NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/01/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Rubrique PARTITION INDEX PUISSANCES	Somme de puissances
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	Démonstration du théorème	Carré somme de cubes
	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Théorème de Fermat - Wiles >>> Historique >>> Wieferich >>> Démonstration - Principe >>> Généralisation >>> Amusement

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Grand théorème de Fermat

ou

Dernier Théorème de Fermat

devenu

THÉORÈME DE FERMAT-WILES

Zⁿ = Xⁿ + Yⁿ

PUISSANCE = SOMME DE 2 PUISSANCES

IMPOSSIBLE, sauf pour les carrés

Fermat dit qu'il en a la preuve

Nombreux sont ceux qui se sont attaqués à la démonstration, en vain.

Wiles a réussi, mais avec l'arsenal des outils mathématiques les plus avancés d'aujourd'hui.

Sa démonstration fait des sauts dans divers mondes des mathématiques

Anglais: Fermat's Last Theorem

APPROCHE
Pythagore: puissance 2 Le triplet de Pythagore le plus célèbre: 3² + 4² = 5² Il existe une infinité de triplets de Pythagore. Fermat : puissance 3 et au-delà Tentons notre chance! 6^3 + 8^3 = 9^3 – 1 216 + 512 = 729 – 1 Oui, mais raté … à un près! Il n'existe pas de cas Fermat pour la puissance 3, comme pour toutes les autres plus grandes.

THÉORÈME DE FERMAT – WILES

Puissances 3, 4 … X^3 + Y^3 = Z^3 X^4 + Y^4 = Z^4 Etc. Aucune solution La relation exprimée simplement: X^n + Y^n = Z^n N'A AUCUNE solution en nombres entiers pour n > 2. Formulation précise Si n est un entier supérieur à 2, l'équation X^n + Y^n = Z^n n'a pas de solution, avec X, Y, Z entiers non nuls Formulation mathématique Pour tout n > 2 n'a pas de solution ( X, Y, Z ) Exemples Pour n = 2 : il s'agit des triplets de Pythagore. Exemple : 3² + 4² = 5² Pour n = 3 : on peut donner 1^3 + 1^3 = ( ^32 )^3 , mais ^32 = 1,259… n'est pas un entier

HISTORIQUE – Chronologie
1637	Pierre de Fermat	Il annote l'Arithmetica de Diophante , traduction de Bachet. pas de cubes, pas plus que de puissances quelconques qui satisfassent l'équation. j'ai une démonstration merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
1670	Clément Samuel fils de Fermat	Publication de l'Arithmetica de Diophante avec les observations de Fermat.
Début 1800	Gabriel Lamé	Prétend avoir trouvé la solution.
1908	l'Université de Göttingen en Allemagne	Offre un prix de 100 000 marks à qui trouvera la démonstration avant 2007.
1968	Shimura- Taniyama -Weil	Conjecture STW: toute courbe elliptique provient d'une forme modulaire.
1970	Serres	Conjecture qui concerne les formes modulaires.
1985	Frey & Ribet	Conjecture de Frey démontrée par Ribet en 1986: si des courbes vérifient la conjecture STW, elles vérifient aussi la conjecture de Serre.
23 juin 1993	Andrew Wiles	Conférence annonçant la démonstration du théorème de Fermat.
Nov.1993		Rumeur concernant une défaillance dans la démonstration.
3 avril 1994	Noam Elkies	Il annonce avoir trouvé un contre-exemple à la conjecture de Fermat : poisson d'avril !
25 Oct.1994	Andrew Wiles	Mise à jour de la démonstration du Dernier théorème de Fermat : preuve finale.
Mai 1995	Andrew Wiles	Publication dans les Annals of Mathematics.
27 juin 1997	Andrew Wiles	Attribution du prix Wolfskehl de 50 000 $.

HISTORIQUE (suite)

Historique: Les démonstrations pour prouver cette relation jusqu'à n < 269 existaient en 1961. Fermat, dans la marge du livre " Arithmétique " de Diophante, avait noté en 1637 qu'il avait découvert la démonstration mais n'avait pas la place de la noter. Fermat avait sans doute vu des cas particuliers non évidents, ou autres, mais il est peu probable qu'il ait eu la solution complète. La preuve a résisté à 350 ans d'efforts. Découverte: En 1993, Andrew Wiles publiait la démonstration générale en 151 pages. Il reconnu immédiatement qu'il y avait une erreur. Il a fallu 10 mois à A. Wiles et R. Taylor pour présenter une version améliorée, que les experts estiment correcte. Seuls 200 mathématiciens au maximum au monde sont capables de saisir tous les détails de la démonstration. La démonstration fait un long détour par la théorie des nombres et la géométrie algébrique pour se terminer par la preuve du théorème de Fermat. Au passage, la démonstration laisse des démonstrations générales plus fortes et plus importantes dans ses applications. C'est probablement la démonstration la plus épluchée de l'histoire des mathématiques. Contributeurs Quatre mathématiciens sont à l'origine de la réussite de Wiles Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Ken Ribet, Richard Taylor.

