NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Type de nombres

 

Débutants

Fraction

FRACTIONS

de somme égale à 1

 

Glossaire

Fraction

 

 

INDEX

Calcul

Approche

Exploration

Ordres 2, 3 & 4

Plus petite fraction

Propriétés

Ordre 5

Nombres bons

Jusqu'à 100

Ordre 6

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Mise en bouche

>>> Nombres bons

>>> Avec deux fractions

>>> Avec trois fractions

>>> Bons & parfaits

 

 

 

 

FRACTIONS

Somme = 1

 

Exemples (avec somme des dénominateurs à droite):

 

1 =

1/2 + 1/2

4

 

1/2 + 1/3 + 1/6

11

 

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42

54

 

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/78 + 1/91

181

 

 

 

Il en existe une infinité.

La somme des dénominateurs donne un nombre (4, 11 …).

Peut-on obtenir tous les nombres de la sorte ?

Non ! Les heureux élus sont les nombres bons.

 

 

 

APPROCHE

 

*       Peut-on trouver une solution à l'équation =>

 

*       Même question avec trois fractions =>

 

*       Et avec 4, 5 … ?

 

*       À partir de trois fractions, il existe de nombreuses configurations. Comment les caractériser? Pourquoi pas, par la somme des dénominateurs.

 

 

1 = 1/a + 1/b

Aucune avec a et b différents.

La seule solution est a = b = 2.

 

1 = 1/a + 1/b + 1/c

Oui!

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

On note: (2,  3,  6)

 

Suivants:

(2,  3,  7,  42)             >>>

(3,  4,   5,   6,  20)      >>>

(3, 4, 6, 10, 12, 15)    >>>

Voir Visualiser les fractions

 

Mise en bouche – Somme de fractions

 

 

*       Somme des premières fractions paires.

*       Dont une combinaison donne la somme 1.

 

 

 

*       Somme limite égale à 1 pour n tendant vers l'infini.

 

*       Propriété.

 

*       En reprenant la première formule et en remplaçant. Les fractions adjacentes s'éliminent deux à deux.

 

 

 

 

 

La fraction 1/(n+1) tend vers la valeur 0 lorsque n tend vers l'infini, et la somme tend vers 1.

 

    Voir Fractions en 0,5

 

 

NOMBRES BONS

 

Nombres bons

 

*       Un nombre bon est un nombre qui ayant une partition,

la somme des inverses des termes de la partition est égale à 1.

 

n = a + b + c + …

 

1/a + 1/b + 1/c + … = 1

 

Exemples

  4 = 2 + 2

1/2 + 1/2 = 1

11 = 2 + 3 + 6

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

25 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5

1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 1

 

 

Problème équivalent

*       Les fractions avec numérateur unité sont dites fractions unitaires

Trouver toutes les combinaisons de fractions égyptiennes donnant une somme égale à 1.

 

Types de nombres bons

 

Simplement

S – Bon

*      Aucune contrainte sur les termes.

Unique

U – Bon

*      Chaque terme est unique, jamais répété.

Impair

I  – Bon 

*      Les termes sont tous impairs.

Premier

P – Bon

*      Les termes sont tous Premiers.

 

 

 

Voir fractions égyptiennes /  Nombres bons / Trois fractions uniatire

 

 

AVEC DEUX FRACTIONS

 

*       La plus grande fraction est bien évidemment ½. La valeur 1 est obtenue avec deux fractions ½.
Si on tente d'associer la plus grande 1/2 à la suivante, plus petite, 1/3, on ne peut plus atteindre la valeur 1.

 

À noter: multiplication

 

*       On peut formuler le problème sous la forme indiquée ci-contre.
Trouvez les nombres ayant cette propriété.

 

 

 

1/2 + 1/2

= 1

& 2 + 2 = 4

1/2 + 1/3

= 5/6

inférieure à 1

 

4 est un nombre bon

et c'est le seul utilisant 2 fractions.

 

 

 

1/a + 1/b = 1

b + a = a.b

 

Seul 4 = 2 x 2
possède cette propriété.

 

 

AVEC 3 FRACTIONS

 

*       Les nombres 9, 10 et 11 sont des nombres bons d'ordre 3.

Seuls 9, 10 et 11 acceptent une partition ayant cette propriété.

 

1/2 + 1/3 + 1/6

= 1

2 + 3 + 6 = 11

1/2 + 1/4 + 1/4

 

2 + 4 + 4 = 10

1/3 + 1/3 + 1/3

 

3 + 3 + 3 =   9

 

Deux relations équivalentes

1/a + 1/b + 1/c = 1

a.b + b.c + c.a = a.b.c

 

 

 

 

BONS ET PARFAITS

Nombres bons

Nombres parfaits

Nbbon

 

Exemples

11 = 2 + 3 + 6

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

 

parfait

 

 

6 est divisible par 1,  2 et 3

1 + 2 + 3 = 6

Voir Nombres parfaits

 

 

 

Suite

*    Exploration

Voir

*    FractionsGlossaire

*    Fractions – Multiplication

*    Fractions égyptiennes

*    Fractions continues

*    Table des fractions égyptiennes

*    Sommes des inverses des chiffres

DicoNombre

*    Nombre 1

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