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Glossaire

Atlas  / Nombres / Nomenclature des nombres

 

Débutant

DicoMot

DicoNombre

Nombres IMAGINAIRES

Nombres COMPLEXES

 

 

 

Approche

Nombre IMAGINAIRE

*        Invention abstraite de mathématiciens.

En fait, un outil- levier pour résoudre des problèmes.

Comme un échafaudage qui aide à monter une construction et qui, en disparaissant, laisse voir la beauté de l'édifice.

Voir comment les mathématiciens n'hésitent pas à passer dans un monde parallèle pour disposer d'un levier mathématique.

*        Nous savons que la racine carrée de l'unité

est 1, car 1 x 1 = 1

c'est aussi –1 car (–1) x (–1) = 1.

 

*        La création des nombres imaginaires résulte de la recherche d'une racine carrée à –1.

Elle n'existe pas dans le monde des nombres réels: aucun nombre multiplié par lui-même ne donne –1.

Cette racine, notée i, fait partie d'un nouveau monde, celui des nombres imaginaires.

Par conséquent et par définition, chez les imaginaires:  = –1.

 

 

Réel

Imaginaire

Nombre

1

1

Racine positive

1

i

Racine négative

1

– i

 

 

Nombre COMPLEXE

*        Nombre, noté z, comprenant:

*    une partie réelle (a), et

*    une ou plusieurs parties imaginaires (b, c  …).

Typiquement: z  = a + i . b

Avec a et b des nombres réels

et i le nombre imaginaire de base, ou unité imaginaire.

 

Exemple:       (a + 12) + (a – 5) i

Partie réelle :          a + 12

Partie imaginaire:   a – 5

 

Intérêt

*        S'agissant de la résolution des équations en général:
Nous sommes heureux lorsque nous en trouvons les racines;
Par contre, nous ne savons pas quoi faire lorsqu'elles n'existent pas.

*    Elles semblent là, derrière l'équation, repliées dans les nombres, sans que l'on puisse les extraire.

*    Il suffirait théoriquement d'appliquer la méthode générale.

*    Mais, nous butons sur l'extraction de racines négatives …

*        Avec la race des nombres complexes:
Nous disposons d'un outil qui permet de révéler cette latente.
En effet, dans le monde des complexes, il y a toujours des solutions!

*    On y retrouve nos valeurs réelles, si elles existent.

*    PLUS des valeurs complexes qui complètent le tableau:

*    Deux racines pour toute équation du 2e degré: ax2 + bx + c = 0

*    Trois racines pour toute équation du 3e degré: ax3 + bx2 + cx + d = 0

*    Quatre racines …

i

*        Le nombre imaginaire i est la racine de l'équation: x² + 1 = 0

Valeur de i = –1     et      =  1.

 

 

Définitions

Nombre complexe

 

Nombre de la forme:

z = a + i . b

avec (a, b)    (Lire: a et b sont deux nombres réels),

et i =  ( i est égal à racine de -1, ou x est racine de x² + 1 = 0).

 

 

Réel et imaginaire

 

La partie réelle          s'écrit Re(z) = a

La partie imaginaire  s'écrit Im(z) = b

Si b = 0, le nombre est réel (pur).

Si a = 0, le nombre est imaginaire pur.

Interprétation

Représentation géométrique du nombre complexe

 

Le complexe z = a + ib est appelé affixe du point M de coordonnées (a, b).

Voir Cartésien et polaire

 

Égalité

*        Deux nombres complexes (a + ib) et (c+ id) sont égaux

si et seulement si a = c et b = d

Conjugué

*        Le nombre complexe z* = a – ib est le conjugué de z = a + ib

 

Avec cette propriété:

z . z* = (a + ib) (a – ib) = a² – (ib)² = a² – i²b² = a² + b²

 

*        Notation: Le conjugué est noté z surligné ou z* lorsqu'on ne peut pas faire autrement:

z  =       a + ib

 = z* = a ib

 

Module

&

Argument

*        Module ou valeur absolue d'un nombre complexe
Noté
  , lire ro:

 

 

Exemple:

3 + 4i =

 

Cette valeur est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent a et b.

Dans cette figure, l'angle formé par le côté a et l'hypoténuse est appelé l'argument du nombre complexe, il noté  (lire thêta).

