NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉLÉMENTS de base

 

Débutants

Géométrie

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie 

Bases

Point

Droite

Plan

Parallèle

Perpendiculaire

Courbes

Égalité

Distance

Angle

 

Sommaire de cette page

>>> Postulat sur les droites

>>> Droite

>>> À propos de définitions en géométrie

>>> Propriétés

>>> Points sur la droite

>>> Équation de la droite

>>> Exemples

 

 

 

 

 

Une droite, c'est une chose qui se comprend immédiatement.

On embrouille l'esprit à chercher à la définir davantage.

Pascal (1623 - 1662)

Plus court chemin d'un cœur à un autre,

sa ligne droite doit s'inscrire dans un triangle.

Définition du string selon Philippe Bouvard

 

Dans divers arts, et principalement dans l'art d'écrire, le meilleur chemin entre deux points même proches n'a jamais été, et ne sera jamais, et n'est pas la ligne droite.

José Saramago    

Voir Pensées & humour

 

 

DROITES

  

*    La droite: pas  facile de définir une notion pourtant si évidente.

*    La pointe du crayon qui courre sur une feuille engendre une ligne.

*    Un fil de fer, une ficelle- donne une image de la ligne.

*    La circonférence du cercle, la ligne d'horizon sont des lignes courbes. Un mètre pliable est représentatif de la ligne brisée.

*    Le cordeau du maçon tendu entre deux clous est une bonne image de la ligne droite.

*    Le fil à plomb est représentatif de la ligne droite verticale.

*    La règle et le double-décimètre sont des instruments qui permettent de dessiner des lignes droites.

*    Sans confusion, la ligne droite est abrégée en droite.

Voir Expression avec le mot "droite"

 

 

POSTULATS sur les droites

 

*           Une droite est illimitée dans les deux sens.

*           Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.

*           Deux droites sont parallèles si elles sont dans le même plan et n'ont aucun point commun.

*           Par un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite –

Suite en Postulat d'Euclide.

 

 

DROITE – Définitions

Euclide

IIIe siècle av. J.-C.

*    Une ligne droite est celle qui est également répartie entre les points qui la constituent.

*    Une ligne est une longueur sans largeur.

*    Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle.

Autrement dit:

*    Par deux points, il passe une droite et une seule.

Archimède

287 - 212 av. J.-C.

*    De toutes les lignes ayant même extrémité, la ligne droite est l'ultime.

Autrement dit:

*    La ligne droite est la plus courte distance entre deux points.

Proclus

412 - 485

*    La ligne droite est cette ligne qui, lorsque ses extrémités demeurent fixes, reste elle-même fixe.

Roberval

1602 - 1675

Gauss

1777 - 1855

*    La ligne en laquelle se trouvent tous les points qui, lors de la révolution d'un solide autour de deux points fixes, restent invariants, est appelée ligne droite.

Larousse

*    La droite mathématique peut-être matérialisée par un fil tendu entre deux points ou par un fil à plomb.

*    On obtient ainsi le chemin le plus court entre les deux points.

Mathématiques

abstraites

*    On considère un ensemble appelé plan et désigné par P (la lettre grecque Pi majuscule).

*    Les éléments de cet ensemble sont appelés points et désignés par a, b, c…

*    Il existe dans le plan P des ensembles de points appelés droite et désignés par A, B, C

On pourrait rester en géométrie abstraite. C'est par commodité que l'on donne les noms de plan, droite et points

*    L'ensemble P contient au moins deux droites.

*    Toute droite A contient au moins deux points.²

*    Etc.

Moderne

*    On appelle droite  d'un espace affine tout sous-espace affine de dimension 1.

 

 

 

À propos de définitions en géométrie

 

Du temps de Lagrange, Laplace, Monge, Fourier … Vers 1795

Un élève

 

*    Le but d'une définition est de convenir entre soi de l'objet d'une discussion.

*    Lorsqu'un objet est simple, que tout le monde  en a le sentiment, sa définition est inutile.

Condillac

 

*    Les géomètres ont eu tord de définir le point.

*    Le point est une chose si simple, qu'elle n'a pas besoin de définition.

Monge

*    Lorsqu'au moyen de ces définitions on est convenu de ce qu'on doit entendre par points, par lignes et par surfaces.

non seulement il n'est pas contraire à la méthode la plus sévère de regarder

les surfaces comme engendrées par des lignes, et

les lignes comme engendrées par des points

mais cela devient indispensable.

  D'après Fourier par Jean Dhombres et Jean-Bernard Robert

 

Propriétés

Point intermédiaire

*    Entre deux points d'une droite, il y en a toujours un troisième.

Continuité

*    Une droite est continue, sans trou.

*    C'est une caractéristique essentielle de la droite.

Sécante

*    Dans un plan, deux points de part et d'autre d'une droite ne peuvent pas être réunis sans couper la droite.

Chemin

*    La droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

Alignement

*    Deux points sont toujours alignés.

*    Par deux points distincts ne passe qu'une seule droite.

*    Étant donnés deux points, il n'existe qu'une seule droite qui les contient.

