NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 17/05/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Débutants

Général

Type de nombres

 

DIAPORAMAS

 

Juniors

Découverte des fractions

 

 

Collèges

Calculs avec les fractions

FRACTIONS

 

Glossaire et Index

Fractions

Débutant

Dénominateur

Continues

Égyptiennes

OPÉRATIONS

Unitaire

Somme 1

Glouton

Comparaison

Règle de trois

Inverse

En N/999…

Construction

Illicites

Identités

Multiplication

Puissances

Zig Zag

Fractions  0,999…

De chiffres

 

INDEX

 

Fractions

 

Calcul

 

Sommaire de cette page

>>> Question avec 1/4

>>> Tartes

>>> Demi et quart

>>> Tiers, sixième, douzième

>>> Comparaison

>>> Calculs élémentaires

>>> Simplification

>>> Simplification singulière

>>> Jeux

>>> Jeux de fractions avec de lettres

Le coin académique

>>> Définitions et propriétés des fractions

>>> Opérations avec les fractions

 

 

 

 

 

FRACTIONS

Introduction pour débutants 

Inévitable tarte à partager … Une fraction de tarte c'est une part de tarte ou plusieurs parts de tartes, la tarte étant partagée (fractionnée) en deux, trois, quatre, huit ou autres.

Diverses manières de présenter la même fraction 3/2 (trois demis)

Voir Fractions en diaporama, niveau collèges (métaphore de la bête à pattes)

Cours de 5e  / Évaluation de CM1

 

 

Réponse à une question de primaire (10 ans) pour se lancer

Question: Combien ça fait un quart de 80?

Réponse: Imagine que tu as 80 cartes dans ta main et que tu veux les donner à tes quatre copains et copines, mais il faut autant de cartes pour chacune. Alors comment faire?

Tu donnes d'abord 10 cartes à chacun. Il te reste encore des cartes. Alors tu en donnes encore 10. Tu as donné les 80 cartes et chacun en a 10 + 10 = 20.

Tu constates que chaque enfant a reçu 10 + 10 = 20  cartes.

Donc 80 divisé par 4 = 20. Normal car  4 x 20 = 80.

Les enfants sont 4. Alors, chaque enfant à reçu un quart des 80 cartes. On écrit:

 

 

 

TARTES

 

*      On se réfère toujours à la part de gâteau ou de tarte pour aborder la notion de fraction.

Moi et ma sœur avons décidé d'être sages; nous gardons la moitié de la tarte pour demain et nous partageons à parts égales la deuxième moitié. Aujourd'hui, nous nous régalons avec un quart de tarte chacun.

 

*      Nous voyons sur ce simple schéma se dessiner quelques relations entres fractions  

 

 

 

Voir Partage de la tarte en parts égales

 

 

Demi et quart

 

*      Nous sommes habitués à lire l'heure sur une horloge. Nous faisons facilement la lecture d'une demi-heure ou d'un quart d'heure.

 

*      Nous savons que l'heure compte deux demi-heures.

*      Et qu'il y a quatre quarts d'heures dans une heure.

Une demi-heure, c'est 30 minutes. Car, une heure de 60 minutes divisée en deux, cela donne bien 30 minutes. Un quart d'heure, c'est une heure coupée en quatre; soit 60 / 4 = 15 minutes.

 

 

 

Récréation

Que vaut la moitié de la moitié?

C'est une moitié de tarte qui est encore coupée en deux parts égales. Ce qui donne un quart de tarte.

 

La moitié du tiers, c'est un sixième.

Le tiers du tiers, c'est un neuvième.

Les deux tiers du tiers, c'est deux neuvièmes.

 

Calculez la moitié de deux tiers de trois quarts. Réponse à droite et illustration ci-dessous.

 

 

 

 

Tiers, sixième, douzième

 

*      Nous pouvons également visualiser le tiers d'heure.

*      L'horloge est divisée en douze graduations; chaque secteur d'une graduation correspond donc à un douzième d'heure.

*      Un secteur de deux graduations fera un sixième.

 

 

*      Voici quelques calculs avec les fractions dont les résultats se lisent sur les horloges:

 

On n'utilise pas beaucoup le tiers d'heure dans le langage courant; on parle de 20 minutes; en effet, 60 / 3 = 20. On ne dit jamais un douzième d'heure, mais 5 minutes (60 / 12 = 5). Par contre, cette visualisation à travers l'horloge est commode pour visualiser quelques fractions et les relations entre-elles.

 

 

attention.png   Attention

Ne pas confondre la fraction 1/3 (un tiers de tarte) avec le nombre décimal 0,3 qui, lui, représente la fraction 3/10. Dans le système décimal, les nombres avant la virgule sont plus forts de 10 en 10; alors que, derrière la virgule, ils sont moins forts de 1/10 en 1/10. Ainsi 0,3 peut également se lire: trois dixièmes. 0,03 sera trois centièmes.