En 1909, Wieferich démontre que :
Si x^p + y^p = z^p admet une solution avec p premier impair qui ne divise pas x, y ni z …	… Alors 2^p - 1 - 1 est divisible par p² Ce qui limite les recherches

Voir Nombre 1093 / Paires de Wieferich

DÉMONSTRATION – Principe

Cette preuve est fondée sur les propriétés des courbes elliptiques pour lesquelles Gerhard Frey, une dizaine d'années auparavant, avait montré la connexion avec le théorème de Fermat. Il avait montré que les solutions de l'équation pour n > 2 engendraient une étrange classe de courbes elliptiques semi - stables, qui infirmaient une autre conjecture fameuse, la conjecture de Shimura - Taniyama -Weil (STW). En 1986, Kenneth Ribe de l'université de Californie, prouva que si cette conjecture était vraie, au moins pour les courbes elliptiques semi - stables, alors le théorème de Fermat en découlait. Lors de la première tentative, A. Wiles avait eu une approche " directe ", mais commettait une généralisation abusive. Ce qu'il a corrigé en trouvant une voie détournée. La démonstration suppose la consistance du système formel Zermelo-Fraenkel.

Voir Petit théorème de Fermat

GÉNÉRALISATION

STW Pour sa démonstration Andrew Wiles n'a eu besoin que d'une partie de la conjecture (courbes elliptiques semi-stables). Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont réussi à prolonger la démonstration. C'est Christophe Breuil qui en 1999 a finalisé la démonstration. Fermat suite… De nombreuses applications des équations à la Fermat ont été développées. En particulier, la conjecture de Dénes qui est devenue le théorème de Darmon et Merel X^n + Y^n + 2 x Z^n = 0 Possible que pour X = Y quand n ³ 3 et solutions triviales: (1, -1, 0) (1, 1, -1) Généralisation X^n + Y^n + A^m . Z^n = 0 Résolu pour A = 2 et m = 1: ci-dessus) Résolu pour n > 10, m > 0 et certaines valeurs de A comme 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53, 59 par Darmon et Merel. Autres équations X^n + Y^n = Z^2 X^n + Y^n = Z^3 A.X^n + B.Y^m = C.Z^p Objet de recherches actuellement X^n + 2Y^n = 4Z^n Impossible pour n > 2 (X, Y, Z entiers positifs) Assez facile à prouver (car pas de solution 2-adiques non triviales) Cas du bicarré 422 481^4 = 95 800^4 + 217 519^4 + 414 560^4 Il existe une infinité de puissances 4, somme de 3 puissances 4

Retour à Somme de puissances

AMUSEMENT – Contre-exemple

sans retenue!

Contre-exemple !

70^3 =		3	4	3	0	0	0
+ 212^3 =	9	5	2	8	1	2	8
462^3 =	9	8	6	11	1	2	8

C'est le 11 qui ne manque pas de retenue …

Trouvé par Erich Friedman / Cité par Ed Pegg Jr

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Suite	Théorème de Fermat et Waring Fermat Triplets de Pythagore La conjecture de Fermat – Roman
Voir	Bi, tripartitions Cercle Conjecture - Glossaire Conjecture de Poincaré (Théorème de Poincaré-Perelman) Conjecture de Riemann Conjecture d'Euler Démonstration Nombre = sommes de puissances Nombre divisible par premiers Nombres carrés Nombres de Gauss généralisés comme tentative de solution Nombres polygones Nombres triangles Partition en somme de puissances Partitions Petit théorème de Fermat Pythagore  Somme multi puissantes Théorie des nombres Triangle – Index Unité des puissances
Livres	La conjecture de Fermat – Jean d'Aillon – JC Lattès – 2006. Le dernier théorème de Fermat - Simon Singh - Relate l'aventure de A Wiles - un film a été réalisé sur ce thème et par la même personne: S Singh VOIR LE FILM EN FRANÇAIS >>> Invitation aux mathématiques de Fermat - Wiles - Yves Hellegouarch - pour connaisseurs avec bonnes bases mathématiques Qu'est-ce que l'Univers - L'énigme du théorème de Fermat - Yves Hellegouarch - texte de conférence donnée en juin 2000
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThFermat.htm