NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 04/07/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Dénombrement
Débutants Dénombrement	Autour d'une TABLE RONDE				Glossaire Combinatoire
INDEX Dénombrement	3 personnes	4 personnes	5 personnes	6 personnes
		Sommaire de cette page >>> 3 personnes (libres) >>> 3 personnes voisines une seule fois >>> Énigme: repas entre amis

À TROIS autour d'une TABLE RONDE

Combien de possibilités pour disposer les convives.

Le cas à trois constitue une initiation.

Nous en profitons pour inclure une énigme qui traite des proximités à table.

Il existe de nombreux problèmes de disposition de personnes autour d'une table quelle soit linéaire (comme un grand banc), ou rectangulaire (avec des personnes de chaque côté) ou bien encore ronde.

Le dénombrement des possibilités d'arrangements devient vite compliqué. À la main dans les cas où le nombre de personnes est faibles (1 à 5); avec ordinateurs pour des cas de 6 à 10 ou 12 personnes); et avec la théorie

En résumé

Quantité de dispositions avec k convives (k personnes):

Sur un banc (ou table en ligne): k! = 1 x 2 x 3 … x k

Autour d'un table ronde: (k – 1)! = 1 x 2 x 3 … x (k – 1)

3 personnes (libres)
Table en ligne (banc ou table en U) Trois convives. Combien de repas pour couvrir toutes les possibilités de placements de ces convives le long de la table? C'est un arrangement: Je choisis le premier: 3 possibilités; Je choisis le deuxième: 2 possibilités; Le troisième prend la dernière place; Soit 3 x 2 x 1 = 3! = 6. 3 ! se lit factorielle 3.	N = 3 ! = 6 Voici les 6 arrangements ABC BAC CAB ACB BCA CBA
Table en rond Trois convives. Combien de repas pour couvrir toutes les possibilités de placements de ces convives le long de la table? C'est un arrangement particulier! Pourquoi? Il y deux possibilités en échangeant deux des convives; "A" reste en place et "B et C" s'échangent; Mettre "A" ailleurs ne change pas les dispositions de voisinage.	N = 2 Voici les 2 arrangements ABC ACB Notez que dans le cas de la table ronde: ABC, BCA et CAB sont identiques quant au voisinage des convives. Peu importe que A (par exemple) soit à l'une ou l'autre des trois places.

3 personnes voisines une seule fois
Table en ligne Trois convives. Combien de possibilités de placements sachant que chaque ne peut avoir le même voisin qu'une seule fois? C'est un arrangement très particulier: Une seule possibilité; Mais les deux du bout ne sont jamais voisins.	H1 H2 H3 OUI H1 H3 H2 Non H2 H1 H3 Non etc. N = 1
Table en rond Trois convives. Combien de possibilités de placements sachant que chaque ne peut avoir le même voisin qu'une seule fois? Une seule possibilité: Chacun, cette fois est voisin des deux autres.	H1 H2 H3 H4OUI H1^24 H3^24 H¹ 1234 NON N = 1
S'en persuader! Parmi les 6 arrangements, il est curieux de n'avoir qu'un seul cas de disposition à voisinage unique. En rouge le voisinage 1, 2 et en vert le voisinage 2, 3. Les cinq permutations, hors la premières sont ainsi éliminées.	Toutes les permutations [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] Permutations sans voisinage avec distance unité [1, 2, 3]

Repas entre amis
Problème Un repas entre amis sur une table ronde. Choix entre viande ou poisson. Sept (qui ont choisi) "viande" ont à leur droite un "viande" aussi Douze "viande" ont à leur droite un "poisson". Les trois-quarts des "poissons" ont à leur droite un "viande". Combien d'amis à ce repas?	Solution Il a quatre types de situations selon qui est à droite: V – V: ils sont 7; V – P: ils sont 12; Aucune autre possibilité pour les V: ils sont 19. P – V: ils sont les ¾ de p; P – P: ils représentent ¼ de p. Les P – P sont intercalés dans une chaine P – P – P (ou plus de P) car tout V intermédiaire est déjà compté. Les P – V sont aussi nombreux que les V – P. Ces ¾ sont égaux à 12: 3p/4 = 12 soit p = 16. Alors les P – V seraient 12 et les P – P seraient 4 en version minimum. Total des amis: 19 + 16 = 35. On vérifie que le dernier (P) boucle bien sur le premier (V). C'est un des ¾ de P – V.
Illustration Pour se convaincre, voici la solution en tableau. Les sept V – V; Suivi de douze V – P; Avec douze P – V intercalés; Le dernier boucle bien sur le premier (doublé en bleu). Quatre P – P sont intercalés où on veut. Ensemble ou dispersés.

D'après: La bosse des maths – La Dépêche – 26/03/2014

Suite	Quatre autour de la table Rondes sociales
Voir	Combinatoire – Panorama Combinatoire
Aussi	Dénombrer – Index Compter Énigmes – Index Énigmes sur les familles
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