NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Commentaire numérique

>>> Table

>>> Commentaire en lettres

>>> Propriétés

>>> Stabilité

>>> Cycles

>>> Historique

 

 

 

 

 

Suite de nombres dite

du COMMENTAIRE NUMÉRIQUE

 

Suite de nombres comportant une autoréférence.

Elle mixte nombre et quantité de nombres.

 

Anglais:    Likeness sequence / Audioactive decay (terme de Convey)

                 Look-and-say sequence

Allemand: Gleichniszahlen-Reihe  (terme de Hilgemeier)

 

 

 

COMMENTAIRES NUMÉRIQUES

 

*      Il s'agit d'une suite de nombres très déroutante, mais très amusante une fois connu le truc.

 

Une suite mystérieuse

 

                   1           11           21             1211          111 221         ?..

 

 

*      Paradoxalement, moins on dispose de connaissances, plus facile est sa résolution. Il faut chercher simple! Un élève de CP est capable de résoudre ce mystère.

*      Cette suite se trouve également dans le livre de Bernard Werber " Le Jour des Fourmis " sous la forme d'une énigme dont la solution n'est révélée qu'au milieu de l'ouvrage.

 

La clé du mystère

 

*      La suite correspond à l'énumération orale des chiffres successifs, lus de gauche à droite, en regroupant les chiffres identiques consécutifs.

*      Ayant posé le 1, je lis qu'il il a un 1, et j'écris 11.

*      Je lis à nouveau: il y a deux 1, et j'écris 21.

*      etc.

*      Le nombre qui manque en haut est donc: 312211

 

Autre écriture pour comprendre le truc

 

1, 11,     21,        1211,          111221, 312211 …

1, un 1, deux 1, un 2 un 1,  trois 1 deux 2 un 1 …

 

La suite

 

1

11

21

1211

111221

312211

13112221

1113213211

31131211131221

13211311123113112211

11131221133112132113212221

3113112221232112111312211312113211

 

*      À quand l'apparition du chiffe 4?

*      Peut-on donner la formule donnant le terme d'ordre n?

 

 

 

Exemples de lecture

 

Données

Lecture

Écriture numérique

123

*    Un 1, un 2 et un 3

11  12  13

111222333

*    Trois 1, trois 2, trois 3

31  32  33

313233

*    On peut aussi commenter un commentaire déjà fait

13 11 13 12 23

1311131223

*    Et recommencer jusqu'à l'infini

11133113112213

 

*      Taux d'expansion des commentaires numériques: 1,303 577... 
Soit 30% d'expansion en moyenne à chaque nouveau commentaire.
Constante de Conway, unique racine positive d'un polynôme de degré 71.

 

Explications illustrée

 

 

COMMENTAIRE NUMÉRIQUE – Liste

*    1

Il y a un " 1 ", on écrit: 11 sur la ligne suivante.

*    11

Il y a deux " 1 ", on écrit: 21

*    21

Il y a un " 2 " puis un " 1 ", soit 12 11.

*    1211

Etc.

*    111221

*    312211

*    13112221

*    1113213211

*    31131211131221

*    13211311123113112211

*    11131221133112132113212221

*    3113112221232112111312211312113211

 

 

 

COMMENTAIRE EN LETTRES

*    U

 

*    UN U

Il y a 1 U

*    UN U UN N UN U

Il y a 1 U, 1 N et 1 U

*    UN U UN N UN U UN U ...

Etc.

 

Illustration

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

n

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

n

u

u

n

n

u

n

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

n

u

u

n

n

u

n

u

u

n

u

u

n

n

u

n

n

u

n

u

u

n

n

u

n

u

 

Autre forme

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

n

u

u

n

n

u

n

u

u

n

u

u

n

n

u

n

n

u

n

u

u

n

n

u

n

u

 

*      On trouve un motif du type: Poussière de Cantor asymétrique

 

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Générales

 

*      Le plus grand nombre de la séquence est 3. Jamais de 4.

 

*      La séquence 333 jamais présente (inexistante jusqu' la rangée 33).

La preuve: supposons que 333 soit en position n pour la première fois, ce 333 voudrait dire qu'il y a aussi trois 3 avant, ce qui est contradictoire.

 

*      Les "1" prédominent, alors que les "3" sont relativement rares.

 

*      La proportion de chacun des 3 nombres (1, 2 & 3) semble stable.

 

 

Big-bang numérique

 

*      Le big-bang numérique, c'est l'expansion infinie de cette suite. À partir du UN, on obtient une expansion infinie de taux: 1,303 577 269 03... solution d'une équation de degré 71.

*      D'un terme à l'autre, la taille de la suite est multipliée par ce nombre, soit une augmentation exponentielle de 30%. Au rang 27, on obtient déjà 2 012 chiffes. Cette propriété est vraie quelle que soit la valeur de départ, sauf pour 22 qui est un noyau stable et d'ailleurs le seul cycle fini.

 

 

   

STABILITÉ

 

Les éléments stables

*      En observant les nombres de la suite, on peut les décomposer en éléments stables et éléments instables. Il y a 92 éléments stables.

*      En effet, certains nombres N sont la concaténation de deux morceaux G et D qui dans la suite des commentaires numériques n'interférerons plus jamais entre eux.

 

*      Alors le nième commentaire de N sera la concaténation du nième commentaire de G et du nième commentaire de D.

 

Exemple: N = GD (partie gauche et partie droite)

 

G =11132

D = 13211

Tous les commentaires suivant se termineront par 2.

Aucun des commentaires suivants ne commencera par 2.

311312

1321131112

11131221133112

11131221

3113112211

13211 3212221

La fin est toujours 2.

Le début revient de manière cyclique.

 

*      Les nombres qui ne peuvent pas être décomposés de la sorte sont appelés des atomes. Il y en a 92 qui restent présents dans la suite au cours de son évolution.

*      À partir d'un certain moment, l'évolution consiste en la transformation de ces atomes les uns en les autres selon des règles immuables, sorte de bouillonnement complexe mais parfaitement réglé. L'abondance des atomes tend vers certaines valeurs fixes.

  

 

CYCLES

 

Commentaires cycliques

 

*      Le couple " 2 2 " est la seule suite finie qui soit égale à son commentaire.

*      Il n'existe pas de suites numériques infinies qui, lorsqu'on en fait le commentaire, soient égales à elles-mêmes.

*      Il existe 4 suites cycliques d'ordre 3: suites dont le quatrième commentaire redonne la suite initiale.

*      Ou autrement dit: ces nombres infinis sont exactement égaux au commentaire du commentaire du commentaire d'eux-mêmes.

 

Commentaire de suite finies

 

9 3 1 2 1 9

On donne la quantité des chiffres dans l'ordre croissant: il y deux 1, il y a un seul 2 …

21 12 13 29

On dénombre à nouveau chaque chiffre

31 32 13 19

Etc.

Ces suites ne sont pas infinies, elles donnent un cycle.

 

Exemple en partant de 1

1

11

21

1112

3112

211213

312213

212223

114213

31121314

41122314

3122134

21322314

21322314

Idem

 

 

 

HISTORIQUE

 

*      Suite décrite pour la première fois par l'Allemand M. Hilgemeir.

*      Mais c'est John Conway – célèbre pour son invention du jeu de la vie - qui a traité en profondeur ces suites de "commentaires numériques infinis ".

 

 

 

Voir

*    Miroir

*    Nombres Magiques

*    Pannumériques

*    Suite de nombres

*    Suites classiques

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*    Nombre 111

*    Nombre 2211

Site

*    OEIS A005150 - Look and Say sequence: describe the previous term!

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