Éclipse

*    Trois points ne sont que très exceptionnellement alignés.

*    Analogie avec le phénomène rare de l'éclipse: Soleil, Lune et Terre "alignés".

Trois cas pour deux droites dans un plan

 

 

 

 

Points sur la droite

 

*    La quantité de points sur une droite est infinie.

*    La quantité de points sur un segment est infinie.

*    Il y a autant de points sur une droite que sur un segment, même tout petit !

*    Il y a autant de points sur un petit cercle que sur un grand cercle.

 


 

 

Il y a autant de points sur le segment AB que sur la droite  d

et autant sur le demi-cercle ACB, d'ailleurs.

 

On trace OM puis CM'.

À tout point M de d correspond un point C du demi-cercle.

Et donc un point M' appartenant au segment AB.

 

Voir Infini et cercle

 

Par deux points fascistes passe une extrême droite et une seule.

Jean Yanne

 

 

 

Équation de la droite

L'équation de la droite est donnée en page sur les fonctions affines.

Nous intéressons ici à l'équation cartésienne introduite en classe de première sous la forme d'un bref résumé des définitions et le développement de quelques exercices.

 

 

Résumé

*    Équation de la droite

 

Ax + By + C = 0     

 

Vecteur directeur

 

*    Deux mondes

 

Monde cartésien

 

Ax + By + C = 0   

 

 

 

 

Monde classique

 

y = ax + b

 

a est la pente =  

b est l'ordonnée à l'origine =

Voir Équation classique de la droite avec exemples

 

 

Les flèches des vecteurs sont omises (pas de confusion possible, ici)

Exercice 1

 

Question

Que peut-on dire des trois points I,J etK?

 

Calculs

IJ =  IA + AJ

IJ  =   AI + AJ

IJ =   – 3/5 AB + 2AC

 

IK =  IA + AK

IK =   – AI + AK

IK =   – 3/5 AB + AK

 

 – 3AK + 3BK + 10CK = 0

 – 3AK + 3(BA + AK) + 10(CA + AK) = 0

 – 3AK + 3BA + 3AK + 10CA + 10AK = 0

3BA + 10CA + 10AK = 0

 – 3AB – 10AC + 10AK = 0

 – 3AB – 10AC =  – 10AK

3AB + 10AC = 10AK

3/10 AB + AC = AK

 

IK =   – 3/5 AB +  3/10AB + AC

IK =   – 6/10 AB + AC

IK =  – 3/10AB + AC

 

 

2IK =  – 3/5 AB + 2AC

IJ  =  2 IK

 

Données

Triangle ABC

Point I au 3/5 de AB

Point J au double de AC

Point K  tel que: – 3AK + 3BK + 10CK = 0

 

Figure

Conclusion

IKJ sont alignés et K est au milieu de IJ.

La figure est fausse. Pas de souci. Elle nous a permis d'y voir plus clair.

 

 

Exercice 2

 

Question

MA + 2BM – 5MC = BC

Exprimer AM.

 

Calculs

– AM + 2(BA + AM) – 5(MA + AC) = BA + AC

– AM – 2AB + 2AM + 5AM – 5AC = – AB + AC

6AM – 2AB – 5AC =  – AB + AC

6AM = 2AB + 5AC – AB + AC

6AM = AB + 6AC

AM = 1/6AB + AC

 

sans figure

 

 

Exercice 3

 

Données

Parallélogramme ABCD

Point E au triple de AB

Point F à 3/2 de AD

Question

Que dire des points E, F et C?

 

Calculs

 

EC = EA + AC

EC =  AE + AC

EC =  – 3AB + AC

EC =  – 3AB + AD + DC

EC =  – 3AB + AD + AB

EC =  – 2AB + AD

 

 

CF = CA + AF

CF =  – AC + 3/2 AD

CF =  – (AD + DC) + 3/2 AD

CF =  – AD – DC + 3/2 AD

CF =  – 2/2AD – DC + 3/2 AD

 

CF = 1/2AD – AB

2CF = AD – 2AB

 

ECF sont alignés

 

 

Exercice 4

 

Question

 

2x – 3y + 4 = 0

 

 

 

Montrez que la droite définie par cette équation et le vecteur w sont colinéaires.

 

Solution

 

 


 

 

 

En rouge, cette sorte de produit en croix est appelée déterminant des deux vecteurs.

 

Le déterminant est nul, les vecteurs u et w sont colinéaires.

 

Voir Déterminant des matrices

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Base de la géométrie: la droite

*    Droite – Glossaire

*    Droites par n points (combien)

*    Plan

*    Équation de la droite passant par deux points

*    Équation de la droite (exemple)

*    Les courbes – Découverte Junior (diaporama)

Incontournables

*    Théorème de Pythagore

*    Théorème de Thalès

Voir

*    Constructions avec des allumettes

*    Diamètre

*    Équation du premier degré

*    GéométrieIndex

*    Histoire : Euclide, Archimède …

*    Infini

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*    JeuxIndex

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*    Glossaire des termes de mathématique

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