*        Un nombre complexe est complètement caractérisé par:

*    son module        - longueur de l'hypoténuse, et 

*    son argument    - angle.

 

 

Formes

*        Les trois écritures équivalentes d'un nombre complexe:

*    Forme algébrique:      z = a + i . b

*    Forme polaire:             z =   (cos  + i sin )

*    Forme exponentielle:  z =  

 

Formule célèbre

 

 

Formule d'Euler

impliquant pas moins que

cinq nombres remarquables

0, 1, e , i et

 

English

Imaginary number, complex number.

We can consider a complex number as having the form z = a + ib
where a and b are real numbers and i, which is called the imaginary unit, has the property that   =
1.

 

A number of the form a + ib where a, b  R, the set of real number, and i = 1, is called a complex number

*    A complex number is said to be purely real if I(z) = 0 and

purely imaginary if R(z) = 0.

*    The conjugate of the complex number z = a + ib is defined to be a – ib and is denoted by z* (or better, z above-scored   ).

 

Suite

*           Nombres complexesIndex

*           Introduction aux nombres complexes

*           Le vocabulaire des nombres complexes

*           Racines nièmes de l'unité – Polynômes cyclotomiques

*           Nombres complexes j et j*

Autres

*           Abécédaire du débutant

*           1 = 2 Démonstration fausse avec les nombres complexes

*           Calculs avec les nombres complexes

*           Complexité – Concept des sciences d'aujourd'hui

*           Constantes

*           Équation du deuxième degré

*           Équation du troisième degré

*           Fractales ou la beauté des complexes en images

*           Identités remarquables avec les complexes

*           Nombres entiers, réels et complexes

*           Nomenclature des nombres

*           Octonions de Cayley

*           Puissance de l'imaginaire - i puissance i

*           Quaternions de Hamilton

*           Table de multiplication du 1 étendu à i

*           Un, moins un et i

Voir aussi

*           Fractales ou la beauté des complexes en images

*           Complexité – Concept des sciences d'aujourd'hui

*           Complications des montres

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Nombres ENTIERS, RÉELS & COMPLEXES

 

 

 

= i

>>>

=   i

>>>

 

= –1

 

 

= –1

>>>

+ 1

= 0

>>>

= 0,207 …

>>>

= 0,707 + 0,707 i

>>>

 

= 1 +  i

=

>>>

i² = i 4 =

= 1

>>>

 

= 1

 

= 1

 

>>>

= 0,5 i

(1 + i) + (1 i)

(1 + i)  . (1 i)

= 2

= 2

>>>

(n + i)     . (n i)

(n + m.i) . (n – m.i)

= n² + 1

= n² + m²

>>>

 

 

 

CALCUL avec les COMPLEXES

 

Opérations

 

*    Addition

(a + ib) + (a' + ib')

= (a + a') + i (b + b')

*    Soustraction

(a + ib) (a' + ib')

= (a – a') + i (b – b')

*    Multiplication

(a + ib) . (a' + ib')

= aa' + aib' + iba' + i²bb'

 

= (aa' – bb')  + i (ab' + a'b)

 

*    Division

 avec a ou a'  0

(a + ib)

=

(a + ib) (a' – ib')

=

aa' + bb' + i (a'bab')

(a' + ib')

(a' + ib') (a' – ib')

a'² + b'²

Utilisation du conjugué

 

*    Inverse

avec a   0

1

=

(1) (a – ib)

=

a ib

(a + ib)

(a + ib) (a – ib)

a² + b²

 

 

 

Formule de De Moivre

 

*    Formule
     avec n entier ou rationnel

( cos  + i sin  )n

= cos (n)  + i sin (n)

 

 

 

Calculs divers

 

*    Conjugué

z + z*

= 2 a

= 2 Re(z)

z z*

= 2 b

= 2 Im (z)

z . z*

= a² + b²

= z²

 

*    Module

z= - z

=  z*= z*

z1 + z2

 z1+ z2

z1 . z2

= z1.z2

z1 + z2²

= z1² + z2² + 2 Re(z1 . z2*)

z1 + z2² + z1 z2²

= 2z1² + 2z2²

 

*    Argument

 ( z1 . z2)

=  ( z1)  +  ( z2) 

 ( z1 / z2)

=  ( z1)     ( z2) 

 

Voir Vocabulaire associé aux nombres complexes

 

 

 

 

 

 

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