NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Type de nombres

 

Débutants

Fraction

FRACTIONS

de somme égale à 1

 

Glossaire

Fraction

 

 

INDEX

Calcul

Approche

Exploration

Ordres 2, 3 & 4

Plus petite fraction

Propriétés

Ordre 5

Nombres bons

Jusqu'à 100

Ordre 6

 

Sommaire de cette page

>>> Ordre 2

>>> Ordre 3

>>> Ordre 4

>>> Ordre 5

>>> Théorie

 


 

 

FRACTIONS

Somme = 1

 

On cherche une somme de n fractions unitaire

dont la somme est égale à 1, et

dont tous les dénominateurs sont différents (U-Bon)

 

Exploration avec n = 2, 3, 4 et 5. >>>

Je veux savoir le résultat tout de suite >>>

 

 

 

 

ORDRE 2 (n = 2)

 

*       Avec 2 fractions, la cause est vite entendue. Il n'existe qu'une seule possibilité de faire une somme 1 avec 2 fractions.

 

1/2

1/2

1/2

1/3

 

 

*       Seule la somme 1/2 + 1/2 permet de faire un segment de longueur 1. En utilisant une fraction plus petite, on ne peut plus atteindre la longueur 1.

 

 

 

ORDRE 3 (n = 3)

 

*       Avec trois fractions, on a la possibilité de dépasser 1.

 

1/2

1/2

1/a

1/3

1/3

1/3

 

1/3

1/3

1/a

 

 

 

*       La somme 1/2 + 1/2 + 1/a est toujours plus grande que 1.

*       La somme 1/3 + 1/3 + 1/a est toujours plus petite que 1.

*       Seule la somme 1/3 + 1/3 + 1/3 vaut exactement 1.

 

Conclusion avec 1/3

*       Inutile de chercher des fractions avec un dénominateur supérieur à 3.

Par contre avec une fraction en 1/2, il y a sans doute des possibilités.

 

Suite avec 1/2

*       Partons de la relation avec deux fractions:

1/2

1/2

 

*       Conservons la première fraction ½ et décomposons la seconde. On trouvera facilement les deux seuls résultats suivants:

 

1/2

1/4

1/4

1/2

1/3

1/6

  

 

 

ORDRE 4 (n = 4)

 

Fractions en 1/4

 

*       Que peut-on faire avec 4 fractions?  n = 4 (ordre 4)

 

1/2

1/2

1/a

1/b

1/3

1/3

1/3

1/a

 

1/4

1/4

1/4

1/4

 

 

1/4

1/4

1/4

1/m

 

 

 

 

*       Le mécanisme se dessine:

*       Avec n fractions 1/n, la somme est 1.

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Premier nombre bon avec 4 fractions, et la somme vaut 4 x 4 = 4² = n².

*       Avec n – 1 fractions 1/n et une fraction plus petite 1/m, la somme n'atteint jamais 1. Il faut alors introduire une fraction plus grande que 1/n.

 

Soit le bilan suivant avec les dénominateurs nommés comme suit:

 

1/i

1/j

1/k

1/l

 

 

i

j

k

l

Somme minimale

Max pour i

4

4

4

4

16

 

La fraction la plus petite pour atteindre 1 en n fractions est 1/n et la somme minimale est n².

 

 

 

Fractions ½ + …

 

*       Avec n = 4, les deux possibilités sont i = 2 ou i = 3

 

Avec i = 2

 

*       La première fraction 1/2 étant imposée, il reste à couvrir la seconde partie de 1/2 en trois fractions

 

1/2

1/23

 

*       Première possibilité:  1/2 partagé en trois donne 1/6.

 

1/2

1/6

1/6

1/6

1/2

1/6

1/6

1/a

 

 

*       Toute quatrième fraction (1/a) ne permettra pas d'atteindre la somme 1.

 

 Soit le bilan suivant:

 

 

i

j

k

l

Somme minimale

Max pour i

2

6

6

6

20

 

 

 

Fractions 1/2 + 1/3 + …

 

*       Avec ces deux fractions, il manque 1/6 en deux fractions pour atteindre 1

 

1/2

1/3

1/6

 

*       Soit 2 x 1/12.

 

i

j

k

l

Somme minimale

Max pour i

2

3

12

12

29

 

 

 

 

Fractions 1/2 + 1/3 + 1/m ?

