NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres à motifs

 

Débutants

Général

PANNUMÉRIQUES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Motifs

 

Magie

 

Chiffres

 

Pannumériques

Nombres & Carrés PN

Produits PN

123 456 789

381 654 729

PN & Repdigits

Somme Pannum.

Fractions minimales

 100 et autres pannum.

Semi-pannumériques

Pannumériques divisibles

Problème CE2 Vietnam

n avec tous les chiffres

Anneaux Olympiques

Fractions

Carré magique 3x3

Pi et e en pannumérique

 

Sommaire de cette page

>>> Unités des puissances

>>> Pannumériques qui le restent par division

>>> Quelques jeux pannumériques

>>> Nombre 123 456 789

>>> Analyse des pannumériques

>>> Curiosités avec 123456789

>>> 102345698 7 896543201

>>> Carrés magiques pannumériques

>>> Formule donnant les pannumériques

>>> Multiplications pannumériques

>>> Somme algébrique des chiffres

>>> Pannumériques premiers

>>> Fractions pannumériques

>>> Jeux de premiers pannumériques

 

PN: Pannumériques

 

 

 

 

 

NOMBRES PANNUMÉRIQUES

ou PANDIGITAUX

Pangrammes numériques

 

 Source d'amusements

 

 

Nombre formé de tous les chiffres, avec ou sans le 0.

Il en a 362 880  sans le 0 et 3 628 800 avec le 0.

 

Le pannumérique (direct)                        123456789

Le pannumérique retourné                       987654321

Un pannumérique sans 0 (nonnentien)     321456987

Un pannumérique avec  0 (décantien)     3214569870

Le plus petit avec un zéro                       1023456789


Voir  Écriture des chiffres

Anglais: pandigital numbers / nine digits or ten digits

 

Amusement

Sérotonine, prononcé à l'anglaise: zero to nine (de 0 à 9).

Sans doute la sérotonine préserve la bonne humeur de ceux qui utilisent les chiffres de 0 à 9!

Voir Pensées & humour / Sérotonine

 

Amuse-bouche

 

Exemple d'une opération pannumérique avec 100 pour résultat

  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 x 9) = 100   >>>

 

Exemple d'opération pannumérique simple:  98 765 + 1 234 = 99 999

 

Pannumérique min et max:  987 654 321 – 123 456 789 = 864 197 532

La différence est un nouveau pannumérique

987654321  = 9 + 8 x 123456789   >>>

 

Année pannumérique

>>>

Phrase à initiales pannumériques

         Un derviche tourneur qui        cuisinait sans  sel     habitait notre demeure

         Un deux         trois          quatre  cinq          six      sept  huit         neuf   dix

 

Carré de repunit pannumérique

19² = 111111111²  = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1      >>>

 

Puissance d'un même nombre

183 =     5 832 &   184 = 104 976

692 =     4 761 &   693 = 328 509

 

Racines

1 3621/2 = 36,90528417…

2 0171/3 = 12,63480759…   >>>

 

Divisibilité

1 274 953  680 / 16 = 79 684 605

                           / 15 = 84 996 912

                             Divisible par tous les nombres de 2 à 16.

Nombre de la Bête

666  = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89
         = 123 + 456 + 78 + 9

         = 21 + 543 + 6 + 87 + 9   >>>

Chanson

634-5789 Six three four five seven eight nine est un titre des Blues Brothers (Eddie Floyd et Steve Cropper). Chanté également par Wilson Pickett, Bruce Springsteen, Otis Redding, Tina Turner.

 

Voir  Nombres consécutifsIndex  / Racine carrée des nombres pannumériques étendus

 

 

 

Unités des puissances

 

*    Les puissances 5 produisent des nombres ayant toutes les unités possibles dans l'ordre. Vrai aussi pour les puissances 5, 9, … 5 + 4k.

 

*    En présence d'une puissance cinquième, l'unité de la racine est la même:

Exemples:

125 = 248 832

135 = 371 293

145 = 537 824

 

 

*    Les cubes produisent des nombres ayant toutes les unités possibles. Vrai aussi pour les puissances 7, 11, … 3 + 4k.

*    En présence d'un cube, si son unité est:

*           0, 1, 4, 5, 6, 9 le chiffre des unités est le même;

*           2, 3, 7, 8         le chiffre des unités est le complément à 10.