Voir Nombres décimaux

 

 Notation

La notation  peut être déroutante car, pour une fois, c'est le signe plus (+) qui est sous-entendu.

Cette notation exprime d'abord la quantité d'entiers suivie d'une fraction dont la valeur est inférieure à 1. Par exemple:

On retrouve bien l'entier 7 suivi de la fraction 3/5 qui vaut 0,6 en notation décimale.

 

 

 

Comparaison

 

*      Nous sommes prêts pour quelques comparaisons. Quelle est la "distance" entre un quart, un tiers, un demi et deux tiers?

 

*      Nous allons utiliser une horloge avec sa division en douze parties. Chaque division représente 1/12 du disque.

 

Pour passer d'une fraction à la suivante, il faut simplement ajouter 1/6 ou 1/12.

 

 

 

 

 

 

 

 

Illustration des "distances" entre fractions.

Suite Comparaison avec fractions égyptiennes

 

 

Le saviez-vous?

 

Il est toujours possible de transformer une fraction unitaire (1/n) en somme de deux fractions dont les dénominateurs sont n+1 et n(n+1).

Par exemple:

 

Dit autrement: l'écart entre une fraction (1/n) et la suivante (1/(n+1)) est égal à la fraction dont le dénominateur est égal au produit des deux dénominateurs.   

 

Suite en Fractions égyptiennes / Partition et inverses / Série en 1/(2x3)

 

 

Calculs élémentaires

 

*      Visuellement, nous savons ajouter et soustraire ces fractions. Mais comment calculer le résultat.

*      Un truc: diviser tout le monde de manière à calculer avec des portions égales. On appelle cette opération: mettre ou réduire au même dénominateur.

*      Le nombre en haut d'une fraction est le numérateur; celui en bas est le dénominateur.

 

Soit à calculer:

Sur le dessin ci−dessus, nous lisons la réponse: 1/12.

 

Calcul:

On divise tout en douzièmes de manière à ne calculer qu'avec les mêmes parts de 1/12.

 

 

C'est comme si nous avions des objets de même unité: le douzième de part.

Il suffit de compter ces douzièmes:

soit 4 auxquelles je retranche 3; il reste 1.

Ou, en posant l'opération complète:

 

Avez-vous remarqué que les nouveaux numérateurs (4 et 3) sont égaux aux anciens dénominateurs inversés (3 et 4) ?

Mnémotechnique: en bas c'est le type de fraction, son nom, sa dénomination;

en haut c'est le nombre de parts, son numéro.

 

Oups! Doucement! Plus d'explications sur le passage au même dénominateur

 

 

*      On se lance avec une somme de trois fractions …

 

Une fraction ne change pas de valeur si on multiplie son numérateur  et son dénominateur par le même nombre.

 

 

 

 

 

Réduction au même dénominateur (fractions de même type). On pourrait utiliser les portions de 1/12. Mais avec 1/6 c'est suffisant. En effet:

 

 

Ce faisant, les trois fractions sont en sixièmes de tarte. Nous pouvons procéder au calcul de la somme de ces portions de 1/6:

 

 

 

*      Florilège

 

Une fraction ne change pas de valeur si on divise son numérateur  et son dénominateur par le même nombre (sauf par 0).

 

 

 

Une somme au numérateur peut être dédoublée en deux fractions de même dénominateur. Exemple ci-contre avec 23/12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarques

Choix du dénominateur-résultat: c'est le produit de tous les dénominateurs. Mais, il est possible de simplifier le calcul par la connaissance du plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs élémentaires.

*    Dans le troisième exemple ci-dessus, au lieu de faire le produit des nombres (2 x 3 x 4 x 5 = 120), nous nous sommes limités à  60 qui est le PPCM de ces nombres.

*    Dans l'exemple suivant: PPCM (2, 3, 4, 5, 6) =  60, c'est bien le dénominateur minimum. La fraction est ultérieurement simplifiable du faut que la somme des numérateurs donne ici une nombre divisible par 3.

Voir Calcul d'une expression avec des fractions (métaphore de la bête à pattes)

– Diaporama pour comprendre une fois pour toute!

 

 

Simplification (Réduction)

 

*    Deux demi-parts, c'est une part:

 

*    Quatre demi-parts, c'est deux parts:

 

 

 

 

*    Observez que dans les deux cas, le numérateur a été divisé par de dénominateur.

 

 

 

 


 

*    Dans la majorité des cas, le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur.

*    Par contre, il est souvent divisible par un facteur du dénominateur.

 

 

Ainsi les fractions 9/6 et 3/2 sont égales.

 

 

*    Pour simplifier une fraction, il suffit de "retirer" les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

*    Le facteur commun est appelé "Plus Grand Commun Dénominateur" (PGCD).

*    La fraction finale est appelée: fraction simplifiée ou fraction minimale ou fraction irréductible.