 

*       La somme 1/2 + 1/3 + 1/4 est supérieure à 1.
Cherchons la fraction pour une somme juste en-dessous de 1

 

1/2

+ 1/3

+ 1/4

= 1,08

 

 

 

+ 1/5

= 1,03

 

 

 

+ 1/6

= 1

 

 

 

+ 1/7

= 0,97

= 41/42

 

*       La troisième est 1/7 et la quatrième 1/42.

 

 

i

j

k

l

Somme minimale

Max pour i

2

3

7

42

54

 

 

 

 

BILAN pour l'ordre 4

 

*       On reprend les paramètres trouvés ci-dessus

 

 

i

j

k

l

Somme min.

Somme max.

max pour i

4

4

4

4

16

 

max pour j

2

6

6

6

 

 

max pour k

2

3

12

12

 

 

max pour l

2

3

7

42

 

54

 

*       Voici plusieurs nombres bons, dont le seul avec des dénominateurs différents (U-Bon) est le dernier.

 

*       Voici un programme qui explore ces possibilités pour i, j, k et l.

for i from 1 to  4 do

for j from i  to  6 do

for k from j to 12 do

for l from k to 42 do

  

   n:= i + j + k + l:
   r:=1/i + 1/j + 1/k + 1/l:

   

       if r = 1 then

           lprint(n, i, j, k, l):

       fi:

 

od:od:od:od:

Voir les Résultats / Programmation

 

 

 

ORDRE 5 (n = 5)

 

*       La fraction la plus petite pour atteindre 1 en 5 fractions est 1/5

 

i

j

k

l

p

max

5

5

5

5

5

 

*       Pour trouver le nombre U-Bon commençons par la fraction 1/2.

 

1/2

1/2

 

*       La fraction la plus petite pour atteindre 1/2 en 4 fractions est 1/8

 

i

j

k

l

p

max

2

8

8

8

8

 

*       Passons à la fraction 1/3 qui convient encore car la somme ne dépasse pas 1.

 

1/2

1/3

1/63

 

*       La fraction la plus petite pour atteindre 1/6 en 3 fractions est 1/18

 

i

j

k

l

p

max

2

8

18

18

18

 

*       On se souvient que: 1/2 + 1/3 + /1/6 = 1.

*       La fraction suivante ne sera ni 1/4, ni 1/5 , ni 1/6.

*       Avec 1/7: 1/2 + 1/3 + /1/7 = 41 /42.

*       Alors, la fraction manquante pour atteindre 1 est 1/42.
La fraction la plus petite pour atteindre 1/42 en 2 fractions est 1/84.

 

i

j

k

l

p

max

2

3

7

84

84

 

*       On trouve 1 exactement avec 1/2 + 1/3 + /1/7 +1/42

*       Pour être juste en-dessous de 1, on prend: 1/2 + 1/3 + /1/7 + 1/43

*       Alors, la fraction à couvrir est 1/1806

*       Soit, le bilan:

 

i

j

k

l

p

Somme min.

Somme max.

max

5

5

5

5

5

25

 

 

2

8

8

8

8

 

 

 

2

3

18

18

18

 

 

 

2

3

7

84

84

 

 

 

2

3

7

43

1806

 

1921

 

 

 

 

Théorie

 

*      Si nous avons trouvé une série de n fractions dont la somme est 1, comment trouver la fraction la suivante le plus petite.

*      Nous savons que nous devons retirer un chouia dans cette relation pour laisser la place à la quatrième fraction. Le dénominateur de la dernière fraction est diminué de 1.

*      Calculons l'écart en reprenant la valeur de 1 en n fractions.

*      En simplifiant de chaque côté

*      Le calcul est simple.

 

 

 

Suivante avec quatre fractions ?

 

 

 

 

 

*      Et d'une manière générale

 

a = k (k+1)

*      Ces valeurs croissent à grande vitesse!

 

        3      6                                                        

        4      42                                                      

        5      1806                                                  

        6      3263442                                            

        7      10650056950806                               0,10 1014

        8      113423713055421844361000442     0,11 1027

        9                                                                 0,12 1053 

        10                                                               0,16 10105  

        11                                                               0,27 10209 

 

 

 


 

Suite

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*    Ordre 2 à 4

*    Ordre 5

Voir

*    Fractions

*    Fractions égyptiennes

*    Fractions continues

*    Table des fractions égyptiennes

DicoNombre

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