 

Exemples:

    175 616 est le cube d'un nombre qui se termine par 6 ( 563)

1 860 867 est le cube d'un nombre qui se termine par 3 (1233)
 

 

Les unités des puissances impaires (n1, n3, n5 ...) sont celles du nombre, sauf pour les puissances n3+4k et les unités 2, 3, 7 et 8 où elles sont en compléments à 10.

 

 

 

Curiosité

Égalité pannumérique exploitée pour donner une valeur pannumérique de e avec une très grande précision.

 

 

Pannumériques qui le restent par division

Ces six nombres pannumériques, divisés par 2, produisent des nombres pannumériques sans le 0 et, ces nombres divisés par 9 éliminent le 9.

Voir Nombre 1 037 246 958 / Pépites

 

 

 

QUELQUES JEUX PANNUMÉRIQUES

 

Opérations pannumériques

 

Nonentiennes

Opérations avec tous les chiffres une fois sauf le zéro

 

174 + 3 x 58 = 6 x 29

 

2 x 78 = 4 x 39 = 156

 

12 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

 

361, 529, 784 carrés de 19, 23 et 28

 

(9/12) + (7/68) + (5/34) = 1 (unique solution avec ce motif)

 

14368485 = 3 x 5 x 17 x 29 x 29 x 67 (deux fois les chiffres)

 

Les neuf produits pannumériques nonentiens

Voir Produits pannumériques

 

 

Décantiennes

Opérations avec tous les chiffres une fois avec le zéro

 

1 x 26 x 345 = 8970

 

2 x 14 x 307 = 8 596

 

3 x 5 694 = 17 082

 

7 x 4093 = 28651

 

40578660 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 17 x 89 x 149 (deux fois les chiffres)

 

9 814 072 356 = 99 0662

1 026 753 849 = 32 0432

 

Note:

103 = 2 + 5 + 7 + 89  tous les nombres sont premiers, mais cette configuration n'est pas pannumérique: manque le 4 et le 6.

 

Nom des opérations et certains exemples donnés par Louis Thépault

 

 

 

SUITE

 

Fraction pannumérique

 

 

Triangle Pannumérique

*    Tous les chiffres une seule fois.
Somme sur les trois côtés égale 17.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

6

 

4

 

 

 

8

 

 

 

9

 

2

 

5

 

7

 

3

 

Somme Pannumérique

900 =

 

+

+

135

276

489

Somme pannumérique

de 3 nombres

 

*    107 + 249 = 356;   235 + 746 = 324 + 657 =  981; 
134 + 586 = 720;  134 + 568 = 702; 138 + 269 = 407

Solutions de Dudeney

Escalier Pannumérique

*    Escalier avec tous les chiffres

9

3

1

 

 

 

 

8

 

 

 

 

4

7

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

6

 Sommes des marches et paliers = 13

 

 

Croix Pannumérique

 

Problème

Avec tous les chiffres

Faire la même somme sur la croix.

 

 

1

 

 

 

6

 

2

 

7

 

 

 

3

 

 

 

8

 

4

 

9

 

 

 

5

 

 

 

Solution

3

 

 

 

5

 

6

 

4

 

 

 

9

 

 

 

8

 

7

 

1

 

 

 

2

 

Cette solution est en plus très symétrique:

Somme 9 dans chaque branche

Soit la somme des chiffres de 1 à 9 = 5 x 9 = 45

 

 

Neuf Pannumérique

 

9 = 97524 / 10836
9 = 95823 / 10647
9 = 95742 / 10638
9 = 75249 / 08361
9 = 58239 / 06471
9 = 57429 / 06381

 

 

Voir Jeux

 

 

Devinette pannumérique simple

Trouvez le pannumérique ABCDEFGHI (sans le 0) tel que:

A = 2G

B = E + G

C = 2k

D > E

E = I²

F = H3 + I3

G = H + I

 

Solution

 

 

Carrés magiques pannumérique

Ce carré 3x3 est magique en n'utilisant que des nombres pannumériques.

Découvert par Carlos Rivera

 

 

 

Ce carré 3x3 est lui aussi pannumérique, avec en plus une somme magique pannumérique.

Découvert par Carlos Rivera

 

 

Ce carré 4x4 est pannumérique avec somme pannumérique.

Découvert par Kurchan

 

 

De nombreuses configurations de quatre cases donnent la somme magique dont les neufs carrés de 2x2.

