NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 27/01/2014

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

ANALYSE

 

Débutants

Général

Dérivées

 

Glossaire

Dérivée

 

 

INDEX

Analyse

 

Approche

Débutants

Développement

Ficelles de première

Les dérivées

 

Sommaire de cette page

>>> Progression des carrés des nombres

>>> Progression des cubes des nombres

 

 

 

 

DÉRIVÉE – Débutants

Approche via le carré et le cube des nombres

 

Vous avez le sentiment de ce à quoi sert une dérivée.

Voyons une approche simple plus mathématique qui vous permettra de mieux cerner ce que veut dire une dérivée en pratique.

 

Coucou! Je suis en première et je voudrais démarrer d'un bon pas >>>

 

 

Progression des carrés des nombres

 

*    Nous nous intéressons aux carrés des nombres entiers.

*    Et plus particulièrement à la vitesse de leur progression.

*    La colonne Prg 1 du tableau montre l'écart pour passer d'un carré au suivant, le pas de progression; la marche à monter.

*    Cet écart est régulier: c'est la suite des nombres impairs et l'écart entre eux (colonne Prg 2) est égal à deux.

 

 

*    La courbe qui représente les carrés est une parabole du type y = x².
Ici, tout simplement: C = N².

 

Table de progression des carrés

 

Courbe de progression des carrés



*    La courbe qui représente la progression des carrés est une droite. On note deux points:

*    M:  x =   5   y =   9

*    P:   x = 10   y = 19

 

 

y = 2x – 10 + 9

y = 2x – 1

 

 

Bilan sur les carrés

Les carrés des nombres sont en x², une parabole.

Leur progression est en 2x, une droite.

On dit que la dérivée (le taux de progression) de x² est 2x.

Notez l'arrivée du coefficient 2 alors que nous parlons de carrés.

 

 

Progression des cubes des nombres

 

*    Nous nous intéressons aux cubes des nombres entiers.

*    Et plus particulièrement à la vitesse de leur progression.

*    La colonne Prg 1 du tableau montre l'écart pour passer d'un cube au suivant.

*    Cet écart (Prg 1) ne semble pas régulier.

 

*    Par contre, sa propre progression (Prg 2) est régulière (+6).

 

*    C'est une progression linéaire.

 

AhAh! Intuition!

 

*    Nous venons juste de voir qu'une progression linéaire provient d'une parabole, d'une courbe en x².

*    Ce qui nous laisserait penser que les cubes (en x3) progresserait en x².

*    Vérifions cela.
 

 

Table de progression des cubes

 

Courbe de progression des carrés

 

*    Prenons trois points sur la courbe de progression des cubes (la verte ou tableau en Prg 1).

 

M:   x = 3     y = 19

P:    x = 6     y = 91

Q:    x = 10  y = 271

 

*    Équation de la parole passant par ces trois points

    y =   ax² +   bx + c

  19 =   3²a +   3b + c     (1)

  91 =   6²a +   6b + c     (2)

271 = 10²a + 10b + c     (3)

Faisons (2) – (1)

27a + 3 b = 72

  9a + b = 24                   (4)

Faisons (3) – (1)

91a + 7b = 252

13a + b = 36                   (5)

Faisons (5) – (4)

4a  = 12

a = 12 / 4 = 3

Valeurs de b

9 x 3 + b = 24

b = 24 – 27 = – 3

Et de c

19 = 9 x 3 – 3 x 3 + c

19 = 27 – 9 + c = 18 + c

c = 19 – 18 = 1

Équation de la parabole

y = 3x² – 3x + 1

 

 

Bilan sur les cubes

Les cubes des nombres sont en x3, une courbe dite cubique.

Leur progression est en 3x², une parabole.

On dit que la dérivée (le taux de progression) de x3 est 3x2.

 

Bilan général

Finalement nous venons  de nous amuser avec les nombres et en prime nous avons appris le mécanisme de dérivation des polynômes:

*    le degré descend d'un cran (x3 devient x2) et

*    le degré passe en coefficient (x3 donne un coefficient 3).

Par exemple:

y = 2x3 + 3x2 + 5x

aura pour dérivée:

y' = 2.3x2 + 3.2x + 5 = 6x2 + 6x + 5

Voir Autre exemple / Machine de Babbage qui fonctionne sur ce principe

 

 

 

Suite

*    Dérivées

*    Intégrale – Approche avec 1/x

*    Primitive

Voir

*    Babbage – Différence, carrés, cubes, etc.

*    DérivéesGlossaire

*    Infinitésimaux

*      VitesseGlossaire

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/AnaDerDe.htm