NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Table

Tournois en double

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Bilan

>>> Golfeurs

>>> Le problème des écolières

 

 

 

 

TOURNOIS - Olympiades

 

Comment organiser un tournoi. Un casse-tête. De nombreux cas, de nombreuses possibilités. Attention, jamais les mêmes adversaires, mais tous les adversaires … Quelles sont les possibilités?

Un tour d'horizon avant de se lancer à leur résolution.

 

50764.gif Les organisateurs de tournois sont tentés de résoudre ce type de problème sans être avertir de  la complexité. L'organisation de tournois pour lesquels une équipe doit rencontrer chacun de joueurs du tournoi est généralement insoluble.

Des tables (tables de Berger) récapitulent les cas possibles.

Il existe aussi des logiciels qui aident à la planification de tournois.

Anglais: Tournament, contest, meeting / Tournament scheduling

 

 

Approche

*      Organiser un tournoi de tennis pour trois personnes paraît assez simple:

*      Alex joue contre Bob

*      Alex joue contre Cathy

*      Bob joue contre Cathy

 

*      Remarquez qu'il s'agit des permutations:

AB, BA, AC, CA, BC, CB

sans tenir compte de l'ordre: AB, AC, CA.

*    La quantité de matchs pour n joueurs est égale à:

Q = ½  n(n-1)

 

Il s'agit de la somme des entiers
de 1 à n – 1,
comme le montre le tableau en triangle ci-contre pour six joueurs.

Avec trois joueurs, trois matchs: AB, AC, BC.

Avec quatre joueurs, six: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Avec cinq joueurs, dix matchs:

AB, AC, AD, AE

       BC, BD, BE

             CD, CE

                   DE

 

 

Le problème d'organisation des tournois se complique lorsqu'on parle d'équipes dont chaque joueur d'une équipe doit rencontrer chaque joueur de l'autre et que …

Nous devons minimiser à la fois le nombre de courts utilisés et le nombre de jours de matchs.

 

Avec l'exemple de deux équipes de trois joueurs, il y aura trois matchs par jour sur trois cours et cela durera trois jours.

 

 

Tennis avec deux équipes de trois joueurs

 

Ce carré latin montre l'organisation des matchs sur trois jours (et trois courts). Trois, car le premier joueur A1 affronte B1, B2 et B3 en trois matchs successifs (J1, J2 et J3).

 

 

Encore un peu plus casse-tête!

Comment organiser la promenade des enfants au cours de l'année de sorte que, en rang par deux, chaque enfant se retrouve à côte d'un autre à chaque sortie?

 

C'est la célèbre énigme de la promenade des demoiselles posées par Édouard Lucas pour laquelle il propose une méthode de résolution originale. En anglais: schoolgirls problem

 

Bilan

De manière basique, on distinguera trois grands types de tournois:

*       n joueurs (ou n équipes constituées) s'affrontent. Le perdant est éliminé de la suite du tournoi. Cas des matches éliminatoires.

*       n joueurs (ou n équipes constituées) s'affrontent. Chacun rencontre tous les autres séparément. C'est le tournoi en double.

*       n équipes de k personnes. Par exemple: 20 personnes sur 4 tables; combien de repas peut-on organiser de sort que personne ne se retrouve à la même table qu'un autre? C'est la ronde sociale.

 

Le cas du tournoi en double est résolu avec la méthode Kirkman >>>

Le cas de la ronde sociale n'est résolu que dans certains cas particuliers >>>

 

Dans la réalité, les tournois présentent d'autres contraintes (comme affronter deux fois ses concurrents). Des logiciels sur Internet proposent de mettre au point les tournois avec vous.

 

 

Les golfeurs

Exemple de ronde sociale faisable.

Vingt golfeurs souhaitent jouer en équipe de quatre sur cinq jours.

Chaque joueur joue une seule fois contre chacun des autres.

 

Voir Solution pour seize golfeurs

Source: Social golfer problem – Wolfram MathWorld

 

 

Le problème des écolières

Autre exemple de ronde sociale faisable.

Quinze écolières sortent chaque jour en rang par trois.

Sur la semaine, aucune des filles ne doit ne retrouver plus d'une fois sur le même rang que les autres.

C'est aussi le problème de quinze golfeurs jouant par trois.

 

Source: Kirkman's schoolgirl problem – Wolfram MathWorld

 

 

Suite …

L'organisation de rondes sociales est un problème ardu, voir infaisable.

Voici un autre exemple: organisation de repas lors d'un séminaire: 100 convives sur 10 tables de 10. Organiser les tables pour le maximum de repas de façon telle que les convives ne se retrouvent pas plus d'une fois avec un convive déjà vu sur sa table.

 

 

 

 

Suite

*      Organisation de tournois par équipes 

*        Organisation de tournoi avec ronde par deux

Voir

*      Abeille

*        Croix pannumérique

*      Hitler

*      Illusions d'optique

*      Jeux et énigmes - Index

*      Méandres

*        Méthode de la fausse position

*        Nombres de parties

*      Nombres premiers en croix

*      Papier plié

*      Partage – Énigmes classiques

*      Personnes autour de la table

*      Quantité de personnes qui se connaissent

*      Réseaux d'amis – Le petit monde

*      Système d'équations

DicoNombre

*      Nombre 2

*      Nombre 8

*      Nombre 15

Sites

*      La promenade des demoiselles – Factorisation du graphe complet – Jean-Paul Davalan

*      Table de Berger – Wikipédia

*      Social golfer problem – Math Games – Ed. Pegg Jr – 2007

*      Autres sites

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Combin/Tournois.htm