 

Voir Autres carrés magiques pannumériques

 

 

 

 

Formule donnant les pannumériques

 

               n       N = 10n+1 – 10 – 9n            N / 81                                N – N précédent

               1       81                                       1                                       1

               2       972                                     12                                     11

               3       9963                                   123                                   111

               4       99954                                 1234                                 1111

               5       999945                               12345                               11111

               6       9999936                             123456                             111111

               7       99999927                           1234567                           1111111

               8       999999918                         12345678                         11111111

               9       9999999909                       123456789                       111111111

 

 

Voir  Suite

 

 

Multiplications pannumériques

 

 

1

x 0,1234567890123456789 =

0,123456789 0123456789

2

0,246913578 0246913578

3

0,370370367 0370370367

4

0,493827156 0493827156

5

0,617283945 0617283945

6

0,740740734 0740740734

7

0,864197523 0864197523

8

0,987654312 0987654312

9

1,11111110 11111111101

10

1,234567890 1234567890

 

 

 

Lecture: 123456789 x 8 = 987654312 et en lui ajoutant 9 = 987654321

 

Suite >>>

 

Zéro?

 

*    Est-il possible d'atteindre 0 en formant une somme algébrique des chiffres de 1 à 9?

*    La somme simple:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

 

*    Un exemple de somme algébrique:

1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8 + 9 = 1

 

*     Il n'est pas possible d'obtenir une somme algébrique nulle. pourquoi?

*      La somme algébrique des nombres pairs donne une somme paire;

*      Par contre, la somme algébrique des cinq nombres impairs est un nombre impair;

*      Au bilan, un pair plus (ou moins) un impair donne un résultat impair.

 

 

La somme algébrique des chiffres de 1 à 9 est toujours impaire.

 

Voir Sommes algébriques pannumérique - Table

 

 

 

 

Pannumériques premiers ?

 

*    D'abord: tous les nombres formés avec une permutation des neuf chiffres est divisible par 9, car la somme des chiffres (45) est divisible par 9.

Divisibilité des nombres partiellement pannumériques

 

*    La majorité des nombres formés par la succession des chiffres sont composés. Le tableau donne le nombre de chiffres (rang), le nombre en soulignant que l'unité est la même que celle de son rang).

*    La colonne de droite montre le premier facteur.  Mis à part les divisibles par 2 ou par 3, ce premier diviseur n'est pas évident. Voyez pour 7 chiffres où l'on trouve 127. En effet: 1234567 = 127 x  9721.


 

*    On trouve rapidement des facteurs monstrueux, comme celui du 27e nombre pannumérique. Et toujours aucun nombre premier. Sur la table suivante tous les divisibles par 2 ou 3 ont été supprimés.

Suite en Pannumériques partiels

 

 

 

Fractions pannumériques

 

Faire une fraction réduite avec une fraction composée des neuf chiffres.

 

Ces configurations sont plus nombreuses qu'on l'imagine. Par exemple, on compte 12 possibilités de faire la fraction 1/2.

 

Pour les fractions de 1/2  à 1/25

On donne la fraction, la quantité de fractions et toutes les fractions si elles existent. Aucune possibilité avec 1/10 ou 1/11. Une seule fraction avec 1/18 et elle vaut: 1593 / 28674.

Exemple pour chacune des fractions

 

Pour la fraction 1/2,  il existe douze configurations possibles; comme avec 1/5 d'ailleurs

 

Un record de 46 configurations est atteint avec la fraction 1/8.

Voir Jeux pannumériques

 

Racines pannumériques

 

Si on prend la racine des nombres, quels sont ceux dont les dix premiers chiffres sont pannumériques? Deux races: les bons (B) avec tous les chiffres de 0 à 9 et les arrondis (A) qui ont tous les chiffres mais après avoir effectué l'arrondi.

 

Valeurs pour N de 1 à 10 000 et racine carrée à racine dixième (R)

 

Deux valeurs de la racine: arrondis à 10 décimales puis à 12 pour comparaison.

 

Les BONS sont notés en jaune.

Voir Nombre 2017, comme année 2017

 

 

 

 

Jeux de premiers pannumériques

 

Question

Trouver un jeu de n nombres premiers formés de tous les chiffres de 1 à 9. La somme des premiers devra est la plus petite possible.

 

Exploration

Nombres à un chiffre: 2, 3, 5, 7.

Nombres à deux chiffres:

- unités: 1, 3, 7, 9, et

- dizaines: 4, 6, 8 obligatoirement.

 

Recherche de la somme

Trois nombres à deux chiffres obligatoires: en 40, 60 et 80. Soit six chiffres utilisés.

