - stables, alors le théorème de Fermat en découlait.

 

*      Lors de la première tentative, A. Wiles avait eu une approche " directe ", mais commettait une généralisation abusive.

 

*      Ce qu'il a corrigé en trouvant une voie détournée.

 

*      La démonstration suppose la consistance du système formel Zermelo-Fraenkel.

 

Pour information: une démonstration ultrasimple découlerait de la résolution de la conjecture ABC (annoncée en 2013).

 

 

  Voir Petit théorème de Fermat

 

 

Shimura – Taniyama – Weil (STW)

 

*    1994 – Démonstration du théorème de Fermat par A. Wiles y compris la conjecture STW sous une forme partielle (courbes elliptiques semi-stables).

 

*    2000 – Démonstration de la conjecture STW dans sa forme complète, suite à un travail d'équipe: Richard Taylor, Fred Diamond, Brian Conrad … y compris les français: Laurent Lafforgue, Loïc Mérel et Christophe Breuil, un jeune polytechnicien français qui a finalisé la démonstration.
 

 

 

GÉNÉRALISATION

 

 

Fermat suite…

*      De nombreuses applications des équations à la Fermat ont été développées.

*      En particulier, la conjecture de Dénes (1952) qui est devenue le théorème de Darmon et Merel (1995).

 

Xn + Yn – 2 . Zn = 0

Possible que pour X = Y quand n ³ 3

et solutions triviales: (1, -1, 0) (1, 1, -1)

 

Note

Cette relation est importante dans l'analyse des carrés magiques de nombres carrés 3x3 où la somme des sommets opposés vaut deux fois le nombre central: x² + y² = 2 z². >>>

 

 

Généralisation

Xn + Yn + Am . Zn = 0

 

*      Résolu pour A = 2 et m = 1: ci-dessus.

*      Résolu pour n > 10, m > 0 et certaines valeurs de A comme 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53, 59 par Darmon et Merel.

 

Autres équations

Xn + Yn =  Z2

Xn + Yn =  Z3

A.Xn + B.Ym =  C.Zp

 

*      Objet de recherches actuellement

 

Xn + 2Yn =  4Zn

 

*      Impossible pour n > 2 (X, Y, Z entiers positifs)

Assez facile à prouver (car pas de solution 2-adiques non triviales)

 

Cas du bicarré

 

422 4814 = 95 8004 + 217 5194 + 414 5604

 

*      Il existe une infinité de puissances 4, somme de 3 puissances 4

 

Retour à Somme de puissances / Voir Équations diophantiennes

 

 

AMUSEMENT – Contre-exemple

sans retenue!

Contre-exemple !

 

703 =

 

3

4

3

0

0

0

 + 2123 =

9

5

2

8

1

2

8

4623 =

9

8

6

11

1

2

8

 

  C'est le 11 qui ne manque pas de retenue …

 

Trouvé par Erich Friedman / Cité par Ed Pegg Jr

 

 

 

 

 

Suite

*    Démonstration via la conjecture ABC

*    Étude du cas des cubes

*    Fermat

*    Fermat pour E42

*    La conjecture de Fermat – Roman

*    Presque Fermat (à un près)

*    Somme de trois cubes – Cas de 33, 42, 74 et autres

*    Théorème de Fermat et Waring

*    Théorème de Mordell-Faltings

*    Triplets de Pythagore

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Cercle

*    Conjecture - Glossaire

*    Conjecture ABC

*    Conjecture de corrélation gaussienne

*    Conjecture de Poincaré (Théorème de Poincaré-Perelman)

*    Conjecture de Riemann

*    Conjecture d'Euler

*    Démonstration

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombre divisible par premiers

*    Nombres carrés

*    Nombres de Gauss généralisés comme tentative de solution

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Partition en somme de puissances

*    Partitions

*    Petit théorème de Fermat

*    Pythagore 

*    Somme multi puissantes

*    Théorie des nombres

*    TriangleIndex

*    Unité des puissances

Livres

*    La conjecture de Fermat – Jean d'Aillon – JC Lattès – 2006.

*    Le dernier théorème de Fermat - Simon Singh - Relate l'aventure de A Wiles - un film a été réalisé sur ce thème et par la même personne: S Singh

 

VOIR LE FILM EN FRANÇAIS >>>

 

*    Invitation aux mathématiques de Fermat - Wiles - Yves Hellegouarch - pour connaisseurs avec bonnes bases mathématiques

*    Qu'est-ce que l'Univers -  L'énigme du théorème de Fermat - Yves Hellegouarch - texte de conférence donnée en juin 2000

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThFermat.htm