NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Équations

 

Algèbre

 

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Deux équations ou plus

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Sommaire de cette page

>>> Entraînement

>>> EXEMPLE n°1: âges – simple

>>> EXEMPLE n°2: âges – un peu plus complexe

>>> EXEMPLE n°3 – Historique

 

 

 

 

 

ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ

 

Découverte de la mise en équation avec quelques problèmes simples,

expliqués pas à pas.

 

Oups! C'est encore compliqué pour moi!

Et si on repartait d'un bon pied ?

 

 

Entraînement

C'est nul!

 

5x

x

 

 

= 0

= 0

 

Classique et simple

Pensez aux plateaux d'une balance, ils doivent toujours être équilibrés. C'est pourquoi on agit de la même manière de chaque côté

 

 

x – 2

x – 2 + 2

x

 

 

= 0

= 0 + 2

= 2

 

Nécessité de développer la parenthèse

 

5 (x – 2)

5x – 10

5x

x

 

 

= 0

= 0

= 10

= 10 / 5 = 2

 

Pa plus compliqué si l'égalité n'est pas nulle

 

5 (x – 2)

5x – 10

5x  

x

 

 

= 90

= 90

= 90 + 10 = 100

= 100 / 5 = 20

 

Échanges de bons procédés entre parenthèses

 

5 (x – 2)

5x – 10

5x – 6x

– x

x  

 

 

= 6 (x – 5)

= 6x – 30

= 10 – 30

= –20

= 20

 

Fractions

 

 

 

Produits en croix

 

 

 

 

 

10 (x + 2)

10x + 20

40 x – 10 x

30x

x

 

= 2 (20x + 9)

= 40x + 18

= 20 – 18

= 2

= 1 / 15

 

Compliqué?

 

 

 

Voir Racines carrées

 

x

 

= 4

= 2 (ou –2)

 

Presque second degré

Un produit est nul si un de ses facteurs est nul.

 

 

(x – 1) (x – 2)

x – 1

x – 2  

 

= 0

= 0 et x = 1

= 0 et x = 2

 

 

Même chose, mais cachée!

Deux nombres dont la somme est -3 et le produit -10: 2 et – 5 conviennent.

 

Rappel:

(x + a) (x + b) = x² + x(a + b)  a.b

 

 

x² – 3x – 10

(x + 2) (x – 5)

x + 2

x – 5 

 

= 0

= 0

= 0 et x = – 2

= 0 et x = 5

 

Dément …

 

Rappel:

a² – b² = (a + b) (a – b)

 

 

2x + 1

(x – 1)²

(x – 1)² – (3x – 7)²

(x – 1 + 3x – 7)  

(4x – 8) (–2x + 6)

4x – 8

2x – 6  

 

= 9x² – 42x + 49

= (3x – 7)²

=  0

(x – 1 – 3x + 7) = 0

= 0

= 0  et x = 2

= 0  et x = 3

 

Voir Factorisation / Identités remarquables / Équation du second degré

 

 

 

Mise en équation

 

Facture de 120 euros. Elle comprend un abonnement de 60 euros et une consommation qui coûte 20 euros par heure.

Combien d'heures de consommation?

 

 

Quantité d'heures

Consommation

Facture

Résolution

Résultat

 

= x

= 20 x

= 20 x + 60 = 120

20x = 120 – 60 = 60

    x = 60/20 = 3

Un rectangle dont l'aire: 50 cm².

Il est deux fois plus long que large. Quelles sont ses dimensions?

 

Longueur

Largeur

Aire

L

l

 

= L

= l = ½ L

= L.l = ½ L² = 50

= 50 x 2 = 100

= 10

= 10 / 2 = 5

 

 

3 bières et 2 cocas = 6,10 euros

5 bières et 1 coca   = 7,60 euros

Prix de chaque bouteille?

 

Voir Système d'équations

Voir Poids du tonneau

 

 

3b + 2c

5b + 1c

 

3b + 2c

10b + 2c

7b

b

5 x 1,30 + 1c

c

 

= 6,10

= 7,60

 

= 6,10

= 15,20

= 9,10

= 1,30

= 7,60

= 7,60 – 6,50 = 1,10

 

Des lapins et des canards:

70 pattes pour 25 bêtes. Combien de chaque?

 

Lapins

Canards

Bêtes

Pattes

 

C

4L + 2(25 – L)

2L – 50

L

C

 

 

=  L

= C

L + C = 25

4L+ 2C  = 70

 

= 25 – L

= 70

= 70

= 10

= 15

Somme de 545 euros en 93 billets de 5 et de 10 euros. Combien de chaque?

 

Billets de 5 €

Billets de 10 €

Somme

 

Billets

 

Différence

 

5C

10D

5C + 10D = 545

C + 2D = 109

C + D = 93

2C + 2D = 186

C = 186 – 109 = 77

D = 93 – 77 = 16

 

 

Exemple n°1 avec âges – Cas simple

 

Problème

Dans 10 ans, le double de l'âge de Pierre sera  100 ans.

 

Solution

Assez évidente: dans 10 ans, Pierre aura la moitié de 100 ans, soit 50 ans; il a aujourd'hui 10 ans de moins, soit 40 ans.

Un simple raisonnement suffit; on peut le suivre de tête. Néanmoins, nous allons mettre ce problème en équation en tant qu'exemple utile pour traiter des cas plus compliqués.

 

Équation

Notons:     x l'âge de Pierre aujourd'hui et y son âge futur.

 

 

Résolution

 

2 (x + 10)

=

100

 

x + 10

=

100 / 2

Division par 2 de chaque côté

x

=

50 – 10

Soustraction de 10 de chaque côté

x

=

40

 

 

Illustration

 

 

 

 

Exemple n°2 avec âges – Cas complexe

 

Problème

Dans 10 ans, la moitié de l'âge de Pierre sera le double de cet âge il y a 5 ans.

 

Solution

Un raisonnement ne suffit plus; il est difficile de faire de tête.

Il faut mettre ce problème en équation.

 

Équation

Inconnue: X est l'âge d'aujourd'hui.
 

 

Résolution

 

(x + 10) / 2

=

2(x – 5)

 

x + 10

=

4(x – 5)

Multiplication par 2

x + 10

=

4x – 20

Développement de la parenthèse

4x – 20

=

x + 10

Échange droite gauche

3x

=

30

Addition 20 et soustraction de x

x

=

10

Division par 3

 

 

Illustration

 

 

 

 

Exemple n°3 – Problème historique

 

Problème

 

Pour payer les ouvriers, si le patron:

*      donne 3 livres à chacun, il lui manque 8 livres;

*      donne 2 livres, il lui reste 3 livres.

Combien d'ouvriers ?

 

Équation

 

N

 

 

Nombre d'ouvriers

P

 

 

La paie est constante.

P

=

3N – 8

Premier cas

P

=

2N + 3

Deuxième cas

3N – 8

=

2N + 3

Égalité

N

=

11

Addition de 8 et soustraction de 2N

 

Manuel d'algèbre de Clairaut (1713 -  1765)

 

 

 

 

Suite

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*         Deuxième degré

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*         Algorithme d'Héron

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*         Équation de la droite - Exemple²

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*         Système d'équations

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