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Débutant

DicoMot

DicoNombre

Fonction AFFINE

Fonction LINÉAIRE

DROITE

 

 

Approche

*        C'est Euler qui utilisa ce mot pour décrire deux figures ressemblantes, deux figures qui avaient des "affinités".

*        En géométrie, les transformations (translation, rotation, symétrie) font passer d'une figure à une autre.

*        Une transformation affine est telle que:

*         une droite est transformée en une droite (il suffit de transformer deux points d'une droite pour dessiner son image;

*         deux droites parallèles restent parallèles une fois transformées;

*         deux segments de même longueur restent de même longueur; et

*         le milieu d'un segment demeure le milieu du segment transformé.

Exemple

*        Transformation du rectangle rouge. Les coordonnées de son image (le rectangle bleu) sont données par la correspondance:

*         abscisse image = double de l'abscisse d'origine; et

*         coordonnée image = moitié de l'ordonnée d'origine.

 

 

 

Pourquoi la nécessité de ces deux mots ?

 

Linéaire

test

y est proportionnel à x

y = a . x

 

Affine

d2

La croissance de y est

proportionnelle à celle de x

(y1 – y2) = a . (x1 – x2)

 

La fonction affine est une généralisation de la fonction linéaire.

 

Une fonction affine f fait correspondre à une variable x son produit par un coefficient a, auquel on ajoute une nombre b

 

 

Ne pas confondre avec:

AFFIXE

Le complexe z = a + ib est appelé affixe du point M de coordonnées (a; b)

Le point M est appelé image du complexe z

 

 

Définitions

FONCTION AFFINE

*        C'est l'équation de la droite: y = a.x + b

y est une fonction affine de x

Voir équation du premier degré

  

*        Soit a et b deux nombres fixés

La fonction qui à un nombre x

fait correspondre le nombre ax + b

est appelée fonction affine

        
Notation x   a.x + b

Fonction linéaire

C'est une fonction affine particulière pour laquelle b = 0
Notation x
  a.x

Fonction constante

C'est une fonction affine particulière pour laquelle a = 0
Notation x
  b

 

 

ESPACE AFFINE

*        Aucun point de cet espace n'est privilégié

L'espace affine euclidien est l'espace ordinaire de la géométrie

L'espace affine est une forme d'espace plus simple que le précédent,

tel qu'il est tout de même possible d'y émettre des propriétés

 

 

SUITE AFFINE

*        Suite de la forme: Un+1 = a. Un + b

 

 

SYSTÈME AFFINE

*        Système d'équation de la forme

a11 . x1 + … + a1p . xp = b1
a21 . x1 + … + a2p . xp = b2

an1 . x1 + … + anp . xp = bn

 

 

 

Équation de la droite

 

*    Nous souhaitons établir l'équation de la droite D passant par les points M et P.

 

 

 

Voici les trois méthodes expliquées pas à pas.

 

 

Méthode 1 – avec l'aide d'un graphe

 

*    Équation générale de la droite.

 

 

y = ax + b

*          La partie en ax témoigne de la progression de y en fonction de x.

 

Si x progresse de 6, je constate que y progresse de 3. Alors si x progresse de 1, y progressera de ax = 0,5.

Donc a  = 0,5

 

*         La constante b indique la valeur de y lorsque x = 0 (point R).
Si x = 0 alors y  = b.

Pour x = 0, je lis la valeur de y sur le graphique: y = b = 2

*    L'équation de la droite est alors:

y = 0,5 a + 2

*    Je vérifie avec le point Q pour lequel y = 0.

 

0       = 0,5 a + 2

0,5 a =

       a = – 2 / 0,5

       a = – 4

 

 

Méthode 2 – analytique (sans graphe)

 

*    Équation générale de la droite.

 

 

y = ax + b

*      La droite passe par les points M (4, 4) et P (10, 7). L'équation de la droite doit être vérifiée pour ses deux points.

M     4 =   4a + b

P      7 = 10a + b

*    Système de deux équations à deux inconnues. Par simple soustration l'une de l'autre, la constante b s'élimine.

 

4 =    4a + b

7 =  10a + b

3  =   6a

 

*    La valeur de a est immédiate.

a = 3/6 = 0,5

*    La valeur de b est obtenue en reprenant une des deux équations.

4 = 4 x 0,5 + b

b = 4 – 2 = 2

 

Méthode 3 – algébrique ou directe

 

*    Équation générale de la droite.
Note: certaines parenthèses ne sont pas indispensables.