 

 

 

 

 

Voir Fractions versus méthode de la  fausse position

 

 

 

Simplification singulière

 

Exemples avec simplifications à ne jamais faire, mais qui, ici, marchent …

 

 

 

 

Explication

 

 

Voir Formation des nombres

 

 

Un motif répété en numérateur, un autre motif répété autant de fois au dénominateur

et la fraction est égale à la division des motifs.

Voir Fractions illicites / Décomposition des nombres / Pannumériques en fractions

 

  

 

 

JEUX

 

Poursuivre le calcul de la somme des inverses jusqu'à n:

 

n                   Somme                                en décimal

2                   1 / 2                                       0,5

3                   5 / 6                                       0,833333333

4                   13 / 12                                  1,083333333

5                   77 / 60                                  1,283333333

6                   29 / 20                                  1,45

7                   223 / 140                              1,592857143

8                   481 / 280                              1,717857143

9                   4609 / 2520                         1,828968254

10                 4861 / 2520                         1,928968254

11                 55991 / 27720                     2,019877345

12                 58301 / 27720                     2,103210678

13                 785633 / 360360                2,180133755

14                 811373 / 360360                2,251562327

15                 835397 / 360360                2,318228993

16                 1715839 / 720720              2,380728993

17                 29889983 / 12252240       2,439552523

18                 10190221 / 4084080          2,495108078

19                 197698279 / 77597520     2,547739657

20                 40315631 / 15519504       2,597739657

 

 

 

Devinette

Trouvez un nombre tel que sa moitié plus son quart plus son septième plus 3 redonne ce nombre.

 

 

Problème qui nous vient de l'Antiquité (École de Pythagore).

 

Nous aurions pu tout aussi bien prendre une autre suite de fractions s'approchant de 1 par défaut.

Notez que la première et la dernière donne 19/20; normal: 1/3+1/6 = 1/2.

 

 

 

Jeux de fractions avec de lettres (cryptarithme)

 

Trouvez la valeur de "FRACTION". Chacune des neuf lettres représente un chiffre différent (cryptarithme).

 

Ce mot forme un nombre, de même que tous les groupes de lettres, comme TA.

 

Tous les chiffres sont utilisés sauf le 0.

 

FRACTIONS

 

Les lettres sont telles que:

 

Première observation

 

On sait que:

F x F  = F² = R => 2² = 4 ou 3² = 9

Ce sont les seules possibilités d'obtenir un carré inférieur à 10.

F = {2 ou 3} et R = {4 ou 9}

Égalité suivante

F x R = A

2 x 4 = 8 oui

2 x 9 = 18  non (doit être inférieur à 10)

3 x 4 = 12 non

3 x 9 = 27 non

F = 2; R = 4 et A  = 8

Suivante,

sachant que les chiffres qui restent disponibles sont: {1, 3, 5, 6, 7 et 9}.

 

F x O = C

2 x 1 = 2 non

2 x 3 = 6 oui

2 x 5 = 10 non

etc.

O = 3 et C = 6

Reste à placer: {1, 5, 7 et 9}.

Inspection de la fraction TA / N.

F = TA / N

2 = T8 / N

2 = 18 / 9

T = 1 et N = 9

Fraction en TR avec {5 et 7}.

F = TR / S

2 = 14 / S

S = 7

Dernière fraction avec {5}.

2 = IF / FC
2 = I2 / 26

I = 5

La solution est unique.

FRACTIONS = 248615397

Voir Pannumérique (nombres avec tous les chiffres une seule fois)

 

 

 

 

Le coin académique

Définitions et propriétés des fractions

 

Opérations avec les fractions

On peut multiplier ou diviser en haut et en bas par le même nombre

On ne peut pas ajouter ou soustraire en haut et en bas par le même nombre

Simplification

Voir PGCD

Même dénominateur

(MD)

Addition et soustraction nécessitent la mise au même dénominateur

Addition

(Après MD)

Soustraction

(Après MD)

Addition de fractions égales

Les multiplications sont finalement très simples

Multiplication

Division

Puissance

Toujours simplifier les fractions lorsque cela est possible
Attention: ne jamais diviser par zéro!

Voir Exercices d'entraînement

 

 

 

 

Suite

*    Multiplication de fractions

*    Division de fractions

*    Fractions illicites

*    Fractions amusantes

*    FractionsGlossaire et index

*    FractionsDécouverte Junior

*    Fractions en 6e

*    Fractions en 5e

*    Fractions en 4e (Révision générale – Diaporama)

*    Fractions en 1/k et nombre 17

*    Sac de patates

Voir

*    Autres fractions avec les chiffres du nombre

*    Fractions égyptiennesTables

*    OpérationsIndex

*    Règle de trois

*    Les tiers de Pagnol

Aussi

*    CalculsInitiation

*    Comment déjouer les pièges de calcul

*      Calculs avec les horloges

*    Horloge

*    Jeux, énigmes …

*    Motifs

*    Moyenne et série harmonique

*    Nombres magiques

*    Pépites

*    Suite harmonique

DicoNombre

*    Demi

*    Tiers

*    Quart

*    Nombre 49

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Fraction/FracDebu.htm