Pour minimiser la somme, on prend les trois plus petits nombres à un chiffre: 2, 3 et 5. Reste 1, 7 et 9 en unité des nombres à deux chiffres.

 

 

40, 60 et 80 en dizaines

1, 2, 3, 5, 7, 9 en unités

 

Leur somme:

2 + 3 + 5 + 1 + 7 + 9 + 40 + 60 + 80 = 207

 

 

Quatre solutions

Les combinaisons des dizaines et des unités, si ces nombres sont premiers (en rouge, les nombres composés) =>

 

 

Essai avec 2, 5, 7 comme unités: une seule possibilité

 

 

Somme 207

 

2, 3, 5, 41, 67, 89

2, 3, 5, 41, 69, 87

2, 3, 5, 47, 61, 89

2, 3, 5, 47, 69, 81

2, 3, 5, 49, 61, 87

2, 3, 5, 49, 67, 81

 

2, 5, 7, 41, 63, 89

2, 5, 7, 41, 69, 83

2, 5, 7, 43, 61, 89

2, 5, 7, 43, 69, 81

2, 5, 7, 49, 61, 83

2, 5, 7, 49, 63, 81

 

Sommes suivantes  (exemples)

 

2, 5, 11, 43, 67, 89 => 217

2, 5, 13, 41, 67, 89 => 217

2, 5, 13, 47, 61, 89 => 217

2, 5, 17, 43, 61, 89 => 217

2, 5, 13, 43, 67, 89 => 219

2, 5, 13, 47, 67, 89 => 223

2, 5, 17, 43, 67, 89 => 223

 

Note: avec seulement 8 chiffres au lieu de 9

 

2, 3, 5, 7, 41, 89 – le 6 manque

2, 3, 5, 7, 61, 89 – le 4 manque

 

 

 

Devinette pannumérique – Solution

Énigme

Trouvez le pannumérique ABCDEFGHI (sans le 0) tel que:

A = 2G

B = E + G

C = 2k

D > E

E = I²

F = H3 + I3

G = H + I

 

 

Solution

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

E = I²

 

 

 

D>E

4

 

 

 

2

F = H3 + I3

 

 

 

 

4

9

 

1

2

G = H + I

 

 

 

 

4

9

3

1

2

A = 2G

6

 

 

 

4

9

3

1

2

C = 2k

6

 

8

 

4

9

3

1

2

B = E + G

6

7

8

5

4

9

3

1

2

Retour

Énigme citée dans:  Méga – 600 jeux et énigmes – Éric Berger, Pascal Guichard, Michèle Lecreux et Clémence Roux de Luze

– Hors Collection – 2012

 

 

 

Suite

*    Voir haut de page

*    Carré magique 3x3

*    Cent en somme pannumérique

*    Cent et autres pannumériquesIndex

*    Croix numérique

*    Divisions des pannumériques et des retournés

*    Grille des chiffres de 1 à 8 – Énigme 

*    Nombres carrés et pannumériques

*    Nombres pairs dans une liste pannumérique

*    Nombre 123456789

*    Nombre 123 456 789 x 9 = 1 111 111 101

*    Puzzle pannumérique vietnamien

*    Sommes 3 3 3 pannumériques

*    Sommes de premiers pannumériques

*    Valeur de e avec les neuf chiffres

Voir

*    Nombre phénix ou de Lewis Carroll

*    Nombre magique 142857

Aussi

*    Anagramme de chiffres

*    Carré des nombre en 11, 101 …

*    Carré latin pannumérique

*    Chiffres en miroir

*    Croix pannumérique

*    Jeux – Index 

*    Nombre têtu

*    Nombres consécutifs

*    Nombres zèbre

*    Rep-Digit

*    Rep-Unit

*    Somme de 1 à 100

*    Sommes dans figures

*    Sommes pannumériques premières

*    Triangle magique pannumérique

DicoNombre

*    0,5 en chiffres

*    100 en chiffres

*    1000 en chiffres

*    Carré et cube pannumériques

*    Carré pannumérique

*    Carrés pannumériques

*    Curiosité avec 1234…

*    Nombre 207

*    Sommes des consécutifs

*    Soustraction pannumérique

*    Suite 0,1234....

*    Suite 1234...

Sites

Voir le site complet sur ce sujet de Patrick De Geest

*    The Nine Digits Most Recent Page
with some Ten Digits (pandigital) exceptions

*    Magic squares and pandigital numbers – Carlos Rivera

*    Nine to One – Maths Puzzle Mall

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/PanNum.htm

 

 

Renvois de liens

 

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