 

 

*      Application numérique

*    Calculs

 

y – 4 =  (x – 4)

y = 0,5 x – 0,5 x 4 + 4

y = 0,5 x + 2

 

Voir Équation cartésienne de la droite  et exemples

 

 

Exemple

*        Le tarif d'abonnement à Internet est constitué d'un abonnement mensuel  de 10 euros et d'un prix à la connexion de 2 euros par heure.

*        Pour calculer le prix que je dois payer à la fin du mois, il faut multiplier le nombre x d'heures de connexion par 2 et ajouter 10.
Soit la formule P = 2x + 10

La fonction qui, à x heures, fait correspondre le prix total est  notée:
x   2x + 10

Ce type de fonction est une fonction affine

Origine

*        Affine vient du latin adfinis ou affinis: voisin, limitrophe

Regiones adfines barbaris: les régions voisines des barbares

Tuus adfinis: ton parent par alliance

 

 

 

Anglais

Linear function

In real analysis, a linear function is a function f such that
f(x) = a.x + b for all x in R,
where a and b are real numbers with, normally, a
 0

 

Linear equation

A linear equation in one variable x is an equation of the form
a.x + b = 0

 

Linearly dependent

A set of vectors u1 , u2 … un is linearly independent if
x1 . u1 + x2 . u2 + … +  xn . un = 0
holds only if x1 = 0, x2 = 0 …  xn = 0

Otherwise, the set is linearly dependent

En savoir plus

 

*           Fonction affine

*           Espace affine

*           Équations

*           Droite

*           Système linéaire et non -linéaire

*           Droite de progression des carrés (dérivée)

 

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

Développement avancé

 

 

 

Définition mathématique

 

&

 

Représentation

FONCTION AFFINE ou APPLICATION AFFINE

 

*       Une fonction affine définie de R dans R  est de la forme générale f(x) = a.x + b
avec (a, b)
 R x R.

 

*       Sur le plan muni d'un repère cartésien,

la représentation graphique d'une fonction affine est

une droite passant par le point de coordonnées (0, b) et

de coefficient directeur a.

a est égal à la tangente de l'angle de la droite avec l'axe des x,

b est appelé l'ordonnée à l'origine.

 

 

*       Cas de b = 0

Si le coefficient b est nul, la relation y = a.x définit une relation linéaire.

Alors a est un simple coefficient de proportionnalité

La relation classique de la vitesse est une relation linéaire:

d = v.t (distance parcourue égale vitesse par temps).

*       Cas de b  0

Lorsque b n'est pas nul, ce sont les accroissements de y qui sont proportionnels aux accroissements de x.

Ainsi vu, on peut conclure que a est le coefficient de proportionnalité.

Généralisation

*       Une application affine E, attachée à l'espace vectoriel E0 ,

dans l'espace affine F, attaché à l'espace vectoriel F0 ,

*       est dite AFFINE

s'il existe une application linéaire L de E0 dans F0 et

un point a de E

tels que f(x + a) = L(x) + f(a)

pour tout x de E0

L est dite la partie linéaire de f.

 

 

 

Notion

ESPACE AFFINE

 

*       Dans un espace affine euclidien

les notions d'orthogonalité (angle droit), de distance ou de produit scalaire sont importantes.

Cercle et ellipse sont deux objets distincts.

C'est la géométrie classique que nous apprenons en classe.

 

*       Dans un espace affine (simplement)

ces notions ne sont pas utiles.

Cercle et ellipse sont deux objets qui ne sont pas distingués.

C'est une généralisation de la géométrie.

 

*       Alors, le but de la géométrie affine consiste à étudier les propriétés constantes dans cet espace "dépouillé".

On dit: rechercher les invariants du groupe.

 

*       Pris dans l'autre sens, c'est à dire: à partir de sa conception

Un espace "tout nu" n'a pas d'origine privilégiée.

Il faut choisir une origine pour définir un espace vectoriel (un espace dans lequel on peut se repérer).

Alors, en choisissant un vecteur d'extrémités données (un bipoint), il est possible de structurer cet espace: utilisation de la notion d'opérateur de translation.

C'est la notion d'espace affine.

 

PLAN AFFINE

 

*       d4Espace affine à deux dimensions: R²

Un élément (x, y) de R² est représenté par un point M, ou un vecteur OM.

Lorsque les éléments de R² sont considérés comme des points, on dit que R² est muni de la structure affine.

* R² est un espace affine souvent appelé plan affine ou plan.

 

 

 

 

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